Aktuelle Themen und Neues im digitalen Mathebuch

Eine Serie Fußballbilder besteht aus einer bestimmten Anzahl n von Motiven. Jeder Cornflakes-Packung liegt ein Bild bei. Ein Käufer möchte eine vollständige Serie aller Motive anlegen - wobei er anfänglich noch kein Bild hat. Dabei stellen sich u.a. folgende Fragen:

1. Wie viele Packungen müssen im Schnitt gekauft werden, damit man eine vollständige Serie erhält?

2. Wie groß ist die Wahrscheinlchkeit, dass man nach k Käufen eine vollständige Serie zusammen hat?

Diese beiden Fragestellungen wurden in vereinfachter Form drei KI-Programmen gestellt. Hinter den nachfolgenden Drop-Down-Panel unten finden Sie drei Lösungen. Nur eine ist richtig.

a) Geben Sie an, welche KI die richtige Lösung gefunden hat.

b) Finden Sie die Fehler in den beiden anderen Lösungen.

c) Für eine KI-Nutzung ist das sehr wichtig, will man ansprechende Ergebnisse erzielen. Schreiben Sie einen Prompt, der Ihnen die Lösung schrittweise und ausführlich darstellt. Setzen Sie ihn möglicherweise in einer Ihnen zur Verfügung stehenden KI-APP ein.

Von ChatGPT erzeugtes Piktogramm zu KI und Wahrscheinlichkeit.

1. Bei einem Sammlerproblem gibt es 3 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim fünften Kauf die Sammlung zu vervollständigen?

drei Lösungsversuche:

ChatGPT 4.0 mini, erstellt am 19.6.25

User: Bei einem Sammlerproblem gibt es 3 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim fünften Kauf die Sammlung zu vervollständigen?

ChatGPT:

Wir betrachten ein Sammlerproblem mit 3 verschiedenen Motiven (z. B. Bilder in Überraschungseiern). Bei jedem Kauf erhält man zufällig eines der 3 Motive, alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Die Frage ist:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim fünften Kauf die Sammlung vervollständigt wird?

Schrittweise Herleitung

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass nach genau 5 Käufen alle 3 Motive vorhanden sind und erst beim fünften Kauf das letzte (fehlende) Motiv erscheint.

Das bedeutet:

Nach 4 Käufen sind genau 2 verschiedene Motive vorhanden.
Beim 5. Kauf erhält man das dritte, noch fehlende Motiv.

Lösungsidee

Wahrscheinlichkeit, nach 4 Käufen genau 2 verschiedene Motive gesammelt zu haben.
Das ist ein klassisches Problem in der Kombinatorik.
Wahrscheinlichkeit, beim 5. Kauf das dritte Motiv zu bekommen.
Wenn man zwei Motive schon hat, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, das fehlende zu bekommen:
`1/3`

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei 4 Käufen genau 2 Motive zu haben?

Zunächst wählt man 2 von 3 Motiven aus:

$`((3),(2))` = 3$

Dann müssen in den 4 Käufen nur diese 2 Motive erscheinen, das dritte darf nicht vorkommen.

Für diese 2 Motive (nennen wir sie A und B), müssen wir nun alle Kombinationen aus A und B zählen, die in 4 Positionen vorkommen und nicht nur aus A oder nur aus B bestehen (also nicht AAAA oder BBBB, denn wir wollen beide Motive mindestens einmal).

Es gibt insgesamt $24 = 16$ Kombinationen aus A und B in 4 Positionen. Davon sind 2 Kombinationen „eintönig“ (AAAA und BBBB), also bleiben $14 gültige Kombinationen$

Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 4 Käufen genau 2 von 3 Motiven gesammelt wurden:

$P 4 = `(("Anzahl gültiger Kombinationen")/("alle möglichen Kombinationen von 3 Motiven in 4 Käufen"))` = `((3\cdot14)/3^4)`= `42/81`$

2. Wahrscheinlichkeit, im 5. Kauf das fehlende dritte Motiv zu erhalten:

Wenn man 2 Motive hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit, nun das fehlende zu ziehen: `1/3`

Gesamtwahrscheinlichkeit:

$`P = 42/81 * 1/3 = 42/243 ~~ 0,173`$

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim fünften Kauf die Sammlung vervollständigt wird, beträgt `42/243` ≈ 17,3 %.

Chat mit Perplexity am 30.05.2025

user: Bei einem Sammlerproblem gibt es 3 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim fünften Kauf die Sammlung zu vervollständigen?

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, beim fünften Kauf die Sammlung von drei Motiven zu vervollständigen, beträgt ≈5,76% (genau `14/243`).

1. Berechnungsschritte:

Voraussetzung: In den ersten 4 Käufen müssen genau 2 verschiedene Motive gesammelt worden sein, und der 5. Kauf liefert das fehlende 3. Motiv.

2. Anzahl günstiger Fälle für 2 Motive in 4 Käufen:

Berechnet durch die Stirling-Zahl zweiter Art S(4,2)=7, die die Anzahl der Möglichkeiten angibt, 4 Käufe auf 2 Motive zu verteilen (jedes Motiv mindestens einmal).

Multipliziert mit der Anzahl der Motivkombinationen: 7×2!=14.

3.Gesamtmöglichkeiten für 4 Käufe:
`3^4=81`.

4.Wahrscheinlichkeit für 2 Motive in 4 Käufen:
`14/81`.

5. Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv im 5. Kauf zu erhalten:
`1/3`.

6. Gesamtwahrscheinlichkeit:
`14/81*1/3=14/243≈0,0576`.

Chat mit Copilot vom 19.6.2025

User: Bei einem Sammlerproblem gibt es 3 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 5. Kauf die Sammlung zu vervollständigen?

Ah, das klassische Sammelproblem! Drei verschiedene Motive, jedes zufällig beim Kauf erhältlich — das klingt nach einer feinen Mischung aus Glück und Geduld. Lass uns herausfinden, wie wahrscheinlich es ist, dass du genau beim fünften Kauf *zum ersten Mal* alle drei Motive komplett hast.

Das Problem läuft auf die Wahrscheinlichkeit hinaus, dass du beim 5. Kauf zum ersten Mal alle 3 Motive besitzt. Es handelt sich also um ein Problem aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit *diskreter Verteilung*.

Hier ist der Ansatz:

1. Beim ersten Kauf bekommst du ein neues Motiv (klar).
2. Beim zweiten Kauf hast du eine 2/3-Wahrscheinlichkeit, ein neues Motiv zu ziehen.
3. Beim dritten Kauf dann 1/3 Wahrscheinlichkeit, dass du das letzte noch fehlende Motiv ziehst.
4. Nun sollen beim fünften Kauf erstmals alle drei Motive vollständig sein.

Das bedeutet:
- Nach 4 Käufen dürfen nicht alle Motive vollständig sein (es fehlen noch welche), und
- beim 5. Kauf bekommst du das letzte noch fehlende Motiv.

