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 Aufgabe: Mit KI Aufgaben lösen lassen ...  

Gegeben sind die Geraden y = -x + 2,5 und y = 2x - 5. Eine Parabel berührt im Punkt (1|1,5) die erste Gerade. Wie lautet die Gleichung dieser Parabel, die auch die 2. Gerade berührt?

Diese Aufgabe habe ich drei KI-Programmen gestellt. Hinter den Drop-Down-Panel unten finden Sie drei Lösungen. Nur eine ist richtig.

Merke: Auch KI können Fehler machen. 

  1. Finden Sie die richtige Lösung. 
  2. Korrigieren Sie die Fehler in den beiden anderen Lösungen. 
  3. Für eine KI-Nutzung ist das  sehr wichtig, will man ansprechende Ergebnisse erzielen. Schreiben Sie einen Prompt, der Ihnen die Lösung schrittweise und ausführlich darstellt. Dabei müssen Sie hier nicht den gesamten Aufgabentext einbauen. Sprechen Sie einfach von einer Aufgabe, die Sie nachfolgend eingeben. 
  4. Eine weitere KI löst die Aufgabe mit Hilfe der folgenden drei Vorgaben. Stellen Sie die Gleichungen zusammen und lösen Sie das Gleichungssystem.
    1. Der Punkt (1|1,5) liegt auf der Parabel.
    2. Die Steigung der Parabel entspricht der Steigung der ersten Geraden bei x = 1.
    3. Da die Parabel die Gerade y = 2x - 5 nur berührt, dürfen beide nur einen Schnittpunkt haben. 
      Setze beide Gleichungen gleich und untersuche die Diskriminante (Term unter der Wurzel beim Lösung der quadratischen Gleichung)

Von ChatGPT erzeugtes Piktogramm für KI. 

drei Lösungsversuche:

Aufgabe: Bestimme die Gleichung einer Parabel

Gegeben:

  • Gerade 1: y = -x + 2.5, berührt die Parabel im Punkt (1|1.5).
  • Gerade 2: y = 2x - 5, wird ebenfalls von der Parabel berührt.

Gesucht:
Die Gleichung der Parabel in der Form y = `ax^2 + bx + c`.

Lösungsschritte

Schritt 1: Bedingung für den ersten Berührungspunkt

  • Punkt (1|1,5) liegt auf der Parabel:
    `1.5 = a*1^2 + b*1 + c`⟹ `a + b + c = 1.5` (Gleichung 1)
  • Steigung der Geraden`y = -x + 2.5` ist m = -1.
  • Ableitung der Parabel: `y' = 2ax + b`. Im Punkt `x = 1`:
    `2a*1 + b = -1` ⟹ `2a + b = -1` (Gleichung 2)

Schritt 2: Bedingung für den zweiten Berührungspunkt

  • Sei der Berührungspunkt (`x_0`, `y_0`) auf `y = 2x - 5`, dann gilt:
    `y_0 = 2x_0 - 5`
  • Da dieser Punkt auch auf der Parabel liegt:
    `2x_0 - 5 = a*x_0^2 + b*x_0 + c` (Gleichung 3)
  • Steigung der Geraden ist 2, daher muss gelten:
    `2a*x_0 + b = 2` (Gleichung 4)

Schritt 3: Gleichungen lösen

  • Umstellen von (2):
    `b = -1 - 2a` (Gleichung 5)
  • Einsetzen in (1):
    `a + (-1 - 2a) + c = 1.5` ⟹ `-a + c = 2.5` (Gleichung 6)
  • Umformen von (4):
    `2a*x_0 + b = 2` ⟹ `2a*x_0 - 1 - 2a = 2`
    ⟹ `x_0 = (3 + 2a) / (2a)` (Gleichung 7)

Schritt 4: Einsetzen in (3)

  • Links: `2x_0 - 5`
  • Rechts: `a*x_0^2 + b*x_0 + c`
  • Nach Umformung erhält man:
    `c = (4a^2 - 8a + 9) / 4a`

Schritt 5: Bestimmung von a, b, c

  • Einsetzen von c in (6):
    `a - 1 - 2a + (4a^2 - 8a + 9) / 4a = 1.5`
  • Lösen ergibt:
    `4a^2 - 18a + 9 = 0` ⟹ `a = 1/2`
  • Daraus folgt:
    `b = -1 - 2 * (1/2) = -2`
    `c = (4 * (1/2)^2 - 8 * (1/2) + 9) / 4(1/2) = 3`

