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Exponentialfunktionen - Lösungen
 Aufgabe 1 |
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Klicken Sie an, falls exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall vorliegt.
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| Aufgabe 2 |
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Klicken Sie die Gleichungen von Exponentialfunktionen an.
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Begründung zu `f(x)=3*0","5^(x-2)`:
`3*0","5^(x-2)=3*(0","5^x)/(0","5^2)=3/(0","025)*0","5^x=120*0","5^x`
 Aufgabe 3 |
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Begründung:
`70*1,015^3=73","20`. Dieses Kapital wird dann für die folgenden Jahre mit 2,5% verzinst.
Nach 4 Jahren beträgt es `73","20*1","025^(4-3)`
Nach 5 Jahren beträgt es `73","20*1,025^(5-3)`
Nach 6 Jahren beträgt es `73","20*1","025^(6-3)`
Nach x Jahren beträgt es `73","20*1","025^(x-3)`
| Aufgabe 4 |
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Klicken Sie die richtigen Aussagen an:
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| Aufgabe 5 |
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Ordnen Sie die Graphen den zugehörigen Termen zu. |
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Eine Bank bietet für eine Geldanlage folgende Konditionen an: Beurteilen Sie die Angebote. |
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Lösung
1. Angebot
`1","035^8=1,3168`
Nach 8 Jahren ergibt sich ein Zinsertrag von 31,68%.
2. Angebot
`1","04^4=1","1699`
`1","1699*1","03^4=1","3167`
Nach 8 Jahren ergibt sich ein Zinsertrag von 31,67%.
Die Angebote unterscheiden sich nur unwesentlich. Das 1. Angebot ist nur um 0,01% günstiger und würde z.B. bei einer Anlagesumme von 100000 € nur 10 € mehr an Zinsen erbringen.
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Bei einer Tarifverhandlung werden 2 Vorschläge für eine monatliche Lohnerhöhung gemacht: 1. Sockelbetrag 250 € und eine Erhöhung um 3%, Ab welchem Monatsgehalt ist das 1. Angebot für den Gehaltsempfänger günstiger? |
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Lösung
Es sei g das Monatsgehalt.
`250+g*0","03=300+g*0","025 hArr g*0","005=50 hArr g=10000`
Bei einem Verdienst von mehr als 10000 € ist das 1. Angebot günstiger.
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Ein 10 Jahre alter Baum ist 7,30 m hoch; mit 25 Jahren ist er 12,05 m hoch. Um welchen Prozentsatz wächst er pro Jahr? Wie groß war er beim Einpflanzen? Es wird unterstellt, dass der Baum jedes Jahr um denselben Prozentsatz wächst. Das ist im Gegensatz zum Zinssatz nicht gesichert.
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Lösung
Es sei q der jährliche Wachstumsfaktor.
`12","05=7","3*q^15 hArr q= root 15 ((12","05)/(7","3)) hArr q = 1","034`
Der Baum wächst um 3,4% pro Jahr.
Es sei h die Anfangshöhe.
`7","3=a*1","034^10 hArr a=5","23`
Der Baum war beim Einplanzen 5,23 m hoch.
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Bestimmen Sie die Gleichung der Exponentialfunktion, deren Graph durch die Punkte P und Q verläuft.
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Lösung
`f(x)=a*q^x`
a.
`f(x)=2*q^x`, da `f(0)=2`
`f(3)=1","024 hArr 2*q^3=1","024 hArr q= root 3 ((1","024)/2) hArr q=0","8`
Ergebnis: `f(x)=2*0","8^x`
b.
`f(2","4)=3","77 hArr a*q^(2","4)=3","77 hArr a=(3","77)/q^(2","4)`
`f(4)=4","39 hArr a*q^4=4","39 hArr a=(4","39)/q^4`
Gleichsetzen ergibt:
`(3","77)/q^(2","4)=(4","39)/q^4 hArr q^4/q^(2","4)=(4","39)/(3","77)`
`hArr q^(1","6)=1","16 hArr q=1","16^(1/(1","6)) hArr q=1","1`
Einsetzen ergibt:
`a*1","1^(2","4)=3","77 hArr a=3`
Ergebnis: `f(x)=3*1","1^x`
Alternative
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Der Tabelle entnimmt man: `3","77*q^1","6=4","39 hArr q^(1","6)=1","16` sowie: `a*1","1^(2","4)=3","77 hArr a=3` |
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c.
