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Diese Seite wurde aktualisiert am 05.11.2020

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Quelle: https://nwm2.net-schulbuch.de/index.php
Druckversion vom 07.05.2021 01:05 Uhr
Startseite Einführungsphase Funktionen & Analysis Ableitung

Ableitung

In diesem Kapitel wird die sogenannte Ableitung aufgegriffen. Dabei handelt es sich um den Grundbegriff der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis und somit der Mathematik.

Die Differentialrechung geht auf eine Aufgabenstellung zurück, die seit der Antike bekannt ist: dem Tangentenproblem.
Gegen Ende des 17. Jahrhunderts entwickelten Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander eine (widerspruchsfrei) funktionierende Technik zum Lösen der Aufgabenstellung. Der Ausgangspunkt der beiden Wissenschaftler war jedoch unterschiedlich.

Gottfried Wilhelm von Leibniz
Bildnachweis:Wikipedia
Für Leibniz war der Ausgangspunkt eine geometrische Herangehensweise zum lange ungelösten Tangentenproblem.


Sir Isaac Newton
Bildnachweis:Wikipedia
Newton näherte sich dem physikalisch über das Momentangeschwindigkeitsproblem.

Die Ergebnisse beider Forscher erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischen oder physikalischen Vorstellungen und werden deshalb als Beginn der Differentialrechnung betrachtet. Beide Zugänge werden in diesem Lehrwerk betrachtet.

Tangentenproblem

Ausgehend von einem Anwendungsproblem, in dem die Tangente in einem Punkt eines Graphen gesucht wird, wird die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt erarbeitet.

 

Lokale Änderungsrate

Hier wird ein alternativer Zugang zur Herleitung des Ableitungsbegriffs behandelt. Die physikalische Fragestellung von Isaak Newton wird nachvollzogen. "Gefühlt" ist beim Fahren mit einem Fahrrad, Auto, in der Eisenbahn oder für das Fliegen mit einem Flugzeug klar, was Geschwindigkeit ist. Wie aber wird der Wert ermittelt, den die Tachonadel anzeigt?

 

Grenzwert

Die mathematische Berechnung der Ableitung einer Funktion in einem Punkt wird erarbeitet und geübt.


Ableitungsfunktion

Das für einzelne Punkte eines Graphen erarbeitete Verfahren wird auf den gesamten Funktionsgraphen übertragen. Aus einem gegebenen Funktionsgraphen wird der Graph abgeleitet, dessen Funktionswerte  an jeder Stelle den Wert der Ableitung der Funktion angeben. Das geschieht zunächst durch Zeichnen. Den anschaulichen Hintergrund für die Vorgehensweise liefert die Beobachtung von Altimeter (Höhenmesser) und Variometer im Cockpit eines Segelflugzeuges während des Fluges (Film).

Zusammenfassung

In diesen Kapitel werden noch einmal alle Definitionen und Sätze des Themas zusammengefasst.

Zusammenfassung

   

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