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Diese Seite wurde aktualisiert am 05.11.2020

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Startseite Qualifikationsphase Stochastik Grundlagen
Startseite Qualifikationsphase Stochastik Grundlagen Diese Seite wurde aktualisiert am 05.11.2020

Grundlagen der Stochastik aus der Sekundarstufe I

 

Hier werden die Kompetenzen aufgeführt, die im Lehrplan NRW als Voraussetzung aus der Sekundarstufe I benannt sind.

Es wird auf die Seiten in diesem Lehrwerk verwiesen, die diese Kompetenzen fördern.

Die Schülerinnen und Schüler ...

... deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente:  Deuten von Wahrscheinlichkeiten

... simulieren Zufallsexperimente:  Simulation von Zufallsexperimenten

... verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen:  Urnenmodelle

... beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln: Baumdiagramme  

 

 

Von den folgenden Aufgaben sollten Sie mindestens die mit einem Stern gekennzeichneten lösen können.

Wenn Sie Hilfe benötigen, so schlagen Sie in der Einführungsphase hier  nach.

Grundlegende Kenntnisse mit Hilfe von Aufgaben überprüfen

 

Die Aufgaben 1 bis 4 können Sie überspringen, wenn sie schon in der Einführungsphase gestellt worden sind.  

... zur Aufgabenseite der Einführungsphase

 

Aufgabe 1

Ein Laplace-Würfel wird geworfen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse:

  a. „Eine durch 3 teilbare Zahl wird gewürfelt.“
  b. „Eine Zahl unter 4 ist das Ergebnis.“

Aufgabe 2

Eine Laplace-Münze wird zweimal geworfen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
  a.„Es erscheint zweimal die Zahl.“
  b.„Beide Würfe zeigen dasselbe.“

Aufgabe 3

Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
A: „Beim ersten Wurf ist 'Wappen' zu sehen.“
B: „Es zeigt sich kein Wappen.“

Aufgabe 4

Ein Laplace-Würfel wird zweimal hintereinander geworfen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: „Es wird zweimal die 1 gewürfelt.“
B: „Die Augenzahlsumme beträgt 7.“
C: „Die Augenzahlsumme ist 9.“

Aufgabe 5: Kugeln ziehen

In einem Gefäß liegen vier rote und sechs blaue Kugeln.
Nacheinander werden 4 Kugeln gezogen und nicht zurückgelegt.

  1. Geben Sie die Verteilung an.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit nur rote (nur blaue) Kugeln zu ziehen.
  3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit zwei blaue und zwei rote Kugeln zu ziehen.
  4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit nur im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen.
Aufgabe 6: Nachkommastelle der Kreiszahl π

Sie wählen zufällig eine Ziffer aus den sehr vielen Nachkommastellen der Kreiszahl π. 

  1. Notieren Sie die Zufallsgröße als Funktionsterm.
  2. Stellen Sie Hypothesen zur Verteilung der Ziffern auf.
  3. Geben Sie Diagrammtypen an, die sich Ihrer Meinung zur Darstellung der Verteilung eignen.

zu b: Recherchieren Sie im Internet zu den Eigenschaften der Kreiszahl Pi. Von Interesse ist die Frage nach der "Normalität" von Pi: Ist Pi eine "normale Zahl"?

Es ist bisher nicht bewiesen, dass die Ziffern in der Dezimaldarstellung der Zahl π gleichverteilt sind, obwohl man das vermutet. Das würde etwa bedeuten, dass die Ziffer 7 unter den ersten zehn Millionen Dezimalen von π ungefähr eine Milliom mal vorkommt. Sie findet sich auch dann tatsächlich 1.000.207-mal, was ziemlich nahe an den erwarteten Wert herankommt. (Quelle: Clifford A. Pickover: Das Mathebuch, 2014 Librero IBP, Kerkdiel, Niederlande, S.320)


Foto aus www.spiegel.de im Mathematikum Gießen
Aufgabe 7:Messen der Körpergröße

Messen der Körpergröße eines zufällig auf einem Schulhof ausgewählten Kindes/Jugendlichen. 

  1. Beschreiben Sie das Zufallsexperiment präzise.
  2. Stellen Sie Hypothesen zur Verteilung der erfassten Werte auf.
  3. Erarbeiten Sie Fragestellungen, für deren Beantwortung die aus diesem Experiment hervorgehenden Verteilungen von Interesse sind.

Die Anforderungen an ein Zufallsexperiment sind sicher erfüllt.
Das Ergebnis jeder Durchführung ist eine reelle Zahl. Die Anzahl der möglichen Zahlen ist von der Messgenauigkeit abhängig.