Die Parabelgleichung lautet:
`y = (1/2)x^2 - 2x + 3`

Berechnung der Parabelgleichung

Gegeben sind die Geraden:

  1. `y = -x + 2.5`
  2. `y = 2x - 5`

Eine Parabel der Form `y = ax^2 + bx + c` soll diese Bedingungen erfüllen:

  • Sie berührt die erste Gerade im Punkt `(1| 1.5)`
  • Sie berührt die zweite Gerade an einem weiteren Punkt

1. Bedingung: Die Parabel verläuft durch `(1| 1.5)`

Einsetzen in die Parabelgleichung: `a(1)^2 + b(1) +c = 1.5`

Vereinfacht: `a + b +c = 1.5`

2. Bedingung: Die Steigung der Parabel im Punkt `(1|1.5)` ist gleich der Steigung der ersten Geraden m =-1.

Ableitung der Parabel: `y' = 2ax + b`

Setzen von x = 1: `2a(1) + b = -1`

3. Bedingung: Die Parabel berührt auch die zweite Gerade `y = 2x - 5`.
Es existiert ein Punkt (`x_0`, `y_0`), sodass: `ax_0^2 + bx_0 +c = 2x_0 - 5`

Lösen der Gleichungen:

  1. `a + b + c = 1.5`
  2. `2a + b = -1`
  3. `2ax_0 + b = 2`
  4. `ax_0^2 + bx_0 + c = 2x_0 - 5`

Aus 3: `b = 2 - 2ax_0`
Einsetzen in 1: `c = a + 2.5`
Einsetzen in 4 und Lösen für a: `a(1 - x_0^2) = -7.5`

Die genaue Berechnung der Parabelgleichung hängt von der noch unbekannten Berührstelle  x_0  der zweiten Tangente  y = 2x - 5  ab. Für `x_0 = 2` erhalten wir `a = 4.5`, dann `b = -9` und `c = 6.5`.

Die endgültige Parabelgleichung lautet:
`y = 4.5x^2 - 9x + 6.5`

Berechnung der Parabelgleichung

1. Allgemeine Form der Parabel
Wir gehen von der allgemeinen Form einer Parabel aus:
`y = ax^2 + bx + c`

2. Berührpunkt mit der ersten Geraden
Die Parabel berührt die erste Gerade y = -x + 2.5 im Punkt (1|1.5).
Das bedeutet, dass die Steigung der Parabel in diesem Punkt gleich der Steigung der Geraden sein muss.
Die Steigung der Geraden ist -1.

Die Ableitung der Parabelgleichung gibt uns die Steigung an jeder Stelle:
y' = 2ax + b

Setzen wir den Punkt (1|1.5) und die Steigung -1 ein:

`1.5 = a(1^2 + b(1) + c`

`-1< = 2a(1) + b`

3. Berührung mit der zweiten Geraden
Die Parabel berührt auch die zweite Gerade y = 2x - 5.
Da wir den Berührpunkt nicht kennen, nennen wir ihn (`x_b`, `y_b`).
Die Steigung der zweiten Geraden ist 2.

`y_b = ax_b^2 + bx_b + c`
`2 = 2x_b - 5`

5. Gleichungssystem lösen
Wir haben nun ein System von fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten (a, b, c, `x_b`, `y_b`):

  1. 1.5 = a + b + c
  2. -1 = 2a + b
  3. `y_b = 2x_b - 5`
  4. `y_b = ax_b^2 + bx_b + c`
  5. `2 = 2ax_b + b`

Dieses System lösen wir, um die Werte von a, b, c, `x_b` und `y_b` zu finden.

