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Diese Seite wurde aktualisiert am 24.06.2021

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Druckversion vom 20.09.2021 18:25 Uhr
Startseite Qualifikationsphase Analysis LK: Vertiefung Differentialrechnung

LK: Vertiefungen zur Analysis

 

Zusammengesetzte Funktionen

In diesem Kapitel wird geklärt, was unter der Zusammensetzung von Funktionen verstanden wird. Dabei liegt der Schwerpunkt auf dem Verkettungsbegriff. Gebrochen-rationale Funktionen werden als Zusatzstoff angeboten.

Quelle: Egbert Hüster 
Vertiefungen zur Produktregel

In diesem Kapitel werden ein algebraischer und ein geometrisch gestützter Beweis der Produktregel geführt. Zusätzlich werden zwei wichtige Problemlösemethoden thematisiert, nämlich das "Induktive Probieren" und das "Rückwärtsrechnen".

Produktregel 
Vertiefungen zur Kettenregel

Da in Sachzusammenhängen meist verkette Funktionen vorkommen, ist eine Behandlung dieses Funktionentyps und der entsprechenden Ableitungsregel unerlässlich. Um die sog. Kettenregel anwenden zu können, ist ein sicheres Erkennen der Verkettungsstruktur erforderlich. Die Herleitung der Kettenregel wird mithilfe bekannter Problemlösetrategien durchgeführt: Induktives Vermuten, Anwenden der Ableitungsdefinition, Rückwärtsrechnen. Dieser Teil dient daher nicht nur der Herleitung der Kettenregel, sondern auch der Festigung von Problemlösemethoden.

Kettenregel 
Quotientenregel

Thema ist die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen. Dazu wird der Quotient zweier Funktionen auf zwei verschiedene Arten in ein Produkt verwandelt. Mithilfe der Produktregel bzw. Kettenregel wird dann die Quotientenregel hergeleitet.

Ein weiterer Zugang stützt sich auf die "induktive Methode", wie sie schon bei der Herleitung der Produktregel zum Einsatz kam.

Quotientenregel 
Gebrochen rationale Funktionen

In diesem Kapitel  werden gebrochen rationale Funktionen ausführlich untersucht. Die beiden Erforschen-Teile bauen aufeinander auf. Sie sind daher keine unabhängigen methodischen Zugänge in das Thema.

Ehe Sie sich diesem Kapitel zuwenden, sollten Sie das Kapitel "Quotientenregel" bearbeiten.

 

 
Ableitung von Funktionen mit rationalen Exponenten

Mithilfe der Kettenregel wird in diesem Kapitel die Ableitung von `f(x)=x^(n/m)` hergeleitet.

Rationaler Exponent 
Ableitung von Winkelfunktionen (optional)

Das Haupziel dieses Kapitels, nämlich die Ableitungen von sinus und cosinus zu bestimmen, soll über verschiedene Problemlösemethoden erreicht werden:

  1. Graphisches Differenzieren zum Gewinnen einer qualitativen Vorstellung vom Verlauf der Ableitungsfunktion
  2. Heuristische Betrachtung mit geometrischen Mitteln
  3. Algebraischer Beweis

Neben den Ableitungen von tangens und den arcus-Funktionen werden einige Modellierungsaufgaben behandelt.

Trigonometrische Funktionen 
Logarithmusfunktionen

Inhalte dieses Kapitels: Logaritmus-Begriff, Rechnen mit Logarithmen, Logarithmus-Funktionen und deren Ableitungen sowie Anwendungen mit Logarithmen.

Das Bild rechts zeigt einen Tiefdruckwirbel in Form einer logarithmischen Spirale.

Logarithmische Spirale
Wachstumsprozesse

 

J.W.v.Goethe schreibt in seinem Sonett 'Wachstum':

... Nun kann den schönen Wachstum nichts beschränken; ...

 

Die Modelle der Mathematik untersuchen eher das Gegenteil:

Beschränktes Wachstum und logistisches Wachstum! (und noch ein wenig mehr)

                                                      

 
Weitere Anwendungen

Hier werden Probleme aus unterschiedlichen Anwendungsbereichen wie z.B. Verkehrswesen, Klimaforschung, Optik usw. behandelt. Die Lösung der Probleme, bei denen gebrochenrationale Funktionen auftreten, ist in den meisten Fällen auch ohne vorherige Bearbeitung des entsprechenden Teils im Kapitel "Zusammengesetzte Funktionen" möglich.           

Weitere Anwendungen 
Stetigkeit und Differenzierbarbeit (optional)

In diesem Unterrichtswerk werden an verschiedenen Stellen Funktionen zur Beschreibung von Wachstumsprozessen, Trassierungen, Flugbahnen usw. herangezogen. Dabei ist es oft wichtig, dass die Graphen solcher Funktionen keine Sprünge oder Knicke aufweisen. Hinter diesen Bezeichnungen stehen die mathematischen Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Diese mathematischen Begriffe werden hier ausführlich untersucht. Dabei stößt man auch auf Merkwürdigkeiten und exotische Funktionen.

 
Zusammenfassung Ableitungsregeln

Hier finden Sie eine Zusammenfassung aller bisher behandelten Ableitungsregeln sowie die Ableitungen einiger spezieller Funktionen.

 Zusammenfassung

 

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