Wenn man das genau berechnet, erhält man für die Wahrscheinlichkeit:

P(Vervollständigung beim 5. Kauf) = `(1/3)^2 * 2/3`= `4/27 ~~ 14,8 %`.

Du hast also knapp **15 % Chance**, dass dir ausgerechnet der fünfte Kauf das letzte fehlende Stück liefert. Gar nicht so schlecht — aber beim Sammeln braucht’s halt auch ein Quäntchen Glück.

2. Bei einem Sammlerproblem gibt es 6 Motive. Jemand hat bereits 4 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Käufen die Sammlung zu vervollständigen?

drei Lösungsversuche:

Chat mit Mistral am 31.05.2005

User: Bei einem Sammlerproblem gibt es 6 Motive. Jemand hat bereits 4 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Käufen die Sammlung zu vervollständigen?

Mistral:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass jemand seine Sammlung in höchstens 3 Käufen vervollständigt, können wir die Wahrscheinlichkeit für jedes Szenario berechnen und dann addieren. Hier sind die Schritte:

Annahmen:

Es gibt insgesamt 6 Motive.
Der Sammler hat bereits 4 verschiedene Motive.
Es gibt also 2 Motive, die noch gesammelt werden müssen.
Jeder Kauf liefert ein zufälliges Motiv, das der Sammler noch nicht hat.

Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in einem Kauf zu vervollständigen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Sammler eines der beiden fehlenden Motive in einem Kauf erhält, ist `2/6`.

Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in zwei Käufen zu vervollständigen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Kauf nicht erfolgreich ist (d.h., der Sammler erhält ein Motiv, das er bereits hat) und der zweite Kauf erfolgreich ist, beträgt `4/6*2/5`.

Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in drei Käufen zu vervollständigen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Käufe nicht erfolgreich sind und der dritte Kauf erfolgreich ist, beträgt `4/6*3/5*2/4`.

Lassen Sie uns diese Wahrscheinlichkeiten berechnen.

(1,2 Sekunden Nachdenken)

Die Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in höchstens drei Käufen zu vervollständigen, beträgt etwa 80%.

User: Wie kommst du auf 80%?

Mistral:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, die Sammlung in höchstens drei Käufen zu vervollständigen, gehen wir wie folgt vor:

Annahmen:

Es gibt insgesamt 6 Motive.
Der Sammler hat bereits 4 verschiedene Motive.
Es bleiben also 2 Motive übrig, die er noch nicht hat.

Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in einem Kauf zu vervollständigen:

Die Wahrscheinlichkeit, eines der beiden fehlenden Motive zu kaufen, beträgt `2/6`.

Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in zwei Käufen zu vervollständigen:

Zuerst kauft der Sammler eines der bereits vorhandenen Motive (Wahrscheinlichkeit `4/6`).
Dann kauft er eines der beiden fehlenden Motive (Wahrscheinlichkeit `2/5`, da ein Motiv bereits gekauft wurde).
Die kombinierte Wahrscheinlichkeit für diesen Fall ist `4/6*2/5`.

Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in drei Käufen zu vervollständigen:

Zuerst kauft der Sammler zwei der bereits vorhandenen Motive (Wahrscheinlichkeit `4/6*3/5`).
Dann kauft er eines der beiden fehlenden Motive (Wahrscheinlichkeit `2/4`, da zwei Motive bereits gekauft wurden).
Die kombinierte Wahrscheinlichkeit für diesen Fall ist `4/6*3/5*2/4`.

Gesamtwahrscheinlichkeit:

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, die Sammlung in höchstens drei Käufen zu vervollständigen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der drei oben genannten Fälle:

`2/6+(4/6*2/5)+(4/6*3/5*2/4)`

Wenn wir diese Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren, erhalten wir etwa 80%.

Chat mit Perplexity am 31.05.2005

User: Bei einem Sammlerproblem gibt es 6 Motive. Jemand hat bereits 4 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Käufen die Sammlung zu vervollständigen?

Perplexity:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 13,89%, dass die Sammlung in höchstens 3 Käufen vervollständigt wird.

Berechnung:

- Es fehlen 2 Motive von 6 möglichen.

- Bei 3 Käufen gibt es `6^3=21` mögliche Kombinationen.

- Erfolgreiche Fälle: Alle Käufe, die beide fehlenden Motive mindestens einmal enthalten.

- Der Code zählte 30 erfolgreiche Fälle, was zu `30/216=5/36≈0.1389` führt.

Mathematische Begründung:
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich auch über die Inklusions-Exklusions-Methode berechnen:

`P=1−2*(5/6)^3+(4/6)^3=5/36`

Dies bestätigt das Ergebnis der Simulation.

User: Begründe bitte deine Berechnung.

Perplexity:

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal A und mindestens einmal B zu ziehen:

Das ist:

P(kein A): In jedem Kauf wird nicht A gezogen, also eines der 5 anderen Motive: `(5/6)^3`
P(kein B): Analog: `(5/6)^3`
P(kein A und kein B): In jedem Kauf wird eines der 4 schon vorhandenen Motive gezogen: `(4/6)^3`

Also:

`P=1−[2⋅(5/6)^3−(4/6)^3]`

Chat mit GPT 4.0 am 31.05.2025

User: Bei einem Sammlerproblem gibt es 6 Motive. Jemand hat bereits 4 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Käufen die Sammlung zu vervollständigen?

GPT:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Sammlung in höchstens 3 Käufen vervollständigt wird, müssen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das fehlende Motiv in einem der drei Käufe gefunden wird.

Anwort:

Die Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv in einem Kauf zu finden, beträgt `2/6`, da es insgesamt 6 Motive gibt und bereits 4 Motive gesammelt wurden.

Die Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv in einem der drei Käufe zu finden, beträgt somit:

1 - (Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv NICHT in 3 Käufen zu finden)
`= 1 - "(Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv NICHT in einem Kauf zu finden)"^3`
`= 1 - (4/6)^3`
`= 1 - (2/3)^3`
`= 1 - 8/27`
`= 19/27`

Die Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in höchstens 3 Käufen zu vervollständigen, beträgt also `19/27` oder ca. 0,70 (gerundet auf zwei Dezimalstellen).

Lösungen zu "Aufgabe 1"

Lösungen zu Auftrag 1

ChatGPT:

Die Lösung ist richtig - siehe auch nachfolgendes Lösungsschema. Erläutern Sie, warum dieses Schema u.U. für Verwirrung sorgen kann.

Perplexity:

Das Ergebnis ist falsch, da es im 2. Schritt heißen muss `7 * (3!) = 42`. Damit ergibt sich auch das richtige Ergebnis von `42/81.`

Copilot:

Die Lösung ist ziemlicher Blödsinn. Auf jeden Fall hat Copilot nicht bedacht, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, nach vier Käufen genau zwei Motive zu haben.