  • Gleichung 4 und Gleichung 5 gleichsetzen: `ax_b^2 + bx_b + c = 2x_b - 5` (Gleichung 6)
  • Gleichung 2 nach b auflösen: `b = -1 - 2a`
  • b in Gleichung 1 einsetzen ⇒ `c = 2,5 + a`
  • b in Gleichung 5 einsetzen ⇒ `x_0 = (3 + 2a)/(2a)`
  • b, c und `x_0` in Gleichung 6 einsetzen: `2 ((3 + 2a) / (2a)) - 5 = a ((3 + 2a) / (2a))² + (-1 - 2a) * ((3 + 2a) / (2a)) + (2,5 + a) `
    Durch Multiplizieren mit `4a^2`, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen erhält man: `12a + 8a^2 - 20a` = `9 + 12a + 4a^2 -6a  -4a^2 - 12a^2 - 10a^2 - 4a^3 + 10 a^2 + 4a^2`

⇒ Zu lösen ist die Gleichung `0 = -10a^2 - 6a + 9`.  

Berechnet man die Parabelgleichungen der beiden Lösungen `a_1 ~~ 1,29` und `a_2 ~~ -1,89`, so zeigt sich, dass nur die zweite Lösung die Bedingungen erfüllt.  

6. Gleichung der Parabel

Die Gleichung der Parabel lautet `y = -1,89x^2 + 2,78x + 0,61`.

 

zu a.

Am schnellsten erkennt mn die richtige Lösung, wenn man sich die beiden Geraden und die berechnete Parabel darstellen lässt. Hier sind nur zwei Darstellungen wiedergegeben, die von Grok (einzig richtige Lösung) und ChatCPT.

Grok

 

ChatGPT

 

zu b.

ChatGPT-Lösung: Der Fehler liegt darin, dass angenommen wird, dass `x_0`= 2 ist. Die Stelle ist ja gerade nicht bekannt. 

Gemini-Lösung: 

Der Fehler liegt beim Auflösen der Gleichung 6: 

  • b, c und `x_0` in Gleichung 6 einsetzen: `2 ((3 + 2a) / (2a)) - 5 = a ((3 + 2a) / (2a))² + (-1 - 2a) * ((3 + 2a) / (2a)) + (2,5 + a) `
    Durch Multiplizieren mit `4a^2`, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen erhält man: `12a + 8a^2 - 20a` = `9 + 12a + 4a^2 -6a  -4a^2 - 12a^2 - color(red)(12)a^2 - color(red)(8)a^3 + 10 a^2 + 4a^2` (rot = korrigierte Werte
  • Nach dem Zusammenfassen erhält man: `9a - 18a^2 = 0`⇒ `a = 0 vv a = 1/2`
  • Da a ≠ 0 (sonst wäre es keine Parabel), ergibt sich aus a = `1/2` ⇒ b = -2 + c = 3 ⇒ Die Parabelgleichung lautet:
    `y = (1/2)x^2 - 2x + 3`

zu c. 

Es ist sinnvoll, zunächst Ihre Situation und Ihren Leistungsstand zu schildern. Dazu gehören auch Anweisungen zur Ausführlichkeit der Lösungen. Das erste Prompt könnte also z.B. so lauten: 

Ich bin Schüler oder Schülerin in einem Leistungskurs der Qualifikationsphase in NRW und muss die Aufgabe lösen. die ich dir nachfolgend beschreibe. Bitte kommentiere den Lösungsweg ausführlich, damit ich ihn nachvollziehen kann. Du musst aber nicht jeden kleinen Schritt dokumentieren, da ich ein guter Schüler/ eine gute Schülerin bin. 

Die Antwort ist z.B. Klar! Stell mir einfach die Aufgabe, und ich werde den Lösungsweg ausführlich, aber nicht übertrieben detailliert erklären.

Nach Eingabe der Aufgabenstellung beschreibt die KI den Lösungsweg. 

Zur Überprüfung können Sie anschließend zum Beispiel einen weiteren Prompt formulieren: 

Zeichne zur Kontrolle die beiden Geraden und die Parabel.

zu d. 

Aus den beiden ersten Bedingungen folgt (siehe die anderen Lösungen): a + b + c = 1,5 und 2a + b = -1. 

Zur Berechnung der Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden werden die Terme gleichgesetzt: 

`ax^2 + bx + c = 2x - 5` ⇒ `ax^2 + (b - 2)x + c + 5 = 0` ⇒ `x^2 + (b-2)/ax + (c + 5)/a = 0`

⇒ D = `((b-2)/(2a))^2 - (c+5)/a = 0` ⇒ `(b-2)^2 -4a(c + 5) = 0`

Damit hat man drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Zum Beispiel mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens erhält man a = `1/2`, b = -2, c = 3.

 

 

 

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