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Diese Seite wurde aktualisiert am 21.04.2021

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Druckversion vom 20.09.2021 19:54 Uhr
Startseite Einführungsphase Stochastik Bed. Wahrscheinlichkeit Bayes-Wahrscheinlichkeit

 

Bedingte Wahrscheinlichkeiten & der Satz von Bayes - Erforschen 1

 

 Der HIV Heimtest

Seit 2018 kann man in Deutschland sogenannte Heimtests für HIV und andere sexuell übertragbare Krankheiten kaufen. Mit so einem Heimtest kann man sich innerhalb von wenigen Minuten zuhause selbst auf eine HIV-Infektion untersuchen.

Aber Vorsicht: Wie zuverlässig ist das Testergebnis? Und was bedeutet überhaupt ein positives Testergebnis?

 

Ein häufig gekaufter Heimtest wirbt mit folgenden Werten:

  • Falls Sie mit HIV infiziert sein sollten, entdeckt der Test dies zu 99,5 %!
    (sogenannte Sensitivität eines Testes)
  • Sind Sie nicht mit HIV infiziert, meldet der Test zu 99 % auch: Nicht HIV-infiziert!
    (sogenannte Spezifität eines Testes)

Aus Daten des Robert-Koch-Instituts kann man ableiten, dass der Anteil der HIV-infizierten Menschen in Deutschland bei 0,01 % liegt (sogenannte Erkrankungsrate oder Prävalenz).

 

In die gelben Felder können Sie die Wahrscheinlichkeiten bzw. relativen Häufigkeiten als Dezimalzahl eintragen (d.h. 0,02 % als 0,0002).

In die weißen Felder können Sie die Anzahl der jeweils Betroffenen (absolute Häufigkeiten) eintragen.

 

Versuchen Sie diese Aufgabe einmal mit einer Vierfeldertafel zu bearbeiten! Können alle angegebenen Werte in einer Vierfeldertafel eingetragen werden?
Überlegen Sie sich stets, ob Sie Aufgabe eher mit einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel bearbeiten möchten... bzw. können.

  1. Nehmen Sie an, dass 2 Millionen solcher Heimtests von Personen in Deutschland gekauft und auch eingesetzt werden. Wie viele dieser Personen sind vermutlich HIV-infiziert?
    Bestimmen Sie die Anzahl der Personen mithilfe der Prävalenz.

  2. Sie wissen nun mit dem Ergebnis von a , wie viele der 2 Millionen Personen vermutlich HIV-infiziert sind. Aber wie viele dieser HIV-infizierten Personen erhalten auch richtigerweise das Testergebnis HIV-infiziert? 
    Bestimmen Sie die Anzahl dieser Personen.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test ein positives Ergebnis anzeigt, unter der Bedingung, dass jemand HIV-infiziert ist, wird bereits in der Werbung zum Test als Sensitivität eines Testes angegeben. 

    Da es sich um eine Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (hier: Test positiv) handelt, unter der Bedingung, dass ein Ereignis bereits eingetreten ist (hier: HIV-infiziert), handelt es sich hier um eine sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeit. 
    Diese wird folgendermaßen notiert:


    `P("Test positiv"|"HIV-infiziert")` bzw. kürzer `P("T+"|"HIV+")`.

    In diesem Kapitel werden noch viele weitere bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet. In einem zweistufigen Baumdiagramm finden Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten stets auf der zweiten Stufe.
     


  3. Wie viele Personen erhalten fälschlicherweise das Testergebnis HIV-positiv, obwohl sie eigentlich nicht infiziert sind? Bestimmen Sie die Anzahl der Personen.

    In Aufgabenteil b wurde Ihnen die Schreibweise der bedingten Wahrscheinlichkeit am Beispiel der Sensitivität bei einer HIV-Infektion vorgestellt.
    Können Sie auch die in Aufgabenteil c verwendete Wahrscheinlichkeit in dieser Schreibweise notieren?

    Nutzen Sie die Kürzel HIV+, HIV-, T+ bzw. T-.

    P(|)


    Diese bedingte Wahrscheinlichkeit kann folgendermaßen gesprochen werden:

    Die Wahrscheinlichkeit T+ (Test positiv) unter der Bedingung HIV- (nicht HIV-infziert).

    Oder mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer nicht HIV-infizierten Person ein positives Testergebnis anzeigt.

  4. Es gibt also Personen, die richtigerweise (vgl. b) und die fälschlicherweise (vgl. c) das Testergebnis HIV-positiv erhalten. Die Frage, die sich nun stellt, ist: Wenn Sie das Testergebnis HIV-positiv durch den Heimtest angezeigt bekommen, sind Sie dann tatsächlich auch mit HIV infiziert und haben das Ergebnis nicht fälschlicherweise erhalten?

    Mit anderen Worten:
    Wie ist also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person HIV-infiziert ist, unter der Bedingung, dass der Test positiv ist? Bei dieser Wahrscheinlichkeit handelt es sich um den sogenannten positiven Vorhersagewert.
    Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit.

    Was ist Ihnen aus den Teilaufgaben bekannt? Und welchen Zusammenhang möchten Sie für diese Wahrscheinlichkeit betrachten?

