×
Net-Mathebuch
Sekundarstufe 2
 

 Suchen
GeoGebra Grafik-Rechner

Seite: ahad_lehrtext
Diese Seite wurde aktualisiert am 26.07.2021

LOGIN
Benutzer:
Passwort:
 

Chat

Quelle: https://nwm2.net-schulbuch.de/index.php
Druckversion vom 07.08.2022 18:18 Uhr
Startseite Einführungsphase Funktionen & Analysis Funktionen Winkelfunktionen

Winkelfunktionen - Lehrtext

 

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

 

In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt für die beiden Winkel an der Hypotenuse:

 

Sinus eines Winkels = `\color{green}{"Gegenkathete des Winkels"}/\color{red}{"Hypotenuse"}`

Kosinus eines Winkels = `\color{blue}{"Ankathete des Winkels"}/\color{red}{"Hypotenuse"}`

Tangens eines Winkels = `\color{green}{"Gegenkathete des Winkels"}/\color{blue}{"Ankathete des Winkels"}`

 

Die entsprechenden Funktionen im Taschenrechner  kann man nutzen, um gesuchte Dreiecksseiten bzw. Winkel zu bestimmen.

 

 

Wenn Sie diesen Graphen der sinus-Funktion genau betrachten, so fällt Ihnen sicher auf, dass die Achseneinteilungen auf der x-Achse und auf der y-Achse nicht gleich sind:

Die Funktionswerte auf der y-Achse liegen zwischen `-1`  und `1`, die Werte auf der x-Achse zwischen `0^@` [Grad] und `90^@` [Grad].

Eine Vereinheitlichung der Einteilungen ist ein Grund für die Einführung des Bogenmaßes.

Geometrischer Bezug:

"Das Bogenmaß entsteht durch das Abrollen des Einheitskreises auf der x - Achse."

 

So haben Sie den Bogen raus!

  • Wählen Sie einen nicht zu großen Radius (hier `r = 4  cm`)
  • Zeichnen sie einen Kreis mit diesem Radius.
  • Markieren Sie mit Hilfe Ihres Geo-Dreiecks verschiedene Winkel auf dem Kreisrand.
  • Fertigen Sie einen kleinen Pappstreifen mit genügender Länge an. (hier DIN-A4 Länge)
  • Fixieren Sie den Pappstreifen als Kreisrand.
  • Übertragen Sie die Winkelmarkierungen auf den Streifen.
  • Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl ab `0`  mit der Einheit Ihres Radius'.
  • Übertragen Sie die Winkelmarkierungen des Streifens auf den Zahlenstrahl.

 

Für den Umfang `U`  eines Keises gilt: `U = 2*pi*r`.

Für einen Einheitkreis gilt `r = 1`, also ist  `U = 2pi`.

Jeder im Einheitskreis eingebettete Winkel (s.o.) verfügt über einen Abschnitt des Kreisrandes.

Damit gilt für beliebige Winkel `alpha`  und für das zugehörige Bogenmaß (`hat =`  Länge des Kreisrandabschnitts) `x:`

`x/(2*pi) = alpha/360`.

Die Umrechnung eines Bogenmaßes in Grad erfolgt also nach folgender Formel:

`"Grad"  =  "Bogenmaß" *180/π`

Umgekehrt gilt:

`"Bogenmaß" = "Grad"*pi/180`

Im Englischen heißt das Bogenmaß radian, daher finden Sie häufig die Abkürzung RAD oder R auf Ihrem TR.

 

Hinweise zur Nutzung des Taschenrechners:

Bei Verwendung von trigonometrischen Funktionen muss der Taschenrechner zuvor
auf Bogenmaß oder Gradmaß eingestellt werden.

Schauen Sie dazu in die Bedienungsanleitung Ihres Taschenrechners.

Bei einigen Rechnern wählen Sie  (evtl. shift-) MODE oder die  DRG-Taste.

Beachten Sie auch die Anzeigen im Display des Taschenrechners.

 

Winkelfunktionen im Einheitskreis


Ein im Einheitskreis (Kreis mit `r = 1`) eingebetteter Winkel `alpha`  dient als Grundlage der Definition der Werte der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens.
Der Scheitelpunkt des Winkels ist der Kreismittelpunkt `(0 | 0)`  in einem eigenen Koordinatensystem.
Ein Schenkel des Winkels wird durch den Punkt `(1 | 0)`  auf dem Kreisrand festgelegt.
Der zweite Schenkel wird durch einen weiteren "freien" Punkt `P`  mit den Koordinaten `(x | y)`  auf dem Kreisrand bestimmt.
Die "Drehrichtung" des Schenkels wird mathematisch positiv - "gegen die Uhr" festgelegt.
 
Dann gelten die folgende Definitionen:
Der Sinus des Winkels `alpha  [sin(alpha) ]`  ist der y-Wert von `P`. Der Kosinus des Winkels `alpha  [cos(alpha) ]`  ist der x-Wert von `P`.
Die Gerade durch `P`  und den Mittelpunkt des Kreises schneidet die Senkrechte zum festen Schenkel von `alpha`  in `(1 | 0)`  im Punkt `F`.
Der Tangens des Winkels `alpha  [tan(alpha) ]`  ist der y-Wert von `F`.

 

 

Bei vielen Aufgabenstellungen ist es notwendig, zu bekannten Werten einer Winkelfunktion den zugehörigen Winkel zu ermitteln.

 

Diese Berechnungen erfolgen mit den jeweiligen Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen) der Winkelfunktionen.