Lösungsschema

Die KI CLAUDE hat dazu ein Lösungsschema entwickelt:

Lösungen zu Auftrag 2

zur Mistral-Lösung:

In der Rechnung stecken mehrere Fehler, u-a.:

1. Die Sammlung kann nicht in einem Kauf vervollständigt werden (angegebene Wahrscheinlichkeit `2/6`).

2. Die Wahrscheinlichkeit `2/5` und die zugehörige Begründung sind abstrus.

zur Perplexity-Lösung

Die ist richtig.

Eine elegante Lösung,

Kontrolle durch direkte Berechnung:

Es ergeben sich folgende Möglichkeiten zur Vervollständigung:

U-A-B, U-B-A, A-U-B, B-U-A, A-A-B, B-B-A, A-B, B-A (U: ursprüngliche Motive, A und B: fehlende Motive)

`p(U-A-B)=4/6*1/6*1/6=4/(6^3)` = `p(U-B-A) = p(A-U-B) = p(B-U-A)`

`p((A-A-B))=(1/6)^3` = `p(B-B-A)`

`p(A-B)=(1/6)^2` = `p(B-A)`

Gesamtwahrscheinlichkeit: `4*4/216+2*(1/6)^3+2*(1/6)^2=30/216=5/36`

Zur ChatGPT-Lösung

Die KI hat die Wahrscheinlichkeit berechnet, bei genau 3 Käufen mindestens eines der zwei fehlende Motive zu finden. Sie hat also die Problemstellung überhaupt nicht verstanden.

Vorschlag Prompting

eine mögliche Formulierung wäre:

Ich bin Schüler*in der ... Klasse und soll das nachfolgende Problem lösen. Bitte gib mir die Lösung schrittweise an: Zunächst die Lösungsidee. Dann die genauen Berechnungsschritte. Warte nach jedem Berechnungsschritt, bis ich "weiter" eingebe. Problem: Bei einem Sammlerproblem gibt es 6 Motive. Jemand hat bereits 4 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Käufen die Sammlung zu vervollständigen?

Achtung:

Wenn Sie diesen Prompt z.B. ChatGPT geben, erklärt die KI die Lösung ausführlich, aber falsch!! Fazit: Auch ein gutes prompting sorgt nicht unbedingt für die richte Lösung. Immer kritisch überprüfen!

Parabel und Geraden

Aufgabe 2 : Parabel an Geraden

Gegeben sind die Geraden y = -x + 2,5 und y = 2x - 5. Eine Parabel berührt im Punkt (1|1,5) die erste Gerade. Wie lautet die Gleichung dieser Parabel, die auch die 2. Gerade berührt?

Diese Aufgabe habe ich drei KI-Programmen gestellt. Hinter den Drop-Down-Panel unten finden Sie drei Lösungen. Nur eine ist richtig.

Merke: Auch KI können Fehler machen.

Finden Sie die richtige Lösung.
Korrigieren Sie die Fehler in den beiden anderen Lösungen.
Für eine KI-Nutzung ist das sehr wichtig, will man ansprechende Ergebnisse erzielen. Schreiben Sie einen Prompt, der Ihnen die Lösung schrittweise und ausführlich darstellt. Dabei müssen Sie hier nicht den gesamten Aufgabentext einbauen. Sprechen Sie einfach von einer Aufgabe, die Sie nachfolgend eingeben.
Eine weitere KI löst die Aufgabe mit Hilfe der folgenden drei Vorgaben. Stellen Sie die Gleichungen zusammen und lösen Sie das Gleichungssystem.
1. Der Punkt (1|1,5) liegt auf der Parabel.
2. Die Steigung der Parabel entspricht der Steigung der ersten Geraden bei x = 1.
3. Da die Parabel die Gerade y = 2x - 5 nur berührt, dürfen beide nur einen Schnittpunkt haben.
  
  Hinweis zu iii.
  Setze beide Gleichungen gleich und untersuche die Diskriminante (Term unter der Wurzel beim Lösung der quadratischen Gleichung)

Von ChatGPT erzeugtes Piktogramm für KI.

drei Lösungsversuche:

Grok 3, erstellt am 19.2.25

Aufgabe: Bestimme die Gleichung einer Parabel

Gegeben:

Gerade 1: y = -x + 2.5, berührt die Parabel im Punkt (1|1.5).
Gerade 2: y = 2x - 5, wird ebenfalls von der Parabel berührt.

Gesucht:
Die Gleichung der Parabel in der Form y = `ax^2 + bx + c`.

Lösungsschritte

Schritt 1: Bedingung für den ersten Berührungspunkt

Punkt (1|1,5) liegt auf der Parabel:
`1.5 = a*1^2 + b*1 + c`⟹ `a + b + c = 1.5` (Gleichung 1)
Steigung der Geraden`y = -x + 2.5` ist m = -1.
Ableitung der Parabel: `y' = 2ax + b`. Im Punkt `x = 1`:
`2a*1 + b = -1` ⟹ `2a + b = -1` (Gleichung 2)

Schritt 2: Bedingung für den zweiten Berührungspunkt

Sei der Berührungspunkt (`x_0`, `y_0`) auf `y = 2x - 5`, dann gilt:
`y_0 = 2x_0 - 5`
Da dieser Punkt auch auf der Parabel liegt:
`2x_0 - 5 = a*x_0^2 + b*x_0 + c` (Gleichung 3)
Steigung der Geraden ist 2, daher muss gelten:
`2a*x_0 + b = 2` (Gleichung 4)

Schritt 3: Gleichungen lösen

Umstellen von (2):
`b = -1 - 2a` (Gleichung 5)
Einsetzen in (1):
`a + (-1 - 2a) + c = 1.5` ⟹ `-a + c = 2.5` (Gleichung 6)
Umformen von (4):
`2a*x_0 + b = 2` ⟹ `2a*x_0 - 1 - 2a = 2`
⟹ `x_0 = (3 + 2a) / (2a)` (Gleichung 7)

Schritt 4: Einsetzen in (3)

Links: `2x_0 - 5`
Rechts: `a*x_0^2 + b*x_0 + c`
Nach Umformung erhält man:
`c = (4a^2 - 8a + 9) / 4a`

Schritt 5: Bestimmung von a, b, c

Einsetzen von c in (6):
`a - 1 - 2a + (4a^2 - 8a + 9) / 4a = 1.5`
Lösen ergibt:
`4a^2 - 18a + 9 = 0` ⟹ `a = 1/2`
Daraus folgt:
`b = -1 - 2 * (1/2) = -2`
`c = (4 * (1/2)^2 - 8 * (1/2) + 9) / 4(1/2) = 3`

Die Parabelgleichung lautet:
`y = (1/2)x^2 - 2x + 3`

ChatGPT 4.0, erstellt am 19.2.25

Berechnung der Parabelgleichung

Gegeben sind die Geraden:

`y = -x + 2.5`
`y = 2x - 5`

Eine Parabel der Form `y = ax^2 + bx + c` soll diese Bedingungen erfüllen:

Sie berührt die erste Gerade im Punkt `(1| 1.5)`
Sie berührt die zweite Gerade an einem weiteren Punkt

1. Bedingung: Die Parabel verläuft durch `(1| 1.5)`

Einsetzen in die Parabelgleichung: `a(1)^2 + b(1) +c = 1.5`

Vereinfacht: `a + b +c = 1.5`

2. Bedingung: Die Steigung der Parabel im Punkt `(1|1.5)` ist gleich der Steigung der ersten Geraden m =-1.

Ableitung der Parabel: `y' = 2ax + b`

Setzen von x = 1: `2a(1) + b = -1`

3. Bedingung: Die Parabel berührt auch die zweite Gerade `y = 2x - 5`.
Es existiert ein Punkt (`x_0`, `y_0`), sodass: `ax_0^2 + bx_0 +c = 2x_0 - 5`

Lösen der Gleichungen:

`a + b + c = 1.5`
`2a + b = -1`
`2ax_0 + b = 2`
`ax_0^2 + bx_0 + c = 2x_0 - 5`

Aus 3: `b = 2 - 2ax_0`
Einsetzen in 1: `c = a + 2.5`
Einsetzen in 4 und Lösen für a: `a(1 - x_0^2) = -7.5`

Die genaue Berechnung der Parabelgleichung hängt von der noch unbekannten Berührstelle x_0 der zweiten Tangente y = 2x - 5 ab. Für `x_0 = 2` erhalten wir `a = 4.5`, dann `b = -9` und `c = 6.5`.

Die endgültige Parabelgleichung lautet:
`y = 4.5x^2 - 9x + 6.5`

Gemini 2.0, erstellt am 20.2.25

Berechnung der Parabelgleichung

1. Allgemeine Form der Parabel
Wir gehen von der allgemeinen Form einer Parabel aus:
`y = ax^2 + bx + c`

2. Berührpunkt mit der ersten Geraden
Die Parabel berührt die erste Gerade y = -x + 2.5 im Punkt (1|1.5).
Das bedeutet, dass die Steigung der Parabel in diesem Punkt gleich der Steigung der Geraden sein muss.
Die Steigung der Geraden ist -1.

Die Ableitung der Parabelgleichung gibt uns die Steigung an jeder Stelle:
y' = 2ax + b

Setzen wir den Punkt (1|1.5) und die Steigung -1 ein:

`1.5 = a(1^2 + b(1) + c`

`-1< = 2a(1) + b`

3. Berührung mit der zweiten Geraden
Die Parabel berührt auch die zweite Gerade y = 2x - 5.
Da wir den Berührpunkt nicht kennen, nennen wir ihn (`x_b`, `y_b`).
Die Steigung der zweiten Geraden ist 2.

`y_b = ax_b^2 + bx_b + c`
`2 = 2x_b - 5`

5. Gleichungssystem lösen
Wir haben nun ein System von fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten (a, b, c, `x_b`, `y_b`):

1.5 = a + b + c
-1 = 2a + b
`y_b = 2x_b - 5`
`y_b = ax_b^2 + bx_b + c`
`2 = 2ax_b + b`

Dieses System lösen wir, um die Werte von a, b, c, `x_b` und `y_b` zu finden.

Gleichung 4 und Gleichung 5 gleichsetzen: `ax_b^2 + bx_b + c = 2x_b - 5` (Gleichung 6)
Gleichung 2 nach b auflösen: `b = -1 - 2a`
b in Gleichung 1 einsetzen ⇒ `c = 2,5 + a`
b in Gleichung 5 einsetzen ⇒ `x_0 = (3 + 2a)/(2a)`
b, c und `x_0` in Gleichung 6 einsetzen: `2 ((3 + 2a) / (2a)) - 5 = a ((3 + 2a) / (2a))² + (-1 - 2a) * ((3 + 2a) / (2a)) + (2,5 + a) `
Durch Multiplizieren mit `4a^2`, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen erhält man: `12a + 8a^2 - 20a` = `9 + 12a + 4a^2 -6a -4a^2 - 12a^2 - 10a^2 - 4a^3 + 10 a^2 + 4a^2`

⇒ Zu lösen ist die Gleichung `0 = -10a^2 - 6a + 9`.

Berechnet man die Parabelgleichungen der beiden Lösungen `a_1 ~~ 1,29` und `a_2 ~~ -1,89`, so zeigt sich, dass nur die zweite Lösung die Bedingungen erfüllt.

6. Gleichung der Parabel

Die Gleichung der Parabel lautet `y = -1,89x^2 + 2,78x + 0,61`.

Lösungen zu "Aufgabe 2"

zu a.

Am schnellsten erkennt man die richtige Lösung, wenn man sich die beiden Geraden und die berechnete Parabel darstellen lässt. Hier sind nur zwei Darstellungen wiedergegeben, die von Grok (einzig richtige Lösung) und ChatCPT.

Grok

ChatGPT

zu b.

ChatGPT-Lösung: Der Fehler liegt darin, dass angenommen wird, dass `x_0`= 2 ist. Die Stelle ist ja gerade nicht bekannt.

Gemini-Lösung:

Der Fehler liegt beim Auflösen der Gleichung 6:

b, c und `x_0` in Gleichung 6 einsetzen: `2 ((3 + 2a) / (2a)) - 5 = a ((3 + 2a) / (2a))² + (-1 - 2a) * ((3 + 2a) / (2a)) + (2,5 + a) `
Durch Multiplizieren mit `4a^2`, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen erhält man: `12a + 8a^2 - 20a` = `9 + 12a + 4a^2 -6a -4a^2 - 12a^2 - color(red)(12)a^2 - color(red)(8)a^3 + 10 a^2 + 4a^2` (rot = korrigierte Werte)
Nach dem Zusammenfassen erhält man: `9a - 18a^2 = 0`⇒ `a = 0 vv a = 1/2`
Da a ≠ 0 (sonst wäre es keine Parabel), ergibt sich aus a = `1/2` ⇒ b = -2 + c = 3 ⇒ Die Parabelgleichung lautet:
`y = (1/2)x^2 - 2x + 3`

zu c.

Es ist sinnvoll, zunächst Ihre Situation und Ihren Leistungsstand zu schildern. Dazu gehören auch Anweisungen zur Ausführlichkeit der Lösungen. Das erste Prompt könnte also z.B. so lauten:

Ich bin Schüler oder Schülerin in einem Leistungskurs der Qualifikationsphase in NRW und muss die Aufgabe lösen. die ich dir nachfolgend beschreibe. Bitte kommentiere den Lösungsweg ausführlich, damit ich ihn nachvollziehen kann. Du musst aber nicht jeden kleinen Schritt dokumentieren, da ich ein guter Schüler/ eine gute Schülerin bin.