`f(-1)=-4/3 hArr a*q^(-1)=-4/3 hArr a=-4/3*q`
`f(2)=-4","5 hArr a*q^2=-4","5 hArr a=(-4","5)/q^2`
Gleichsetzen ergibt:
`-4/3*q=(-4","5)/q^2 hArr q^3=3","375 hArr q=1","5`
Einsetzen ergibt:
`a=-4/3*1","5=-2`
Ergebnis. `f(x)=-2*1","5^x`
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Zeigen Sie, dass sich die Graphen von `f(x)=a*q_1^x` und `g(x)=b*q_2^x` mit `a,b>0` und `q_1!=q_2` schneiden. Treffen Sie eine Fallunterscheidung über das Vorzeichen der Schnittstelle. Mit der nachfolgenden App können Sie die Schnittmöglichkeiten veranschaulichen. |
Lösung
`a*q_1^x=b*q_2^x hArr q_1^x/q_2^x=b/a hArr (q_1/q_2)^x=b/a`
`x=(log(b/a))/(log(q_1/q_2))`
`log(b/a)` ist definiert, da `b/a>0`
`log(q_1/q_2)!=0`, da `q_1/q_2!=1`
| a< b | a=b | a>b | |
| `q_1<q_2` |
1. `x<0`, da `log(b/a)>0` und `log ((q_1)/(q_2))<0` |
2. `x=0`, da `log(b/a)=log 1=0` |
3. `x>0`, da `log(b/a)<0` und `log ((q_1)/(q_2))<0` |
| `q_1>q_2` |
4. `x>0`, da `log(b/a)>0` und `log ((q_1)/(q_2))>0` |
5. `x=0`, da `log(b/a)=log 1=0` |
6. `x<0`, da `log(b/a)<0` und `log ((q_1)/(q_2))>0` |
Die Fälle 4. bis 6. ergeben sich durch Vertauschen von `q_1` und `q_2` aus den Fällen 1. bis 3.
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Strontium-90 ist ein radioaktives Isotop, das vom Körper mit Calcium verwechselt und daher in das Knochengerüst eingebaut wird. Diese Einlagerung ist deshalb gefährlich, weil der radioaktive Stoff dadurch das Knochenmark schädigen kann, was schlimmstenfalls zu Leukämie führt. Pro Jahr zerfällt rund 2,45% des vorhandenen Strontium-90.
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Lösung
a.
`f(x)=2*0","9755^x`
b.
`1/2=0","9755^x`
Lösung durch systematisches Probieren:
| x | f(x) |
|---|---|
| 20 | 0,6089 |
| 30 | 0,4751 |
| 25 | 0,5379 |
| 27 | 0,5118 |
| 28 | 0,499≈0,5 |
Die Halbwertszeit beträgt etwa 28 Jahre.
Lösung mithilfe des Logarithmus:
`1/2=0","9755^x hArr log (1/2)=x*log 0","9755 hArr x=27,94`
Die Halbwertszeit beträgt etwa 28 Jahre.
c.
d.
`f(100)=2*0","9755^100 hArr f(100)=0","1674`
Nach 100 Jahren beträgt der Bestand ca. 167 mg.
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Bevölkerungsentwicklungen verlaufen nur über kurze Zeiträume exponentiell. Denoch können Berechnungen unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums zeigen, was passieren könnte, wenn die Wachstumsrate tatsächlich über längere Zeit konstant bliebe. Nigeria hatte 1991 ca. 120 Mill. Einwohner, das jährliche Bevölkerungswachstum betrug damals 2,8%.
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Lösung
a.
q = 1 + 2,8% = 1,028
b.
Für 2023 beispielsweise wären es dann `f(32) = 120 · 1,028^32 ≈ 290","4` Mio. Menschen.
Tatsächlich lag die Bevölkerungszahl Ende 2023 bei rund 226 Mio.
Die Wachstumsrate muss also - mindestens zeitweise - zurückgegangen sein.
c.
`500 = 120 · 1,028^x`
Lösung durch systematisches Probieren:
| x | f(x) |
|---|---|
| 20 | 208,5 |
| 40 | 362,2 |
| 60 | 629,2 |
| 50 | 477,4 |
| 55 | 548,0 |
| 52 | 504,5 |
| 51 | 490,7 |
Lösung durch Logarithmieren:
`500 = 120 · 1,028^x hArr log (500/120)=x*log1","028 hArr x=51,7`
Die Einwohnerzahl von 500 Mio wird im Jahr 2043 überschritten.
d.
`500 = 120 · q^109 hArr q = root 109 (500/120) hArr q=1,013`
Die durchschnittliche Wachstumsrate dürfte dann nur bei rund 1,3% liegen.