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Diese Seite wurde aktualisiert am 11.08.2020

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Quelle: https://nwm2.net-schulbuch.de/index.php
Druckversion vom 07.05.2021 00:48 Uhr
Startseite Qualifikationsphase Stochastik Exkurs: Matrizen

Exkurs Matrizen

 

Erforschen von Matrizen am Beispiel Entfernungstabelle

 

Matrizen sind  Ihnen z. B. in Form von Entfernungstabellen bekannt.

von

nach

 Berlin Hamburg Hannover München
Berlin 0 292 282 586
Hamburg 292 0 164 776
Hannover 282 164 0 638
München 586 776 638 0

Welche besonderen Eigenschaften hat diese Entfernungstabelle? Welche Informationen können Sie ablesen?

 

Die Entfernung von Hamburg nach Hannover beträgt also 164 km.
Die Entfernung von Berlin nach München beträgt 586 km.
Man kann diese Tabelle auch als Matrix schreiben:

Matrix Entfernungen

Die Aussagekraft bleibt die gleiche. Die Darstellung ist nur verkürzt.
Die Entfernung von Hamburg nach Hannover kann man an dem Element a23 = 164 ablesen.
a23 bedeutet: Element in der 2. Zeile und in der 3. Spalte.


Allgemein: aij : Element in Zeile i, Spalte j
Weil diese Matrix symmetrisch zur Diagonalen ist, hätte man die Werte auch in umgekehrter Reihenfolge ablesen können.

i  Hinweis zur Indexierung von Zeilen und Spalten
In der Mathematik erfolgt in der Bezeichnung eines einzelnen Elements aij einer Matrix die Benennung immer in der Reihenfolge Zeilennummer Spaltennummer.

 

 

Erforschen von Matritzen am Beispiel von Zauberquadraten

 

Finden Sie die besondere Eigenschaft der folgenden Matrizen.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Matrizen A, B und C?
Wie ensteht die Matrix H aus der Matrix E?
Finden Sie weitere Zusammenhänge zwischen den Matrizen?

`A=((5,10,3),(4,6,8),(9,2,7))` `B=((8,1,6),(3,5,7),(4,9,2))`

`C=((13,11,9),(7,11,15),(13,11,9)) ` `D=((16,2,12),(6,10,14),(8,18,4))`

`E=((16,6,9,3),(1,11,8,14),(7,13,2,12),(10,4,15,5))` `F=((18,5,16,11),(15,12,17,6),(9,14,7,20),(8,19,10,13))`

`G=((34,11,25,14),(16,23,25,20),(16,27,9,32),(18,23,25,18))` `H=((160,60,90,30),(10,110,80,140),(70,130,20,120),(100,40,150,50))`

 

 

Bei allen Matrizen sind die Summen der Zahlen in den Spalten (Spaltensummen), Zeilen (Zeilensummen)  und Diagonalen (Diagonalensumme) identisch. Solche Matrizen heißen Zauberquadrate.

Sie haben folgende Zusammenhänge entdeckt:

`A + B = ((5,10,3),(4,6,8),(9,2,7))+((8,1,6),(3,5,7),(4,9,2))=((5+8,10+1,3+6),(4+3,6+5,8+7),(9+4,2+9,7+2))=((13,11,9),(7,11,15),(13,11,9))=C`

also ` A + B = C` Addition von Matrizen

Ergebnis: Werden zwei Zauberquadrate (sinnvoll) addiert, so ist die Summe wieder ein Zauberquadrat.

`2*B =2*((8,1,6),(3,5,7),(4,9,2))=((2*8,2*1,2*6),(2*3,2*5,2*7),(2*4,2*9,2*2))=((16,2,12),(6,10,14),(8,18,4))=D`

also `2*B=D`

 

`G = E + F` und

`H = 10*E`

Ergebnis: Wird ein Zauberquadrat mit einer Zahl multipliziert, so ist das Ergebnis wieder ein Zauberquadrat.

 

 

Zauberquadrate heißen auch magische Quadrate

 

 

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