Die Antwort ist z.B. Klar! Stell mir einfach die Aufgabe, und ich werde den Lösungsweg ausführlich, aber nicht übertrieben detailliert erklären.

Nach Eingabe der Aufgabenstellung beschreibt die KI den Lösungsweg.

Zur Überprüfung können Sie anschließend zum Beispiel einen weiteren Prompt formulieren:

Zeichne zur Kontrolle die beiden Geraden und die Parabel.

zu d.

Aus den beiden ersten Bedingungen folgt (siehe die anderen Lösungen): a + b + c = 1,5 und 2a + b = -1.

Zur Berechnung der Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden werden die Terme gleichgesetzt:

`ax^2 + bx + c = 2x - 5` ⇒ `ax^2 + (b - 2)x + c + 5 = 0` ⇒ `x^2 + (b-2)/ax + (c + 5)/a = 0`

⇒ D = `((b-2)/(2a))^2 - (c+5)/a = 0` ⇒ `(b-2)^2 -4a(c + 5) = 0`

Damit hat man drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Zum Beispiel mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens erhält man a = `1/2`, b = -2, c = 3.

Mistral AI Lösung 17.05.2025

Eine interessante Lösung von der französischen Mistral AI mit zwischenzeitlichem Selbstzweifel vom 17.05.2025:

Hubschrauberflüge

Aufgabe 3 : Begegnung zweier Hubschrauber

Ein Hubschrauber startet in `(0|0|0)` und fliegt mit einer Geschwindigkeit von `150 "km"/h` in Richtung `(2|-2|1)`.

Zwei Minuten später startet ein 2.Hubschrauber im Punkte `(40|10|0)` und fliegt in Richtung `(-1|-2|2)`.

Berechnen Sie die Geschwindigkeit des 2. Hubschraubers, bei der sich die beiden am nächsten kommen und bestimmen Sie auch den Zeitpunkt dieser Begegnung.

Stellen Sie zunächst einen Lösungsplan auf.
Führen Sie den Lösungsplan aus.

Quelle:erstellt mit nanobanana.ai

Zunächst sollen Sie das Problem mihilfe von Methoden der Analytischen Geometrie selbst lösen, um die "Lösungen" der KI besser beurteilen zu können. Danach werden Ihnen Lösungsvarianten von Claude, ChatGpt und Mistral vorgestellt.

Bemerkenswert ist, dass alle befragten KI`s zunächst schwierigere Lösungsmethoden der Differentialrechnungen einsetzten und erst auf einen entprechenden Hinweis auf Verfahren der Analytischen Geometrie zurückgriffen.

1. Eigene Lösung

Lösung

zu a.

Schritt 1:

Darstellung der Hubschrauberflüge als Geradengleichungen `g_1` und `g_2`

Schritt 2:

Bestimmung der Strecke `L_1L_2`, die auf beiden Geraden senkrecht steht - also das Lot.

Schritt 3:

Berechnung der Zeit `t_1` (in Minuten), welche der 1. Hubschrauber benötigt, um zum Punkt `L_1` zu gelangen.

Schritt 4:

Ist der 1. Hubschrauber im Punkt `L_1`, dann muss wegen des geringsten Abstandes der 2. Hubschrauber gleichzeitig im Punkt `L_2` sein.

Dafür benötigt er nur `t_1 - 2` Minuten, da er ja 2 Minuten später startet.

Daraus lässt sich die gefragte Geschwindigkeit berechnen.

zu b.

Schritt 1:

`g_1: vec x = r*((2),(-2),(1))` und `g_2: vec x = ((40),(10),(0)) + s*((-1),(-2),(2))`

Schritt 2:

`vec (L_1L_2) = ((40),(10),(0)) + s*((-1),(-2),(2)) - r*((2),(-2),(1))`

Da dieser Vektor auf beiden Geraden senkrecht steht, muss gelten:

`(((40),(10),(0)) + s*((-1),(-2),(2)) - r*((2),(-2),(1)))**((2),(-2),(1)) = 0`
`^^(((40),(10),(0)) + s*((-1),(-2),(2)) - r*((2),(-2),(1))**((-1),(-2),(2)) = 0`

`hArr 60 + s*4 - r*9 = 0 ^^ -60 + s*9 - r*4 = 0`

`hArr s = 12^^ r = 12`

Somit hat `L_1 ` die Koordinaten `(24|-24|12)` und `L_2` die Koordinaten `(28|-14|24)`.

Daraus ergibt sich schon der minimale Abstand `d = sqrt(4^2 + 10^2 + 12^2) = 16.125`

Schritt 3:

Zunächst ist zu prüfen, ob der 1. Hubschrauber in Richtung `L_1` fliegt und nicht in Gegenrichtung.

`vec (H_1L_1)= ((24-0),(-24-0),(12-0))=12*((2),(-2),(1))`

Hubschrauber 1 fliegt in Richtung `L_1`, da `vec (H_1L_1)` ein positives Vielfaches seines Richtungsvektors ist.

Die Strecke vom Startpunkt des 1. Hubschraubers bis zum Punkt `L_1` beträgt somit `sqrt(24^2 + (-24)^2 + 12^2) = 36 (km)`.

Dafür benötigt er `36/150 = 0.24 (h)` bzw. `14.4` Minuten.

Schritt 4:

Auch hier erfolgt zunächst die Prüfung der Flugrichtung.

`vec (H_2L_2)= ((28-40),(-14-10),(24-0))=12*((-1),(-2),(2))`

Hubschrauber 2 fliegt in Richtung `L_2`, da `vec (H_2L_2)` ein positives Vielfaches seines Richtungsvektors ist.

Die Entfernung , die der 2. Hubschrauber von seinem Startpunkt bis zum Punkt `L_2` zurücklegt, beträgt `sqrt((-12)^2 + (-24)^2 + 24^2) = 36`.

Da er diese Strecke in nur `14.4 - 2 = 12.4` Minuten zurücklegen muss, beträgt seine Geschwindkeit `36/(12.4)*60 = 174.2 ("km"/h)`.

GeoGebra-Hilfe

2. Lösungen von Claude vom 21.11 und 22.11.2025

1. Antwort von Claude (21.11.)

Schritt 1: Bahngleichungen aufstellen

Zunächst normiere ich die Richtungsvektoren:

Für Hubschrauber 1: `|vec (r_1)| = sqrt(2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3`

Einheitsvektor: `vec (e_1) = 1/3*((2),(-2),(1))`

Für Hubschrauber 2: `|vec (r_2)| = sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + 2^2) = 3`

Einheitsvektor: `vec (e_2) = 1/3*((-1),(-2),(2))`

Schritt 2: Positionsvektoren als Funktion der Zeit

Zeit t in Stunden nach Start von Hubschrauber 1:

`vec(h_1(t)) = ((0),(0),( 0)) + 150* 1/3*((2),(-2),(1))*t=((100t),(-100t),(50t))`

Hubschrauber 2 startet bei t = 1/30, also ist seine Flugzeit (t - 1/30):

`vec(h_2(t)) = ((40),(10),( 0)) + v_2*1/3*(( -1),(-2),(2))*(t - 1/30)` für t ≥ 1/30.

