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Seite: dcf_aufgaben
Diese Seite wurde aktualisiert am 03.05.2024

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Druckversion vom 16.05.2024 07:15 Uhr
Startseite Vorkurs Weitere Gleichungen und Funktionen Exponentialfunktionen
Startseite Vorkurs Weitere Gleichungen und Funktionen Exponentialfunktionen Diese Seite wurde aktualisiert am 03.05.2024

 

 

Exponentialfunktionen - Aufgaben

Aufgabe 1  

Klicken Sie an, falls exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall vorliegt.

Die Zimmerpflanze ist 5 cm groß. Bei guter Wässerung wächst sie monatlich um 5 cm.

Der Inhalt der Spardose von 25 € wird mit anderem Geld der Eltern auf eine Supersparanlage mit 8 % Jahresverzinsung gelegt.

Das Auto kostet neu 70 000 € und verliert jährlich etwa 11 % seines Wertes.

Ein Wertpapier mit einem Startwert von 70 € wird in den ersten drei Jahren mit 1,5 % verzinst, in den weiteren Jahren mit 2,5 %.

Manfred hat Schulden von 50 €.  Er vereinbart, wöchentlich 1,50 € abzubezahlen.

 

Aufgabe 2 

Klicken Sie die Gleichungen von Exponentialfunktionen an.

`f(x)=2*x^x`

`f(x)=2*5^x`

`f(x)=3*0","5^(x-2)`

`f(x)=x*2^x`

`f(x)=4*3^(sinx)`

 

Aufgabe 3

Eine der in Aufgabe 1 beschriebenen Situationen stellt ein zusammengesetztes bzw. stückweises exponentielles Wachstum dar. Welche der nachfolgenden Funktionsgleichungen beschreibt diese Situation?

`f(x)={(70*1","015^x, für \ 0<=x<=3),(70*1","025^x,für \ 3<x):}`

`f(x)={(70*1","015^x, für \ 0<=x<=3),(73","20*1","025^x,für \ 3<x):}`

`f(x)={(70*1","015^x, für \ 0<=x<=3),(70*1","025^(x-3),für \ 3<x):}`

`f(x)={(70*1","015^x, für \ 0<=x<=3),(73","20*1","025^(x-3),für \ 3<x):}`

 

Aufgabe 4  

Klicken Sie die richtigen Aussagen an:

a.
Ein Geldbetrag K wird mit 5% verzinst (Jahreszinsen). Es sei f(x) das Endkapital nach x Jahren.

`f(x)=K*1,5^x`

`f(x)=K*1,05^x`

Die Gesamtverzinsung nach 4 Jahren beträgt 20%.

Die Gesamtverzinsung nach 4 Jahren beträgt ca. 21,6%.

b.
Eine Algenfläche der Größe A vergrößert sich innerhalb eines Jahres um 30%. Es sei f(x) die Größe der Fläche nach x Jahren.

 

Nach 3 Jahren und 4 Monaten hat sich die Fläche verdoppelt.

Die Fläche hat sich in weniger als 3 Jahren verdoppelt.

`f(x)=A*3^x`.

Nach einem halben Jahr hat sich die Fläche um etwas mehr als 14% vergrößert.

Es dauert mehr als 3 Jahre, bis sich die Fläche verdoppelt hat.
c.
`f(x)=a*q^x`, x in Monaten

  

 

Der Veränderungsfaktor für ein Jahr beträgt `q^12`.

Der Veränderungsfaktor für drei Jahre beträgt `q^36`.

Zum Monatsanfang sei der Bestand 4. Zur Monatsmitte beträgt er dann etwa `4*sqrt(q)`.

Die Halbwertszeit betrage ein Jahr. dann gilt `q=sqrt(1/2)`.

Die Verdopplungszeit betrage 2 Jahre. Dann gilt `q=root 24(2)`

Die Verdopplungszeit betrage 3 Jahre. Dann gilt `q=2^3`.

d.

Die Halbwertszeit der radioaktiven Substanz Radon beträgt 55,2 s.

