×
Net-Mathebuch
Sekundarstufe 2
 

 Suchen
GeoGebra Grafik-Rechner

Seite: ac_index
Diese Seite wurde aktualisiert am 01.04.2020

LOGIN
Benutzer:
Passwort:
 

Chat

Quelle: https://nwm2.net-schulbuch.de/index.php
Druckversion vom 17.10.2021 10:38 Uhr
Startseite Einführungsphase Analytische Geometrie

Analytische Geometrie

 

Der Schritt von der Geometrie, wie Sie sie in der Sekundarstufe I wahrgenommen haben, zur Analytischen Geometrie der Sekundarstufe II ist ein Paradigmenwechsel (Ein Begriff der Wissenschaftstheorie, der den Wechsel von Grundlagen, Betrachtungsweisen oder Begriffsbildungen bezeichnet.) in Bezug auf die Vorgehensweisen.

In der Analytischen Geometrie geht es darum, geometrische Sachverhalte rein rechnerisch zu lösen ohne auf eine vorherige Visualisierung zurückzugreifen. Das geht über das Konstruieren in früheren Schuljahren hinaus, weil es mehr ist als die Konstruktion einer Fläche und die nachfolgende Berechnung des Flächeninhalts oder die Konstruktion eines Körpers und das Berechnen seines Volumens oder seiner Oberfläche. Konkret geht es darum, zum Beispiel aus den Koordinaten der Eckpunkte A, B und C eines Dreiecks, die Seitenlängen oder seinen Flächeninhalt zu berechnen, ohne vorher eine Zeichnung anzufertigen. Genauso sollen Höhen über den Seiten, der Schwerpunkt, die Längen von Seitenhalbierenden oder der Mittelpunkt des Umkreises und sein Radius rein rechnerisch (algebraisch) bestimmt werden können.

Um dieses leisten zu können benötigt man eine algebraische Darstellung und ein System von algebraischen Operationen, die geometrische Sachverhalte verarbeiten , ohne dass ein Widerspruch zur Anschauung entsteht. Ein allgemein verwendbares System in diesem Sinne liefert die Analytische Geometrie.

Ein solches allgemein verwendbares System muss in gewisser Weise abstrakt sein, weil es die verschiedensten geometrischen Anschaungswege in sich vereinen muss, die im Alltag verschiedener Anwendungen üblich sind. Einige davon sollen hier benannt werden.

  • Euklidische Geometrie,
    das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und die Bestimmung von Längen, Flächen und Raummaßen.

  • Landvermessung,
    die im Wesentlichen auf der Bestimmung von Dreiecken (Triangulation) beruht. Grundlagen sind die optische Messung von Winkeln mit einem Theodolit, die Messung von Höhenunterschieden mit Nivelliergeräten und das Messen von Längen mit dem Maßband oder Laser.

  • Navigation in der Seefahrt,
    die mit Hilfe eines Kompasses Richtungen bestimmt oder aus Peilungen auf Objekte den eigenen Standort bestimmt. Dabei werden auch die Sonne und Sternbilder einbezogen sowie die Bewegung durch das umgebende Wasser mit einer Logge gemessen.

"Jede geometrische Figur kann mit algebraischen Gleichungen beschrieben werden und jede algebraische Gleichung kann als geometrische Figur dargestellt werden."
Diese Aussage wird Renè Descartes (1596-1650) zugeschrieben, der wichtige Grundlagen der Analytischen Geometrie erarbeitet hat.

Koordinaten im Raum

Auf diesen Seiten sind der Raum und seine Koordinaten das zentrale Thema.
Dem ebenen kartesischen Koordinatensystem wird eine weitere Dimension hinzugefügt und mit ihrer Hilfe Positionen im Raum festgelegt.
Die Lösung gundlegender Aufgaben wie die Berechnung von Abständen, Mittelpunkten und Schwerpunkten werden zuerst rechnerisch im Zeidimensionalen gelöst und danach auf die zusätzliche dritte Dimension übertragen.

Vektoren

Das Ziel ist, geometrische Probleme im Raum mathematisch zu beschreiben und rechnerisch zu lösen. Dazu wird als neues mathematisches Objekt der Vektor eingeführt. Für Vektoren werden Rechenoperationen festgelegt, die zu den gewünschten rechnerischen Lösungen führen. Neben anderen Anwendungen werden die Eigenschaften von Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren analytisch durch Rechnen bestimmt.

©2021 NET-SCHULBUCH.DE
09.39  0.0185  7.3.31