Grundlagen - Ableitung

Eine Funktion f sei in der Umgebung einer Stelle `x_0`  definiert.

Dann nennt man `(f(x_0+h)-f(x_0))/h` Differenzenquotient.

Der Differenzenquotient ist die mittlere Änderungsrate von `f`  in dem Intervall `[x_0; x_0 + h]`.

Er gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte `(x_0|f(x_0))`  und `(x_0 + h|f(x_0 + h))`  an und bestimmt so die "mittlere Steigung" von `f`  im Intervall `[x; x + h]`.

Falls der Grenzwert des Differenzenquotienten für `h`  gegen `0`  existiert, heißt er Differentialquotient der Funktion `f`  an der Stelle `x_0`.  

Existiert der Differentialquotient, so sagt man:

Die Funktion `f`  ist differenzierbar an der Stelle `x_0`. 

Der Differentialquotient heißt Ableitung (`hat=`  lokale Änderungsrate) der Funktion `f`  an der Stelle `x_0`, geschrieben: `f '(x_0)`.

`f'(x_0)`  ist gleich der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt `(x_0|f(x_0))`.

Die Funktion `f'`  zu einer Funktion `f`, die jedem `x`  den Wert der Ableitung von `f`  an der Stelle `x`  zuordnet heißt Ableitungsfunktion von `f`.