Nach 110,4 s existiert keine Strahlung mehr

Nach 27,6 s hat sich die Intensität der Strahlung um 25% vermindert

Nach 165,6 s sind noch 12,5% der ursprünglichen Strahlungsintensität vorhanden

 

Aufgabe 5  

Ordnen Sie die Graphen den zugehörigen Termen zu.

 

 

Aufgabe 6  

Eine Bank bietet für eine Geldanlage folgende Konditionen an:

1. Laufzeit: 8 Jahre, Zinssatz: 3,5%,
2. Für die ersten 4 Jahre 4% Zinsen, für die folgenden 4 Jahre 3% Zinsen.

Beurteilen Sie die Angebote.

 

Aufgabe 7  

Bei einer Tarifverhandlung werden 2 Vorschläge für eine monatliche Lohnerhöhung gemacht:

1. Sockelbetrag 250 € und eine Erhöhung um 3%,
2. Sockelbetrag 300 € und eine Erhöhung um 2,5%.

Ab welchem Monatsgehalt ist das 1. Angebot für den Gehaltsempfänger günstiger?

 

Aufgabe 8  

Ein 10 Jahre alter Baum ist 7,30 m hoch; mit 25 Jahren ist er 12,05 m hoch. Um welchen Prozentsatz wächst er pro Jahr? Wie groß war er beim Einpflanzen?

Es wird unterstellt, dass der Baum jedes Jahr um denselben Prozentsatz wächst. Das ist im Gegensatz zum Zinssatz nicht gesichert.

 

 

Aufgabe 9  

Bestimmen Sie die Gleichung der Exponentialfunktion, deren Graph durch die Punkte P und Q verläuft.

  1. `P(0; 2)` und `Q(3; 1","024)`

  2. `P(2","4; 3","77)`  und `Q(4; 4","39)`

  3. `P(-1;-4/3)` und `Q(2; -4","5)`

 

Aufgabe 10  

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von `f(x)=a*q_1^x` und `g(x)=b*q_2^x` mit `a,b>0` und `q_1!=q_2` schneiden. Treffen Sie eine Fallunterscheidung über das Vorzeichen der Schnittstelle.

 Mit der nachfolgenden App können Sie die Schnittmöglichkeiten veranschaulichen.

  expfktschnitt.ggb 

Aufgabe 11  

Strontium-90 ist ein radioaktives Isotop, das vom Körper mit Calcium verwechselt und daher in das Knochengerüst eingebaut wird. Diese Einlagerung ist deshalb gefährlich, weil der radioaktive Stoff dadurch das Knochenmark schädigen kann, was schlimmstenfalls zu Leukämie führt. Pro Jahr zerfällt rund 2,45% des vorhandenen Strontium-90.

  1. Geben Sie die Funktionsgleichung zum radioaktiven Zerfall von Strontium an, wenn ursprünglich 2 g vorhanden sind.
  2. Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
  3. Skizzieren Sie den Funktionsgraphen - möglichst ohne Hilfmittel - für die ersten 84 Jahre ( = 3 · 28 Jahre).
  4. Berechnen Sie den Bestand an Strontium nach 100 Jahren.

 

Aufgabe 12  

Bevölkerungsentwicklungen verlaufen nur über kurze Zeiträume exponentiell. Denoch können Berechnungen unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums zeigen, was passieren könnte, wenn die Wachstumsrate tatsächlich über längere Zeit konstant bliebe.

Nigeria hatte 1991 ca. 120 Mill. Einwohner, das jährliche Bevölkerungswachstum betrug damals 2,8%.

  1. Geben Sie den jährlichen Wachstumsfaktor an.
  2. Berechnen Sie die Einwohnerzahl für das aktuelle Jahr, wenn der Wachstumsfaktor bis heute konstant geblieben wäre. Recherchieren Sie zum Vergleich die tatsächliche Einwohnerzahl in diesem Jahr.
  3. Berechnen Sie, in welchem Jahr bei gleichbleibendem Wachstum die Einwohnerzahl von 500 Mio. überschritten würde.
  4. Bestimmen Sie das durchschnittliche Bevölkerungswachstum pro Jahr, wenn die 50 Mio. erst 2100 (Schätzung der Weltbank) überschritten werden soll.

 

 

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