    Aus b. wissen Sie, wie viele das Testergebnis HIV-positiv richtigerweise und aus c., wie viele dies fälschlicherweise erhalten. Also können Sie auch sagen, wie viele Personen insgesamt das Testergebnis HIV-positiv erhalten.

    Schließlich möchten Sie die Wahrscheinlichkeit wissen, HIV-positiv zu sein, wenn man zu der ganzen Personengruppe gehört, die ein positives Ergebnis erhalten hat. Hier interessiert Sie also ein bestimmter Anteil.

    Und zwar, wie groß der Anteil der richtigerweise positiven zu allen positiven Testergebnissen ist.
    Berechnen Sie diesen Anteil.

    Beim positiven Vorhersagewert handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch tatsächlich HIV-infiziert ist, unter der Bedingung, dass der Test positiv ist. Hierbei handelt es sich ebenfalls um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

    Schreibweise:
    Die Schreibweise für diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist: `P("HIV-infiziert"|"Test positiv")` bzw. kürzer `P(HIV+ | T+)`.

    Sprechweise:
    `P(HIV+ | T+)` wird als "die Wahrscheinlichkeit, dass man tatsächlich HIV-infiziert ist, unter der Bedingung, dass der Test positiv ist" bzw. kürzer als
    "P von HIV+ unter der Bedingung T+" gesprochen.

    Eine alternative Schreibweise zu `P(HIV+ | T+)` ist `P_(T+) (HIV+)`.

     

  5. Am Anfang stehen folgende Fragen: Wie zuverlässig ist das Testergebnis? Und was bedeutet überhaupt ein positives Testergebnis?
    Bewerten Sie die Güte dieses Tests.

    Stellen Sie sich vor, Ihr Testergebnis wäre positiv. Wären Sie dann mit dem positiven Vorhersagewert zufrieden?
    Die Gesundheitsämter führen übrigens nach einem positiven Testergebnis einen weiteren Bestätigungstest durch. Wenn Sie wissen wollen, warum das Sinn macht, bearbeiten Sie unter Aufgaben 1  die Nummern 5) und 6)

  

 

Sie können den Zusammenhang zwischen der Prävalenz und dem positiven Vorhersagewert ganz allgemein mit der nachfolgenden GeoGebra - APP erkunden. Wie beeinflusst die Prävalenz den Vorhersagewert?
Formulieren Sie vorweg eine Vermutung und anschließend Ihre Erkenntnis.

 

 

Der negative Vorhersagewert:

Manche Hersteller formulieren auf ihrer Homepage: "Wenn der Test negativ ist, können Sie davon ausgehen, dass Sie nicht HIV-infiziert sind." Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Satz mit hoher Sicherheit richtig ist.

Berechnen Sie den negativen Vorhersagewert P(HIV- | T-).

 

Berechnung mit relativen statt absoluten Häufgkeiten:

Sie können den positiven Vorhersagewert statt mit absoluten Häufigkeiten (Anzahlen) auch mithilfe der Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen. Schreiben Sie den entsprechenden Term mit Pfadwahrscheinlichkeiten auf und begründen Sie, warum sowohl bei den absoluten Häufigkeiten als auch bei Nutzung der Pfadwahrscheinlichkeiten dasselbe Ergebnis herauskommt.

 

 

Bei Untersuchungen von Schnelltest werden einige spezielle Begriffe benutzt. Hier finden Sie eine Übersicht mit den Bedeutungen einzelner Begriffe:

Wahrscheinlichkeitsbegriffe für einen diagnostischen Test einer Krankheit
Prävalenz / Prävalenzrate : absolute oder relative Häufigkeit dieser Krankheit in der betrachteten Gruppe

K+ / K- : Die Krankheit ist vorhanden / nicht vorhanden

T+ / T- : Der Test fällt positiv (er zeigt die Krankheit an) / negativ (er zeigt die Krankheit nicht an) aus.

Gütekriterien eines Tests: [Diese Werte werden in Studien an Erkrankten bzw. Nichterkrankten Personen ermittelt.]

Sensitivität = P(T+ | K+) : Die Sensitivität eines Tests ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einem Erkrankten ein positives Ergebnis anzeigt. [" Der Test ist sensibel für diese Krankheit."]

Spezifität = P(T- | K-) : Die Spezifität eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Test bei einem Nichterkrankten ein negatives Testergebnis anzeigt. ["Der Test reagiert nur speziell auf diese Krankheit."]

Für die getesteten Personen sind normalerweise zwei andere Wahrscheinlichkeiten wichtiger:

positiver Vorhersagewert = P (K+ | T+) : Der pos.VHW ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine positiv getestete Person tatsächlich erkrankt ist. (auch: positiver prädiktiver Wert / positive predictive value; PPV )

negativer Vorhersagewert = P (K- | T-) : Der neg. VHW ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine negativ getestete Person tatsächlich nicht erkrankt ist. (auch: negativer prädiktiver Wert / negative predictive value; NPV )

  

Vorschau auf die Startseite

Weitergehende Informationen zu den HIV-Heimtests finden Sie hier.
Über HIV-Symptome.de

 

 

 

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