Seit 2018 kann man in Deutschland sogenannte Heimtests für HIV und andere sexuell übertragbare Krankheiten kaufen. Mit so einem Heimtest kann man sich innerhalb von wenigen Minuten zuhause selbst auf eine HIV-Infektion untersuchen.

Aber Vorsicht: Wie zuverlässig ist das Testergebnis? Und was bedeutet überhaupt ein positives Testergebnis?

Ein häufig gekaufter Heimtest wirbt mit folgenden Werten:

• Falls Sie mit HIV infiziert sein sollten, entdeckt der Test dies zu `99.5 %`!
  (sogenannte Sensitivität eines Testes)
• Sind Sie nicht mit HIV infiziert, meldet der Test zu `99 %` auch: Nicht HIV-infiziert!
  (sogenannte Spezifität eines Testes)

Aus Daten des Robert-Koch-Instituts kann man ableiten, dass der Anteil der HIV-infizierten Menschen in Deutschland bei `0.01 %`  liegt (sogenannte Erkrankungsrate oder Prävalenz).

Zur Bearbeitung können Sie diese Baumvorlage nutzen

In die gelben Felder können Sie die Wahrscheinlichkeiten bzw. relativen Häufigkeiten als Dezimalzahl eintragen (d.h. `0.02 %`  als `0.0002`).

In die weißen Felder können Sie die Anzahl der jeweils Betroffenen (absolute Häufigkeiten) eintragen.

  bw_erforschen.ggb 

Warum ist hier ein Baumdiagramm und keine Vierfeldertafel?

Versuchen Sie diese Aufgabe einmal mit einer Vierfeldertafel zu bearbeiten! Können alle angegebenen Werte in einer Vierfeldertafel eingetragen werden?
Überlegen Sie sich stets, ob Sie eine Aufgabe eher mit einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel bearbeiten möchten... bzw. können.

1. Nehmen Sie an, dass `2`  Millionen solcher Heimtests von Personen in Deutschland gekauft und auch eingesetzt werden.
   Wie viele dieser Personen sind vermutlich HIV-infiziert?
   Bestimmen Sie die Anzahl der Personen mithilfe der Prävalenz.

2. Sie wissen nun mit dem Ergebnis von a , wie viele der `2`  Millionen Personen vermutlich HIV-infiziert sind.
   Aber wie viele dieser HIV-infizierten Personen erhalten auch richtigerweise das Testergebnis HIV-infiziert? 
   Bestimmen Sie die Anzahl dieser Personen.
   Wichtiges zur verwendeten Wahrscheinlichkeit
   Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test ein positives Ergebnis anzeigt, unter der Bedingung, dass jemand HIV-infiziert ist, wird bereits in der Werbung zum Test als Sensitivität eines Testes angegeben. 

   Da es sich um eine Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (hier: Test positiv) handelt, unter der Bedingung, dass ein Ereignis bereits eingetreten ist (hier: HIV-infiziert), handelt es sich hier um eine sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeit. 
   Diese wird folgendermaßen notiert:
   
   `P("Test positiv"|"HIV-infiziert")` bzw. kürzer `P("T+"|"HIV+")`.
   
   In diesem Kapitel werden noch viele weitere bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet. In einem zweistufigen Baumdiagramm finden Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten stets auf der zweiten Stufe. 

   
   

3. Wie viele Personen erhalten fälschlicherweise das Testergebnis HIV-positiv, obwohl sie eigentlich nicht infiziert sind?
   Bestimmen Sie die Anzahl der Personen.

   Gelerntes übertragen
   In Aufgabenteil b wurde Ihnen die Schreibweise der bedingten Wahrscheinlichkeit am Beispiel der Sensitivität bei einer HIV-Infektion vorgestellt.
   Können Sie auch die in Aufgabenteil c verwendete Wahrscheinlichkeit in dieser Schreibweise notieren?

   Nutzen Sie die Kürzel HIV+, HIV-, T+ bzw. T-.

   P(|)

   prüfen löschen lösen

   Hilfe zur Sprechweise

   
   Diese bedingte Wahrscheinlichkeit kann folgendermaßen gesprochen werden:

   Die Wahrscheinlichkeit T+ (Test positiv) unter der Bedingung HIV- (nicht HIV-infziert).
   
   Oder mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer nicht HIV-infizierten Person ein positives Testergebnis anzeigt.
   

4. Es gibt also Personen, die richtigerweise (vgl. b) und die fälschlicherweise (vgl. c) das Testergebnis HIV-positiv erhalten.
   Die Frage, die sich nun stellt, ist: Wenn Sie das Testergebnis HIV-positiv durch den Heimtest angezeigt bekommen, sind Sie dann tatsächlich mit HIV infiziert oder haben Sie das Ergebnis fälschlicherweise erhalten?
   
   Mit anderen Worten:
   Wie ist also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person HIV-infiziert ist, unter der Bedingung, dass der Test positiv ist?
   Bei dieser Wahrscheinlichkeit handelt es sich um den sogenannten positiven Vorhersagewert.
   Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit.
   

   Öffnen, falls Sie nicht wissen, wie Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen sollen
   Was ist Ihnen aus den Teilaufgaben bekannt? Und welchen Zusammenhang möchten Sie für diese Wahrscheinlichkeit betrachten?
   
   Aus b. wissen Sie, wie viele das Testergebnis HIV-positiv richtigerweise und aus c., wie viele dies fälschlicherweise erhalten.
   Also können Sie auch sagen, wie viele Personen insgesamt das Testergebnis HIV-positiv erhalten.

   Dies hat mir noch nicht weitergeholfen.

   Schließlich möchten Sie die Wahrscheinlichkeit wissen, HIV-positiv zu sein, wenn man zu der ganzen Personengruppe gehört, die ein positives Ergebnis erhalten hat. Hier interessiert Sie also ein bestimmter Anteil.
   
   Und zwar, wie groß der Anteil der richtigerweise positiven zu allen positiven Testergebnissen ist.
   Berechnen Sie diesen Anteil.
   Zur Schreib- und Sprechweise
   Beim positiven Vorhersagewert handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch tatsächlich HIV-infiziert ist, unter der Bedingung, dass der Test positiv ist. Hierbei handelt es sich ebenfalls um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

   Schreibweise:
   Die Schreibweise für diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist: `P("HIV-infiziert"|"Test positiv")` bzw. kürzer `P(HIV+ | T+)`.
   
   Sprechweise:
   `P(HIV+ | T+)` wird als "die Wahrscheinlichkeit, dass man tatsächlich HIV-infiziert ist, unter der Bedingung, dass der Test positiv ist" bzw. kürzer als
   "P von HIV+ unter der Bedingung T+" gesprochen.
   
   Eine alternative Schreibweise zu `P(HIV+ | T+)` ist `P_(T+) (HIV+)`.

    

5. Am Anfang stehen folgende Fragen: Wie zuverlässig ist das Testergebnis? Und was bedeutet überhaupt ein positives Testergebnis?
   Bewerten Sie die Güte dieses Tests.
   

   Falls Sie keine Idee haben ...
   Stellen Sie sich vor, Ihr Testergebnis wäre positiv. Wären Sie dann mit dem positiven Vorhersagewert zufrieden?
   Die Gesundheitsämter führen übrigens nach einem positiven Testergebnis einen weiteren Bestätigungstest durch. Wenn Sie wissen wollen, warum das Sinn macht, bearbeiten Sie unter Aufgaben 1  die Nummern 5) und 6)