Mit diesem Chat können Benutzer des Net-Schulbuches, die derselben Lehrkraft zugeordnet sind, miteinander chatten. Dabei gelten folgende Regeln:
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Gegeben sind die Geraden y = -x + 2,5 und y = 2x - 5. Eine Parabel berührt im Punkt (1|1,5) die erste Gerade. Wie lautet die Gleichung dieser Parabel, die auch die 2. Gerade berührt? Diese Aufgabe habe ich drei KI-Programmen gestellt. Hinter den Drop-Down-Panel unten finden Sie drei Lösungen. Nur eine ist richtig. Merke: Auch KI können Fehler machen.
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Von ChatGPT erzeugtes Piktogramm für KI. |
drei Lösungsversuche:
Aufgabe: Bestimme die Gleichung einer Parabel
Gegeben:
Gesucht: LösungsschritteSchritt 1: Bedingung für den ersten Berührungspunkt
Schritt 2: Bedingung für den zweiten Berührungspunkt
Schritt 3: Gleichungen lösen
Schritt 4: Einsetzen in (3)
Schritt 5: Bestimmung von a, b, c
Die Parabelgleichung lautet: |
Berechnung der ParabelgleichungGegeben sind die Geraden:
Eine Parabel der Form `y = ax^2 + bx + c` soll diese Bedingungen erfüllen:
1. Bedingung: Die Parabel verläuft durch `(1| 1.5)` Einsetzen in die Parabelgleichung: `a(1)^2 + b(1) +c = 1.5` Vereinfacht: `a + b +c = 1.5` 2. Bedingung: Die Steigung der Parabel im Punkt `(1|1.5)` ist gleich der Steigung der ersten Geraden m =-1. Ableitung der Parabel: `y' = 2ax + b` Setzen von x = 1: `2a(1) + b = -1` 3. Bedingung: Die Parabel berührt auch die zweite Gerade `y = 2x - 5`. Lösen der Gleichungen:
Aus 3: `b = 2 - 2ax_0` Die genaue Berechnung der Parabelgleichung hängt von der noch unbekannten Berührstelle x_0 der zweiten Tangente y = 2x - 5 ab. Für `x_0 = 2` erhalten wir `a = 4.5`, dann `b = -9` und `c = 6.5`. Die endgültige Parabelgleichung lautet: |
Berechnung der Parabelgleichung1. Allgemeine Form der Parabel 2. Berührpunkt mit der ersten Geraden Die Ableitung der Parabelgleichung gibt uns die Steigung an jeder Stelle: Setzen wir den Punkt (1|1.5) und die Steigung -1 ein: `1.5 = a(1^2 + b(1) + c` `-1< = 2a(1) + b` 3. Berührung mit der zweiten Geraden `y_b = ax_b^2 + bx_b + c` 5. Gleichungssystem lösen
Dieses System lösen wir, um die Werte von a, b, c, `x_b` und `y_b` zu finden.
⇒ Zu lösen ist die Gleichung `0 = -10a^2 - 6a + 9`. Berechnet man die Parabelgleichungen der beiden Lösungen `a_1 ~~ 1,29` und `a_2 ~~ -1,89`, so zeigt sich, dass nur die zweite Lösung die Bedingungen erfüllt. 6. Gleichung der Parabel Die Gleichung der Parabel lautet `y = -1,89x^2 + 2,78x + 0,61`. |
zu a.
Am schnellsten erkennt mn die richtige Lösung, wenn man sich die beiden Geraden und die berechnete Parabel darstellen lässt. Hier sind nur zwei Darstellungen wiedergegeben, die von Grok (einzig richtige Lösung) und ChatCPT.
Grok |
ChatGPT |
zu b.
ChatGPT-Lösung: Der Fehler liegt darin, dass angenommen wird, dass `x_0`= 2 ist. Die Stelle ist ja gerade nicht bekannt.
Gemini-Lösung:
Der Fehler liegt beim Auflösen der Gleichung 6:
zu c.
Es ist sinnvoll, zunächst Ihre Situation und Ihren Leistungsstand zu schildern. Dazu gehören auch Anweisungen zur Ausführlichkeit der Lösungen. Das erste Prompt könnte also z.B. so lauten:
Ich bin Schüler oder Schülerin in einem Leistungskurs der Qualifikationsphase in NRW und muss die Aufgabe lösen. die ich dir nachfolgend beschreibe. Bitte kommentiere den Lösungsweg ausführlich, damit ich ihn nachvollziehen kann. Du musst aber nicht jeden kleinen Schritt dokumentieren, da ich ein guter Schüler/ eine gute Schülerin bin.
Die Antwort ist z.B. Klar! Stell mir einfach die Aufgabe, und ich werde den Lösungsweg ausführlich, aber nicht übertrieben detailliert erklären.
Nach Eingabe der Aufgabenstellung beschreibt die KI den Lösungsweg.
Zur Überprüfung können Sie anschließend zum Beispiel einen weiteren Prompt formulieren:
Zeichne zur Kontrolle die beiden Geraden und die Parabel.
zu d.
Aus den beiden ersten Bedingungen folgt (siehe die anderen Lösungen): a + b + c = 1,5 und 2a + b = -1.
Zur Berechnung der Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden werden die Terme gleichgesetzt:
`ax^2 + bx + c = 2x - 5` ⇒ `ax^2 + (b - 2)x + c + 5 = 0` ⇒ `x^2 + (b-2)/ax + (c + 5)/a = 0`
⇒ D = `((b-2)/(2a))^2 - (c+5)/a = 0` ⇒ `(b-2)^2 -4a(c + 5) = 0`
Damit hat man drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Zum Beispiel mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens erhält man a = `1/2`, b = -2, c = 3.