 

Sie tragen die Bezeichnungen:

`arcsin`  oder `sin^-1`

`arccos`  oder `cos^-1`

`arctan`  oder `tan^-1` .

 

Die Umkehrfunktionen existieren nur in Bereichen, in denen die Funktionen streng monoton sind.

Daher wird bei der Funktion

`sin^-1`  für den Definitionsbereich `[-1 ; 1]`

der Wertebereich `[-pi/2 ; pi/2]  "/"  [-90^@;+90^@]`  im TR gewählt.

 

Für `cos^-1`

ist analog dazu für den Definitionsbereich `[-1 ; +1]`

der Wertebereich im Normalfall auf `[0 ; pi]  "/"  [0^@ ; 180^@]` beschränkt.

 

Bei `tan^-1`

mit dem Definitionsbereich `[-oo ; + oo]`

wird der Wertebereich `[- pi/2 ; pi/2]  "/"  [-90^@ ; +90^@]`  gewählt.

 

Beispiele:

`sin alpha = 0.3  rArr alpha = sin^-1(0.3) ~~ 17.46^@  ~~ 0.30` (Bogenmaß)

`cos alpha = 0.3  rArr alpha = cos^-1(0.3) ~~ 72.54^@  ~~ 1.27` (Bogenmaß)

`tan alpha = 0.3  rArr alpha = tan^-1(0.3) ~~ 16.70^@  ~~ 0.29` (Bogenmaß)

Weitere Werte finden sie in den Tabellen weiter unten.

  arcfkt.ggb 

 

 

Es gilt:  `sin (alpha) = cos (90^@ - alpha)`  bzw. `cos(alpha) = sin (90^@ - alpha)`

-  "Sinus und Kosinus sind um `90^@`  gegeneinander verschoben."

 

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind für alle reellen Zahlen `x`  (Bogenmaß!) `(x in RR)`  definiert.

Die Werte liegen im Bereich von `-1`  bis `+1`.

Es gilt z.B.:

`sin (x + 2pi) = sin(x)`  und  `cos(x + 2pi) = cos(x)`.

Man sagt dazu: Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind periodisch mit der Periode `2pi`  `(hat = 360^@)`.

 

`sin(-x) = - sin(x)`, d.h. die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.

`cos(-x) = cos(x)`, d.h. die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

 

`cos(x) = sin(x + 1/2 pi)`

 

`tan (alpha) = sin(alpha)/cos(alpha)`

 

Winkel in Grad sin cos tan
`1/2*sqrt 0`  = 0 `1/2*sqrt 4`   = 1 0
30° `1/2*sqrt 1`  = 0,5 `1/2*sqrt 3`  ≈ 0,866 `1/3*sqrt 3` ≈ 0,577
45° `1/2*sqrt 2`  ≈ 0,707 `1/2*sqrt 2`  ≈ 0,707 1
60° `1/2*sqrt 3`  ≈ 0,866 `1/2*sqrt 1`  = 0,5 `sqrt 3` ≈ 1,732
90° `1/2*sqrt 4`   = 1 `1/2*sqrt 0`  = 0   nicht definiert / ±∞
120° `1/2*sqrt 3`  ≈ 0,866   `-1/2*sqrt 1`  = -0,5  `-sqrt 3` ≈ -1,732
135°  `1/2*sqrt 2`  ≈ 0,707  `-1/2*sqrt 2`  ≈ -0,707  -1
150°  `1/2*sqrt 1`  = 0,5  `-1/2*sqrt 3`  ≈ -0,866  `-1/3*sqrt 3` ≈ -0,577
180°  `1/2*sqrt 0`  = 0  `-1/2*sqrt 4`   = -1  0
210°  `-1/2*sqrt 1`  = -0,5   `-1/2*sqrt 3`  ≈ -0,866  `1/3*sqrt 3` ≈ 0,577
225°  `-1/2*sqrt 2`  ≈ -0,707 `-1/2*sqrt 2`  ≈ -0,707   1
250° `-1/2*sqrt 3`  ≈ -0,866   `-1/2*sqrt 1`  = -0,5  `sqrt 3` ≈ 1,732
270°  `-1/2*sqrt 4`   = -1  `1/2*sqrt 0`  = 0   nicht definiert / ±∞
300°  `-1/2*sqrt 3`  ≈ -0,866   `1/2*sqrt 1`  = 0,5   `-sqrt 3` ≈ -1,732
315°  `-1/2*sqrt 2`  ≈ -0,707  `1/2*sqrt 2`  ≈ 0,707  -1
330°   `-1/2*sqrt 1`  = -0,5  `1/2*sqrt 3`  ≈ 0,866  `-1/3*sqrt 3` ≈ -0,577
360°   `1/2*sqrt 0`  = 0  `1/2*sqrt 4`   = 1  0

 

 

Winkel in Bogenmaß sin cos tan
0 0 1 0
`pi/6 hat =` 30° 0,5 ≈ 0,866  ≈ 0,577
`pi/4 hat =` 45°` ≈ 0,707 ≈ 0,707  1
 `pi/3 hat =` 60°` ≈ 0,866 0,5 ≈ 1,732
 `pi/2 hat =` 90°` 1  0   nicht definiert / ±∞
 `pi hat =` 180°`  0  -1  0
 0,5 ≈ 28,648°  ≈ 0,479 ≈ 0,878  ≈ 0,546
 1 ≈ 57,296°  ≈ 0,841  ≈ 0,540  ≈ 1,557

 

 

 

 

 

©2022 NET-SCHULBUCH.DE
09.55  0.2001  7.4.30