`vec(h_2(t)) = ((40 - v_2/3*(t - 1/30)),(10 - (2v_2)/3*(t - 1/30)),((2v_2)/3(t - 1/30)))`

Schritt 3: Abstandsfunktion

Der Abstandsvektor ist: `vec (d(t)) = vec(h_2(t)) - vec(h_1(t))`

`vec (d(t)) = ((40 - v_2/3*(t - 1/30)-100t),(10 - (2v_2)/3*(t - 1/30)+100t),((2v_2)/3(t - 1/30)-50t))`

Das Abstandsquadrat ist: `D(t) = |vec (d(t))|^2`

Schritt 4: Minimierung des Abstands

Der Abstand wird minimal, wenn die Ableitung `D'(t) = 0` ist, was äquivalent zu `vec (d(t))**vec (d'(t)) = 0` ist.

`vec(d'(t)) = ((v_2/3 - 100 ),((2*v_2)/3 + 100),((2*v_2)/3 - 50))`

Die Bedingung `vec (d(t))**vec (d'(t)) = 0` führt zu einer Gleichung, die ich nach der optimalen Geschwindigkeit `v_2` auflösen kann.

Nach umfangreicher Rechnung ergibt sich:

v₂ ≈ 165 km/h

Zeitpunkt des minimalen Abstands: t ≈ 0,087 Stunden ≈ 5,2 Minuten nach Start von Hubschrauber 1

Minimaler Abstand: ≈ 18,3 km

Beurteilen Sie das Lösungsverfahren.

Beurteilung der 1. Antwort

Die Gleichung im 4. Schritt ist korrekt:

Begründung:

`D(t)=(40-v_2/3*(t-1/30)-100t)^2+(10-(2v_2)/3*(t-1/30)+100t)^2+((2v_2)/3(t-1/30)-50t)^2`

`D'(t)=2*(40-v_2/3*(t-1/30)-100t)*(-v_2/3-100))`

`+2*(10-(2v_2)/3*(t-1/30)+100t)*(-(2v_2)/3+100)`

`+2*((2v_2)/3(t-1/30)-50t)*((2v_2)/3-50)`

`=2*vec (d(t))**vec (d'(t))`

Der Fehler muss in der "umfangreichen Rechnung" stecken. Diese Rechnung ist in der Tat sehr umfangreich, da es sich um ein Extremwertproblem einer Funktion mit 2 Variablen handelt. Für Interessierte folgt hier die Lösung.

Lösung mithilfe der Differentialrechnung

`D(t)` ergibt ausmultipliziert:

`f(t,v_2)=1/900*v_2^2+4/3*v_2+1700-6000*t-320/9*v_2*t-1/15v_2^2*t+22500*t^2+(v_2*t)^2-400/3*v_2*t^2`

Dies ist eine Funktion in den beiden Variablen `t` und `v_2`.

Ableitung nach t ergibt:

`f'_t(t,v_2)=(2v_2^2-800/3*v_2+45000)*t-1/15*v_2^2-320/9*v_2-6000`

Setzt man `f'_t(t,v_2)` gleich 0 und löst nach `t` auf, so erhält man:

`t=(1/15*v_2^2+320/9*v_2+6000)/(2*v_2^2-800/3*v_2+45000)`

`hArr t=(3*v_2^2+1600*v_2+270000)/(90*v_2^2-12000*v_2+2025000)` (1)

Ableitung von `f(t,v_2)` nach `v_2` ergibt:

`f'_(v_2)(t,v_2)=(2t^2-2/15*t +1/450)*v_2-400/3*t^2-320/9*t+4/3`

Setzt man `f'_(v_2)(t,v_2)` gleich 0 und löst nach `v_2` auf, so erhält man:

`v_2=(400/3*t^2+320/9*t-4/3)/(2t^2-2/15*t +1/450)`

`hArr v_2=(60000*t^2+16000*t-600)/(900*t^2-60*t+1)`

`hArr v_2=(200*(10*t+3)(30t-1))/((30t-1)^2)=(200(10*t+3))/(30*t-1)`

Dieser Term muss in die obige Gleichung (1) eingesetzt werden. Die weitere Rechnung wurde einem Computer-Algebar-System überlassen.

Ergebnis: `t=6/25=0,24 (h)` und `v_2=5400/31=174,2 (km)/h`

2. Antwort von Claude (22.11.)

`vec h_1(t)=vec h_2(t)`

`((100t),(-100t),(50t))=((40),(10),( 0)) + v_2*1/3*(( -1),(-2),(2))*(t - 1/30)`

`100t=40-v_2/3(t-1/30)`

Aus der dritten Gleichung: `v_2=(75t)/(t-1/30)`

Einsetzen in die erste Gleichung und Auflösen ergibt:

t = 0,1 Stunden = 6 Minuten

v₂ = 107,14 km/h

Beurteilen Sie das Lösungsverfahren.

Beurteilung der 2.Antwort

Die Gleichung `vec (h_1(t))=vec (h_2(t))` prüft, ob die Hubschrauber kollidieren können. Darüberhinaus wird nicht geprüft, ob die für `v_2` und `t` erechneten Werte die 2. Gleichung des Gleichungssytem erfüllen.

Nun wurde Claude folgender Hinweis gegeben:

Ich würde zunächst die Lotstrecke L1L2 zwischen den beiden Fluggeraden bestimmen. Danach wird die Zeit t1 in Minuten berechnet, die der 1. Hubschrauber bis zum Punkte L1 benötigt. Dann kann man die Geschwindigkeit ermitteln, mit welcher der 2. Hubschrauber in der Zeit t1-2 den Punkt L2 erreicht.

Antwort von Claude:

"Ausgezeichneter Ansatz! Das ist tatsächlich die elegante geometrische Lösung. Lassen Sie mich das systematisch durchführen."

Die folgende Rechnung entsprach dann vollständig der obigen "Eigenen Lösung" mit dem korrekten Ergebnis.

3. Lösung von ChatGPT vom 21.11. und 22.11.2025

Antworten von ChatGpt (21.11).

Die Rechnungen der KI waren teilweise so verworren, dass es sich nicht lohnt, hier eine Fehleranalyse vorzunehmen. Folgende Antworten gab die KI am 21.11.:

1. Wenn der 2. Hubschrauber ca. 101 km/h fliegt, dann ist der Punkt seiner Bahn, der dem ersten Hubschrauber am nächsten kommt, genau der Startpunkt des 2. Hubschraubers — also der Moment seines Abhebens.