Grafik: kinderfahrradfinder.de
Icon 3 Sterne 30x30Aufgabe 8:   Bären in Cornflakes - Packungen

Vor einigen Jahren warb ein Cornflakes-Hersteller damit, dass sich in jeder seiner Packungen eine kleine Bärenfigur befände. Daraus hat sich die nachfolgende Aufgabe entwickelt.

Nehmen Sie an, dass der Hersteller insgesamt vier verschiedene Bären in seinen Packungen hat. Da möchte man natürlich gerne alle Figuren haben. Die Frage ist nun, wie viele Packungen müssen Sie kaufen, bis Sie alle haben.

  1. Führen Sie den folgenden Modellversuch 50mal aus: Sie werfen einen Tetraeder, jede Seite steht für einen Bären. Notieren Sie jeweils die erzielte Augenzahl und brechen Sie ab, wenn alle Zahlen von 1 bis 4 gefallen sind.
  2. Schätzen Sie auf dieser Grundlage ab, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Sie nach 10 Packungen immer noch nicht alle Bären haben.
  3. Schätzen Sie auf der Basis des Experiments ab, wie viele Packungen Sie durchschnittlich kaufen müssen.

Notieren Sie Ihre Versuchsergebnisse in einer Tabelle folgender Form:

 Nr. des Versuchs  Ergebnisse                                    Anzahl Würfe
 1  1,2,3,4  4
 2  2,2,3,2,2,4,3,1 8
 3  1,1,1,1,2,3,3,3,1,2, mehr als 10
 4  4,2,3,3,1 5
 usw  ....

Icon 2 Sterne 30x30Aufgabe 9:   "Kieselsteine"

Messen des Gewichts eines in einem Haufen gefundenen Kieselsteins

  1. Präzisieren Sie die Beschreibung des Zufallsexperiments.
  2. Stellen Sie Hypothesen zu Verteilungen aus vielen Wiederholungen auf.
Aufgabe 10:   Mittelwert und Median

In der Sekundarstufe 1 haben Sie den Begriff Mittelwert (= arithmetisches Mittel) kennen gelernt.
In diesem Kapitel wurde meistens der Median verwendet.

Beantworten Sie die folgenden Fragen:

  1. Wie sind Mittelwert und Median definiert?
  2. Welche besonderen Eigenschaften hat der Mittelwert?
  3. Welche besonderen Eigenschaften können Sie dem Median zuweisen?
  4. In welchen Fällen stimmen Mittelwert und Median überein?
  5. Wie wirken sich starke Ausreißer nach oben auf den Mittelwert bzw. den Median aus?
Aufgabe 11: Wachstum

In den abgebildeten Boxplots sind die Daten zur Körpergröße von Mädchen unterschiedlichen Alters (1, 3, 6, 10, 13, 16 Jahre) verarbeitet.

  1. Interpretieren Sie die Aussage des Boxplots für das jeweilige Alter.
  2. Beschreiben Sie, was Ihnen für die ersten drei Boxplots auffällt.
  3. Beschreiben Sie das Wachstum über den gesamten Zeitraum.

Icon 2 Sterne 30x30d. Eine sehr umfangreiche Urliste der Körpergrößen von Mädchen verschiedenen Alters liegt in den folgenden Dateien vor. 

ods-Format  -   xls-Format

Beschreiben Sie, wie und in welchen Schritten man die nebenstehenden Boxplot-Graphiken aus diesen Daten herstellen kann.

Icon 3 Sterne 30x30 e. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein 1,50 m großes Mädchen 13 (10, 16) Jahre alt ist und begründen Sie Ihre Aussagen.

Icon 3 Sterne 30x30Aufgabe 12: Präsentation

Die Bildfolge zeigt die Folien einer Präsentation. Auf den Folien fehlen die Überschriften.

Bearbeiten Sie die folgenden Fragestellungen:
  1. Was will die Autorin / der Autor dem Publikum erklären?
  2. Betrachten Sie die Aussagen der Folien kritisch mit Blick auf das, was Sie bisher zu den Themen gelernt haben.
  3. Notieren Sie Stichworte zu jeder Folie, die Ihnen helfen, eine zugehörige Erklärung frei vorzutragen.
  4. Formulieren Sie die fehlenden Überschriften.
  5. Welche Folien halten Sie für überflüssig? Warum?

Halten Sie einen Kurzvortrag mit von Ihnen ausgewählten Folien.

Dazu können Sie die Präsentation im ODP-Format oder im  PPT-Format herunterladen und bearbeiten.

 

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