Stochastische Prozesse

Einführung

Hier lernen Sie am Beispiel stochastischer Matrizen weitere Operationen mit Matrizen kennen: zuerst die Matrix-Vektor-Multiplikation und dann die Multiplikation von Matrizen. Hier finden Sie auch Anleitungen, wie Sie diese Berechnungen mit dem GTR durchführen können.

Stochastische Verteilungen

Bei der Entwicklung von Populationen steht eine Frage im Mittelpunkt:
Wie entwickelt sich die Verteilung in den nächsten Generationen?
Die Berechnungen zur Lösung dieser Frage und Übungen dazu sind Gegenstand dieses Kapitels.

Inverse Matrizen

Hier lernen Sie eine Möglichkeit kennen, die vorangegangene Verteilung einer Population zu bestimmen.  Wenn es eine Matrix  `M`gibt mit `M*vec x=vec y`dann gibt es in vielen Fällen eine Matrix `M^(-1)`, die diese Berechnung rückgängig macht. Diese Matrix `M^(-1)` heißt inverse Matrix zu `M`.

M^-1 =

Fixvektor und Grenzmatrix

Für stochastische Verteilungen mit der Matrix `M`gibt es Vektoren `vec g`, für die gilt:
`M*vec g = vec g`. Diese Vektoren heißen Fixvektoren. In diesem Kapitel lernen Sie, wie Sie diese Fixvektoren berechnen.
Weiterhin lernen Sie eine Gesetzmäßigkeit kennen bei den Berechnungen der Potenzen bestimmter stochastischer Matrizen. `M^2, M^3, ... , M^10, ... `

Komplexe Aufgaben

Zusammenfassung: Rechnen mit Matrizen

Alle oben eingeführten Rechenoperationen sind hier zusammengefasst und an Beispielen verdeutlicht.

LK: Populationsentwicklungen (optional)

Für viele Populationsentwicklungen gibt es keine stationäre Verteilung, sondern sie entwickeln sich zyklisch, sie wachsen oder sie sterben aus.
Die Gegenstände dieses Kapitels stehen z. Zt. nicht im Lehrplan von NRW.

LK: Vertiefung zu Inversen Matrizen (optional)

Zur Berechnung von Verteilungen vorangegangener Generationen kann das Arbeiten mit inversen Matrizen sinnvoll sein. Der GTR gibt die inverse Matrix M^-1 auf Knopfdruck aus - wenn sie denn existiert. Hier lernen Sie das Prinzip kennen, wie inverse Matrizen berechnet werden können.

Die Gegenstände dieses Kapitels stehen z. Zt. nicht im Lehrplan von NRW.

det `((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22))) `  =

`a_(11) · a_(22) - a_(12) · a_(21) ` .