(Die KI merkte nicht einmal den Widerspruch zwischen der angegebenen Geschwindigkeit und dem Zeitpunkt des Abhebens).

2. Der KI wurde dann der folgende Hinweis gegeben:

Ich würde zunächst die Lotstrecke L1L2 zwischen den beiden Fluggeraden bestimmen, dann die Zeit t1 in Minuten berechnen, die der 1. Hubschrauber bis zum Punkte L1 benötigt. Dann kann man die Geschwindigkeit ermitteln, mit welcher der 2 .Hubschrauber in t1-2 Minuten den Punkt L2 erreicht.

Antwort von ChatGpt:

H₂ kann nicht gleichzeitig L₂ erreichen, denn H₁ ist früher dort.
Der Zeitpunkt des minimalen Abstands ist der Start von H₂.

Antworten von ChatGpt (22.11).

Bei einer erneuten Anfrage - wahrscheinlich mit einer anderen Version - wurde `D(t) = |vec (d(t))|^2` - siehe Schritt 3 bei Claude - bestimmt und mithilfe der Differentialrechnung die richtige Lösung gefunden. Auch der Hinweis bzgl. der Lotstrecke ergab die korrekte Lösung analog zum Chat mit Claude.

4. Lösungen von Mistral vom 22.11. und 26.11.2025

Antworten von Mistral (22.11.)

Mistral berechnete mithilfe von `D(t) = |vec (d(t))|^2` und der Differentialrechnung:

7. Zusammenfassung der Ergebnisse

Geschwindigkeit von H2: $200$ km/h
Zeitpunkt des minimalen Abstands: Minuten nach Start von H1 (also $8$ Minuten nach Start von H2)

Mit dem Hinweis

"Ich würde zunächst die Lotstrecke L1L2 zwischen den beiden Fluggeraden bestimmen. Danach wird die Zeit t1 in Minuten berechnet, die der 1. Hubschrauber bis zum Punkte L1 benötigt. Dann kann man die Geschwindigkeit ermitteln, mit welcher der 2. Hubschrauber in der Zeit t1-2 den Punkt L2 erreicht."

wurde dann allerdings die richtige Lösung gefunden.

Antworten von Mistral (26.11.)

Mistral wurde die Aufgabe mit dem Zusatz "Methoden der Analytischen Geometrie zu verwenden" gestellt. Trotzdem verwendete Mistral wieder die Differentialrechnung mit dem Ergebnis:

Geschwindigkeit des 2. Hubschraubers: 75 km

Erreichen des Punktes mit dem minimalen Abstand: 32 Minuten

Minimaler Abstand: 50 km

Es folgte der Hinweis an Mistral,dass die Lotstrecke 16,125 km lang sei.

Nun berechnete Mistral die Geschwindigkeit mit 93,75 km und die Zeit bis zum Erreichen des Lotfußpunktes wieder mit 32 Minuten.

Fazit: Nur falsche Antworten

Bildung für nachhaltige Entwicklung (BNE)

Bildung für nachhaltige Entwicklung (BNE) befähigt Menschen dazu, die komplexen Zusammenhänge unserer globalisierten Welt zu verstehen und verantwortungsvoll zu handeln. Ziel ist es, ökologische, ökonomische und soziale Perspektiven zusammenzudenken und nachhaltige Entscheidungen im Alltag, in Politik und Wirtschaft zu treffen.

Eine wichtige Grundlage für BNE in Deutschland ist der Orientierungsrahmen Globale Entwicklung der Kultusministerkonferenz und des BMZ. Er beschreibt, welche Kompetenzen Schülerinnen und Schüler benötigen, um globale Herausforderungen wie Klimawandel, Armut oder Ungleichheit zu beurteilen und aktiv an einer gerechteren Welt mitzuwirken. Dabei geht es nicht nur um Wissen, sondern auch um Werte, Perspektivwechsel und die Fähigkeit zum kritischen Denken.

International orientiert sich BNE an den Sustainable Development Goals (SDGs) der Vereinten Nationen. Die 17 Nachhaltigkeitsziele – von hochwertiger Bildung über Klimaschutz bis hin zu Frieden und Gerechtigkeit – geben einen gemeinsamen Rahmen vor, um nachhaltige Entwicklung weltweit voranzubringen. BNE macht die SDGs im Bildungsalltag greifbar und zeigt, wie das eigene Handeln mit globalen Zielen zusammenhängt.

(Text von ChatGPT)

Themenbereiche aus dem Orientierungsrahmen für die gymnasiale Oberstufe

Die im Folgenden aufgeführten Beispielthemen für einen Mathematikunterricht im Sinne einer Bildung für nachhaltige Entwicklung liefern relevante Sachkontexte, die für die Auseinandersetzung mit globalen Nachhaltigkeits- und Gerechtigkeitsfragen mit mathematischen Mitteln geeignet sind und gleichzeitig Raum für innermathematische Erkenntnisprozesse bieten (vgl. Kapitel 1). Die Auswahl ist nach den Themenbereichen des Lernbereichs Globale Entwicklung geordnet und enthält Beispiele für die drei Kernthemen des Mathematikunterrichts in der gymnasialen Oberstufe: Analysis, Lineare Algebra und Stochastik.
Zu einigen der Beispielthemen sind Verweise auf bereits publizierte Unterrichtsvorschläge und didaktische Skizzen enthalten. Unter den angegebenen Quellen finden sich entsprechend weiterführende Hinweise zu Materialien und vorhandenen Publikationen (teilweise mit Bezug auf die Sekundarstufe I), die die Planung und Durchführung des eigenen Unterrichts anreichern können.

Quelle: Orientierungsrahmen für die gymnasiale Oberstufe (KMK/BMZ Orientierungsrahmen Globale Entwicklung – Bildung für nachhaltige Entwicklung in der gymnasialen Oberstufe, herausgegeben von Engagement Global gGmbH, Bonn 2025)

Tabelle mit Themenbereichen und Bezügen zum Net-Mathebuch

Die folgende Tabelle stammt ebenfalls aus dem Orientierungsrahmen für die gymnasiale Oberstufe. Sie wurde ergänzt um eine Spalte mit Verweisen auf Themen, die schon im Net-Mathebuch enthalten sind. Die auch ohne Account zu erreichenden Beispiele sind gesondert gekennzeichnet.

