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Grundlagen - Verfahren
Grundlegend wird in der Qualifikationsphase vorausgesetzt, dass Sie bei "schönen" ganz-rationalen Funktionen Nullstellen und lokale und globale Extrema auch 'händisch' (
) berechnen und den Gesamtverlauf des Graphen in Zusammenhängen interpretieren können.
Anmerkung: Die folgenden Beschreibungen sind nicht alle 'mathematisch vollständig korrekt'.
Für eine ausführliche Wiederholung nutzen Sie bitte die Seiten der Einführungsphase.
Nullstellenberechnung:
Eine Nullstelle `x_N` ist ein x-Wert an dem der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Kurz: `f(x_N) = 0`.
Es muss darüberhinaus gelten, dass `x_N` im Definitionsbereich `D(f)` der Funktion liegt. Kurz: `x_N in D(f)`.
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Extremwertberechnung: Extrema `x_E` der Funktion sind x-Werte der Punkte des Graphen, die in einer (kleinen) Umgebung den höchsten bzw. niedrigsten f(x)-Wert besitzen. Hier hat die Tangente an den Graphen die Steigung Null.
Es müssen die folgenden Bedingungen gelten: notwendige Bedingung: `f'(x_E) = 0` und hinreichende Bedingung: `f'` wechselt in `x_E` das Vorzeichen, d.h [ `f'(x_("links")) < 0` und `f'(x_("rechts")) > 0` (lokales Minimum / lokaler Tiefpunkt) ] oder [ `f'(x_("links")) > 0` und `f('x_("rechts")) < 0` ( lokales Maximum / lokaler Hochpunkt) ].
Dabei müssen `x_("links")` und `x_("rechts")` (von `x_E` aus betrachtet) aus dem Definitionsbereich von `f` sein und in einem Bereich liegen, in dem keine weitere Nullstelle der Ableitung vorkommt. |
BeispielDer Graph der Funktion `f` mit `f(x) = - 0.5x^3 + 2x^2 + x` beschreibt im Intervall `[-2;5]` einen zu untersuchenden funktionalen Zusammenhang. (s.Graph weiter unten)
Ansatz für die 'notwendige Bedingung': `f'(x) = -1.5x^2 + 4x + 1 = 0` `hArr x^2 - 8/3x - 2/3 = 0` `hArr x_(1,2) = 4/3 +- sqrt (16/9 + 2/3) = 4/3 +- sqrt 22/9` `rArr x_1 ~~ 2.90` und `x_2 ~~ -0.23` sind die beiden 'Kandidaten' für Extremwerte.
Ansatz für die hinreichende Bedingung: für `x_1: x_("links") = -1` und `x_("rechts") = 0`. Dann gilt: `f'(-1) = -4.5 < 0` und `f'(0) = 1 > 0`. Der Punkt `(x_1 ~~ 2.90 | f(x_1) ~~ 7.53)` ist demnach ein lokaler Hochpunkt.
für `x_2: x_("links") = 0` und `x_("rechts") = 3`. Dann gilt: `f'(0) = 1 > 0` und `f'(3) = -0.5 < 0`. Der Punkt `(x_2 ~~ -0.23 | f(x_2) ~~ -0.12)` ist demnach ein lokaler Tiefpunkt. |
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Globale Extremwerte Ein globaler Hochpunkt / Tiefpunkt ist ein Punkt des Graphen im Definitonsbereich mit dem höchsten / niedrigsten f(x)-/y-Wert. Diese Punkte können nur lokale Extrema sein oder am Rand des Definitionsbereichs liegen. |
Ansatz: Vergleich der Randwerte mit den lokalen Extrema: `f(-2) = 10 > f(x_1) ~~ 7.53` und `f(5) = -7.5 < f(x_2) ~~ -0.12`. Die Ränder sind also die globalen Extrema in diesem Fall. |
