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Startseite Qualifikationsphase Stochastik Exkurs: Matrizen
Exkurs Matrizen
Erforschen von Matrizen am Beispiel Entfernungstabelle
Matrizen sind Ihnen z. B. in Form von Entfernungstabellen bekannt.
|
von nach |
Berlin | Hamburg | Hannover | München |
| Berlin | 0 | 292 | 282 | 586 |
| Hamburg | 292 | 0 | 164 | 776 |
| Hannover | 282 | 164 | 0 | 638 |
| München | 586 | 776 | 638 | 0 |
Welche besonderen Eigenschaften hat diese Entfernungstabelle? Welche Informationen können Sie ablesen?
LösungDie Entfernung von Hamburg nach Hannover beträgt also 164 km.
Die Entfernung von Berlin nach München beträgt 586 km.
Man kann diese Tabelle auch als Matrix schreiben:
Die Aussagekraft bleibt die gleiche. Die Darstellung ist nur verkürzt.
Die Entfernung von Hamburg nach Hannover kann man an dem Element a23 = 164 ablesen.
a23 bedeutet: Element in der 2. Zeile und in der 3. Spalte.
Allgemein: aij : Element in Zeile i, Spalte j
Weil diese Matrix symmetrisch zur Diagonalen ist, hätte man die Werte auch in umgekehrter Reihenfolge ablesen können.
Hinweis zur Indexierung von Zeilen und Spalten
Erforschen von Matritzen am Beispiel von Zauberquadraten
Finden Sie die besondere Eigenschaft der folgenden Matrizen.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Matrizen A, B und C?
Wie ensteht die Matrix H aus der Matrix E?
Finden Sie weitere Zusammenhänge zwischen den Matrizen?
`A=((5,10,3),(4,6,8),(9,2,7))` `B=((8,1,6),(3,5,7),(4,9,2))`
`C=((13,11,9),(7,11,15),(13,11,9)) ` `D=((16,2,12),(6,10,14),(8,18,4))`
`E=((16,6,9,3),(1,11,8,14),(7,13,2,12),(10,4,15,5))` `F=((18,5,16,11),(15,12,17,6),(9,14,7,20),(8,19,10,13))`
`G=((34,11,25,14),(16,23,25,20),(16,27,9,32),(18,23,25,18))` `H=((160,60,90,30),(10,110,80,140),(70,130,20,120),(100,40,150,50))`
Sie haben folgende Zusammenhänge entdeckt:
`A + B = ((5,10,3),(4,6,8),(9,2,7))+((8,1,6),(3,5,7),(4,9,2))=((5+8,10+1,3+6),(4+3,6+5,8+7),(9+4,2+9,7+2))=((13,11,9),(7,11,15),(13,11,9))=C`
also ` A + B = C`
Addition von Matrizen
Ergebnis: Werden zwei Zauberquadrate (sinnvoll) addiert, so ist die Summe wieder ein Zauberquadrat.
`2*B =2*((8,1,6),(3,5,7),(4,9,2))=((2*8,2*1,2*6),(2*3,2*5,2*7),(2*4,2*9,2*2))=((16,2,12),(6,10,14),(8,18,4))=D`
also `2*B=D`
`G = E + F` und
`H = 10*E`
Ergebnis: Wird ein Zauberquadrat mit einer Zahl multipliziert, so ist das Ergebnis wieder ein Zauberquadrat.
Zauberquadrate heißen auch magische Quadrate