Themenbereiche	Titel	SDG	im Net-Buch enthalten
5 Landwirtschaft und Ernährung	Auswirkungen des Fleischkonsums (LA): Analyse der Auswirkungen des Fleischanteil an der Ernährung mithilfe linearer Mischungsmodelle (St): Korrelation zwischen Fleischkonsum und Regenwaldzerstörung (Siller & Maaß, 2013)	SDG 12, SDG 13
6 Gesundheit und Krankheit	Häufigkeit und Ausbreitung von tödlichen Krankheiten wie Ebola in verschiedenen Ländern und im historischen Verlauf (A): Modellierung der Totenzahlen, logistisches Wachstum (MUED, 2014) Gesundheit und Wohlbefinden überall? (A): Untersuchung von Datenreihen zu einem der Indikatoren für SDG3, mit Trendfunktionen Prognosen erstellen (Warmeling, 2022) Wachstumsuntersuchungen bei Kindern (St):Normalverteilung, Perzentilkurven lesen und auswerten (Römer, 2016) Unterernährung versus Übergewichtigkeit (St):Daten recherchieren, darstellen und analysieren, Korrelationen untersuchen (Wagner et al., 2017) Untersuchungen von Clustern bei seltenen Erkrankungen (St): Hypothesentests etc. (Schäfer, 2016) Computertomographie (LA): Lineare Gleichungssysteme (Oldenburg, 2006) Eine Injektion gegen HIV (St): eine große Hilfe für Frauen nicht nur in Südafrika	SDG 3	die Corona-Epidemie (frei) Fake News und Impfungen Übersterbichkeit die ersten 1000 Tage Wirksamkeit von Impfstoffen (frei), Statistik Propranolol - ein Dopingmittel, komplexe Anwendungsaufgaben Analysis (LK) Geburtsgewicht, Normalverteilung - Anwendungen Body Maß Index, Statistik - Diagramme Medikamententest, insbesondere Aufgabe W5: A Vaccine for HIV
7 Bildung	Hochwertige Bildung (A, St): Zeitreihen zu Indikatoren zum SDG4 darstellen und analysieren, mit Trendfunktionen Prognose erstellen Demokratiebildung (St): Datengestützte Untersuchung von Wahlverfahren und -ergebnissen (Frohn & Salle, 2022; Heitzer & Pohlkamp, 2020) Bildungsungleichheit Korrelation zwischen sozialer Herkunft und Bildungschancen (Just et al. 2025)	SDG 4
8 globalisierte Freizeit	Massentourismus und CO₂-Emissionen (A): Datengestütztes Modellieren von Umweltauswirkungen, Prognosen Abschätzung von Energieverbräuchen für Internetnutzung und Streaming (St): Datengestütztes Modellieren	SDG 13
9 Schutz und Nutzung natürlicher Ressourcen und Energiegewinnung	Leistung einer PV-Anlage in Abhängigkeit von Einfallswinkel und Abschattung (LA): Skalarprodukt und Winkelberechnungen (Ludwig, & Oldenburg, 2007) Wildtiermanagement (LA): Populationsmatrizen (Bieber & Ruf, 2005) Der ökologische Fußabdruck (A): Datengestützte Analyse des Ressourcenverbrauchs (Büchter et al., 2021) Earth Overshoot Day (A): Datengestützte Analyse des Ressourcenverbrauchs, Projektionen (Böer, 2019) Erdöl- und andere Vorräte (A):Analyse von Zeitreihen, Integralrechnung (Krüger, 2016) Reduktion von Verpackungs-„Müll“ (A):Extremwertaufgaben (Böer, 2007) Photovoltaik – aber bitte effektiv (A): Ausrichtung und Neigung von PV-Anlagen in den Blick nehmen	SDG 13 SDG 14 SDG 15	Wölfe in Deutschland (frei), Exponentialfunktion Aufgaben zum Wildtiermanagement (Populationsmatrizen), z.B. Wildschweine Blauwale Müllvermeidung (Extremwertaufgaben), z.B. Postpakete Die Milchtüte stationäre PV-Anlagen, Analytische Geometrie - komplexe Aufgaben
10 Chancen und Gefahren des technologischen Fortschritts	Analyse von Recyclingprozessen (LA): Übergangsmatrizen Rohstoff - Verbrauche und Endlichkeit (A): Modellierung mit Hilfe von Differenzengleichungen, Integralrechnung (Warmeling, 2009)	SDG 12
11 Globale Umweltveränderungen	Eisschmelze (A): Plausibilitätsuntersuchungen, Zeitreihenanalysen (MUED, 2021; Pohlkamp 2021). Anstieg des Meeresspiegels (A): Beschreibung und Auswertung von Zeitreihen – Ableitungsfunktion (MUED, 2018) Insektenschwund (A): Integralrechnung (Böer, 2019) Mathematikunterricht im Themenfeld Klima (St): Korrelation und Kausalität (Just, Siller & Vorhölter,2023) Steigender Meeresspiegel und schwindendes Meereis (St): Messreihen zum Klimawandel untersuchen	SDG13	Aufgaben zum Klima (frei), Klimatrends aus Temperaturdaten Die LOESS-Methode
12 Mobilität, Stadtentwicklung und Verkehr	E-mobilität (St): Modellierung von Klimagasentwicklung von E-Autos (Noshadravan et al., 2015) Lärmuntersuchungen (A): Messen und Berechnen von Schallenergie, Logarithmusfunktion (Oldenburg, 2022)	SDG 11	Lärmbelastung, Logarithmusfunktionen, z.B. Schalldruckpegel Schallschutzfenster
14 Demografische Strukturen und Entwicklung	Welt- und Länderbevölkerungswachstum (A): Modellierung mit verschiedenen Wachstumsannahmen, (St): Bevölkerungsvorausberechnung (MUED, 2012) Untersuchung von Bevölkerungsentwicklungen mit Blick auf die CO₂-Emissionen (A) (Krüger & Budde, 2016) Wahlen (St): Sitzverteilungsverfahren und Gerechtigkeit (Jahnke, 1998; Heitzer & Pohlkamp, 2020)
15 Armut und soziale Sicherheit	Schuldenkrise und Entschuldung (A, St): Modellierung von Überschuldungssituationen (Warmeling, 2003) Entwicklung von Armut und Hunger in Pandemie-Situationen und globalen Krisen (A, St) (Welthaus Bielefeld, 2021) Armut und Hunger (A, St): Untersuchung von Zeitreihen zur SDG1 und 2 Funktionale Modellierung, Korrelation (Our World in Data, 2018) Reichtum und Wachstum – Schieflagen (A): Gini-Koeffizient (Rehlich, 2016; Vohns, 2013) Geschlechterungleichheit: Gender Pay Gap – Lohngefälle zwischen den Geschlechtern (Gross & Lengnink 2024)	SDG 1 SDG 2 SDG 5	Armutsgefährdung, Lage- und Streuparameter Gini-Koeffizient, Integralrechnung
21 Kommunikation im globalen Kontext	Desinformation (Fake News) (St): Simpson-Paradoxon (Warmeling, 2022) Der CO₂-Fußabdruck eines Babys (A): Integralrechnung (Warmeling, 2020)		Vorsicht: Fake News (frei)

Literaturverzeichnis zur Tabelle

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