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Gegeben:

• Gerade 1: y = -x + 2.5, berührt die Parabel im Punkt (1|1.5).
• Gerade 2: y = 2x - 5, wird ebenfalls von der Parabel berührt.

Gesucht:
Die Gleichung der Parabel in der Form y = `ax^2 + bx + c`.

Lösungsschritte

Schritt 1: Bedingung für den ersten Berührungspunkt

• Punkt (1|1,5) liegt auf der Parabel:
  `1.5 = a*1^2 + b*1 + c`⟹ `a + b + c = 1.5` (Gleichung 1)
• Steigung der Geraden`y = -x + 2.5` ist m = -1.
• Ableitung der Parabel: `y' = 2ax + b`. Im Punkt `x = 1`:
  `2a*1 + b = -1` ⟹ `2a + b = -1` (Gleichung 2)

Schritt 2: Bedingung für den zweiten Berührungspunkt

• Sei der Berührungspunkt (`x_0`, `y_0`) auf `y = 2x - 5`, dann gilt:
  `y_0 = 2x_0 - 5`
• Da dieser Punkt auch auf der Parabel liegt:
  `2x_0 - 5 = a*x_0^2 + b*x_0 + c` (Gleichung 3)
• Steigung der Geraden ist 2, daher muss gelten:
  `2a*x_0 + b = 2` (Gleichung 4)

Schritt 3: Gleichungen lösen

• Umstellen von (2):
  `b = -1 - 2a` (Gleichung 5)
• Einsetzen in (1):
  `a + (-1 - 2a) + c = 1.5` ⟹ `-a + c = 2.5` (Gleichung 6)
• Umformen von (4):
  `2a*x_0 + b = 2` ⟹ `2a*x_0 - 1 - 2a = 2`
  ⟹ `x_0 = (3 + 2a) / (2a)` (Gleichung 7)

Schritt 4: Einsetzen in (3)

• Links: `2x_0 - 5`
• Rechts: `a*x_0^2 + b*x_0 + c`
• Nach Umformung erhält man:
  `c = (4a^2 - 8a + 9) / 4a`

Schritt 5: Bestimmung von a, b, c

• Einsetzen von c in (6):
  `a - 1 - 2a + (4a^2 - 8a + 9) / 4a = 1.5`
• Lösen ergibt:
  `4a^2 - 18a + 9 = 0` ⟹ `a = 1/2`
• Daraus folgt:
  `b = -1 - 2 * (1/2) = -2`
  `c = (4 * (1/2)^2 - 8 * (1/2) + 9) / 4(1/2) = 3`

Die Parabelgleichung lautet:
`y = (1/2)x^2 - 2x + 3`

Berechnung der Parabelgleichung

Gegeben sind die Geraden:

1. `y = -x + 2.5`
2. `y = 2x - 5`

Eine Parabel der Form `y = ax^2 + bx + c` soll diese Bedingungen erfüllen:

• Sie berührt die erste Gerade im Punkt `(1| 1.5)`
• Sie berührt die zweite Gerade an einem weiteren Punkt

1. Bedingung: Die Parabel verläuft durch `(1| 1.5)`

Einsetzen in die Parabelgleichung: `a(1)^2 + b(1) +c = 1.5`

Vereinfacht: `a + b +c = 1.5`

2. Bedingung: Die Steigung der Parabel im Punkt `(1|1.5)` ist gleich der Steigung der ersten Geraden m =-1.

Ableitung der Parabel: `y' = 2ax + b`

Setzen von x = 1: `2a(1) + b = -1`

3. Bedingung: Die Parabel berührt auch die zweite Gerade `y = 2x - 5`.
Es existiert ein Punkt (`x_0`, `y_0`), sodass: `ax_0^2 + bx_0 +c = 2x_0 - 5`

Lösen der Gleichungen:

1. `a + b + c = 1.5`
2. `2a + b = -1`
3. `2ax_0 + b = 2`
4. `ax_0^2 + bx_0 + c = 2x_0 - 5`

Aus 3: `b = 2 - 2ax_0`
Einsetzen in 1: `c = a + 2.5`
Einsetzen in 4 und Lösen für a: `a(1 - x_0^2) = -7.5`

Die genaue Berechnung der Parabelgleichung hängt von der noch unbekannten Berührstelle  x_0  der zweiten Tangente  y = 2x - 5  ab. Für `x_0 = 2` erhalten wir `a = 4.5`, dann `b = -9` und `c = 6.5`.

Die endgültige Parabelgleichung lautet:
`y = 4.5x^2 - 9x + 6.5`

Berechnung der Parabelgleichung

1. Allgemeine Form der Parabel
Wir gehen von der allgemeinen Form einer Parabel aus:
`y = ax^2 + bx + c`

2. Berührpunkt mit der ersten Geraden
Die Parabel berührt die erste Gerade y = -x + 2.5 im Punkt (1|1.5).
Das bedeutet, dass die Steigung der Parabel in diesem Punkt gleich der Steigung der Geraden sein muss.
Die Steigung der Geraden ist -1.

Die Ableitung der Parabelgleichung gibt uns die Steigung an jeder Stelle:
y' = 2ax + b

Setzen wir den Punkt (1|1.5) und die Steigung -1 ein:

`1.5 = a(1^2 + b(1) + c`

`-1< = 2a(1) + b`

3. Berührung mit der zweiten Geraden
Die Parabel berührt auch die zweite Gerade y = 2x - 5.
Da wir den Berührpunkt nicht kennen, nennen wir ihn (`x_b`, `y_b`).
Die Steigung der zweiten Geraden ist 2.

`y_b = ax_b^2 + bx_b + c`
`2 = 2x_b - 5`

5. Gleichungssystem lösen
Wir haben nun ein System von fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten (a, b, c, `x_b`, `y_b`):

1. 1.5 = a + b + c
2. -1 = 2a + b
3. `y_b = 2x_b - 5`
4. `y_b = ax_b^2 + bx_b + c`
5. `2 = 2ax_b + b`

Dieses System lösen wir, um die Werte von a, b, c, `x_b` und `y_b` zu finden.

• Gleichung 4 und Gleichung 5 gleichsetzen: `ax_b^2 + bx_b + c = 2x_b - 5` (Gleichung 6)
• Gleichung 2 nach b auflösen: `b = -1 - 2a`
• b in Gleichung 1 einsetzen ⇒ `c = 2,5 + a`
• b in Gleichung 5 einsetzen ⇒ `x_0 = (3 + 2a)/(2a)`
• b, c und `x_0` in Gleichung 6 einsetzen: `2 ((3 + 2a) / (2a)) - 5 = a ((3 + 2a) / (2a))² + (-1 - 2a) * ((3 + 2a) / (2a)) + (2,5 + a) `
  Durch Multiplizieren mit `4a^2`, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen erhält man: `12a + 8a^2 - 20a` = `9 + 12a + 4a^2 -6a  -4a^2 - 12a^2 - 10a^2 - 4a^3 + 10 a^2 + 4a^2`

⇒ Zu lösen ist die Gleichung `0 = -10a^2 - 6a + 9`.  

Berechnet man die Parabelgleichungen der beiden Lösungen `a_1 ~~ 1,29` und `a_2 ~~ -1,89`, so zeigt sich, dass nur die zweite Lösung die Bedingungen erfüllt.  

6. Gleichung der Parabel

Die Gleichung der Parabel lautet `y = -1,89x^2 + 2,78x + 0,61`.