Grundlagen - Funktionenklassen

I: Ganzrationale Funktionen / Polynome

Eine reelle Funktion f heißt Polynom mit dem Grad n (n ε Ν), wenn

`f(x) =a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1) +a_(n-2)x^(n-2) + ... + a_1x^1 + a_0 `
mit `a_n≠0`

oder kurz; `f(x)= sum_(i=0)^na_i*x^i`

a. Potenzfunktion

Potenzfunktionen sind Funktionen f der Form f(x) = xⁿ mit  `n  epsilon   Z `\{0,1}

b. Lineare Funktion

Eine Funktion f heißt lineare Funktion, wenn ihre Funktionsgleichung die Form

f(x) = m·x + n, m,n `epsilon  R` besitzt.  Es gilt m = `(f(x_Q)-f(x_P))/(x_Q - x_P)`.

c. Quadratische Funktion / Parabel

Eine Funktion f heißt quadratische Funktion/Parabel, wenn ihre Funktionsgleichung die Form

f(x) = a·x² + b·x + c            a(`!=` 0), b, c `epsilon  R` besitzt.

f(x) = a·(x - x_S)² + y_S      Scheitelpunktform

Scheitelpunkt S( x_S / y_S )  x_S = `(-b)/(2a)` und  y_S = c -  `(b²)/(4a)`

 f₁(x) = 0,5x³ - 2x² + 4 

Polynom vom Grad 3

f₂(x) = x⁵ 

Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten

f₃(x) = 0,2x - 2

Lineare Funktion mit der Steigung 0,2

f₄(x) = -1,2x² - x + 0,1

= -1,2·(x + `5/12`)² + `37/120`

quadratische, nach unten geöffnete Parabel

II: Exponentialfunktionen

Eine Funktion f mit f(x) = a^x, a > 0 und a ≠ 1

heißt Exponentialfunktion zur Basis a.

Es gilt D(f) = ℜ und W(f)  =ℜ⁺

 f₅(x) = 0,6^x

Exponentialfunktion mit a < 1

 f₆(x) = 3.2^x

Exponentialfunktion mit a > 1

III: Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen u von Potenzfunktionen mit n≥ 2 im Definitionsbereich `R_0^+`: u(x) = `root n (x)` mit D(u) = `R_0^+` = W(u).

IV: Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen f(x) = sin x, f(x) = cos x (f(x) = tan x) bilden eine Klasse periodischer Funktionen, wobei die Periode i.N. ein Vielfaches von π ist.

Bogenmaß x: `(x)/(2·pi)`= `(alpha)/(360)`

`rArr` Grad = Bogenmaß ·`(180)/(π)`

und  Bogenmaß = Grad ·`(n)/(180)`

 f₇(x) = `root 4 (x)`

Wurzelfunktion , die nur für positive Zahlen und Null definiert ist.

 f₈(x) = sin x  (rot)    f₉(x) = cos x

 f₁₀(x) = tan x = `(sin x)/(cos x)`