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Exponentialfunktionen - Lehrtext
Exponentialfunktionen dienen zur mathematischen Beschreibung von exponentiellem Wachstum/Zerfall.
Beispiele:
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Ein Geldbetrag von a = 500 € wird halbjährlich mit p%=3% verzinst. Halbjährlicher Wachstumsfaktor: `q=1+p/100=1+3/100=1","03` |
x-Achse: halbe Jahre y-Achse: Euro |
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Die Bevölkerung von a = 75 Millionen Einwohnern schrumpft jährlich um p%=2%. Jährlicher Verminderungsfaktor: `q=1-p/100=1-2/100=0","98` |
x-Achse: Jahre y-Achse: Bevölkerung in Millionen
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Die Schuldenlast von a = -10000 € verringert sich monatlich um p%=0,5%. Monatlicher Verminderungsfaktor: `q=1-p/100=1-(0","5)/100=1-5/1000=0","995` |
x-Achse: Monate y-Achse: Euro in Tausendern |
| Der in den Grafiken markierte Punkt hat die Koordinaten (0; a). Dies bedeutet, das zum Zeitpunkt x=0 (Beobachtungsbeginn) ein Anfangsbestand a (Geldbetrag, Bevölkerungsanzahl, Schulden) vorhanden ist. Im Falle von Schulden ist es oft üblich, diese mit einem negativen Vorzeichen zu versehen. | |
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Die nebenstehende Tabelle stellt ein exponentielles Wachstum um 50% dar. Dieser Tabelle entnimmt man: 1. `f(4)=1000*1","5^4` verallgemeinert zu `f(x)=1000*1","5^x` 2. Addiert man zu x den Wert 1, so wird f(x) mit dem Wachstumsfaktor `q = 1,5` multipliziert: `f(x+1)=f(x)*q` Statt Verminderungsfaktor wird auch in anderen Sachzusammenhängen von Zerfallsfaktor gesprochen. Als Oberbegriff von Wachstums- und Verminderungsfaktor wird der Begriff Veränderungsfaktor verwendet. Für den Prozentsatz p% werden auch die Begriffe Wachstumsrate/Zerfallsrate verwendet. |
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Eine reelle Funktion f mit `f(x) = a·q^x` mit a ≠ 0, q > 0 und q ≠ 1 heißt Exponentialfunktion zur Basis q.
Ist p% eine prozentuale Wachstumsrate (Zerfallsrate), dann gilt für den Wachstumsfaktor (Zerfallsfaktor) `q=1+p/100` (`q=1-p/100`).
f ist für alle reellen Zahlen definiert. Ist a > 0, dann sind alle Funktionswerte positiv. Ist a < 0, dann sind alle Funktionswerte negativ.
a heißt Anfangswert, weil er der Funktionswert zu x = 0 ist (`f(0)=a`).
`q < 0` ist auszuschließen, weil z. B. `(-2)^(1/2)=sqrt(-2)` nicht definiert ist.
`q = 1` ist auszuschließen, weil sich ansonsten die konstante Funktion `f(x)=a` ergibt.
Ist q ein jährlicher Veränderungsfaktor, dann gilt für den zugehörigen monatlichen Veränderungsfaktor: `root 12 q`.
Ist q ein monatlicher Veränderungsfaktor, dann gilt für den zugehörigen jährlichen Veränderungsfaktor: `q^12`.
Analoges gilt für andere Zeiteinheiten.
- (0/a) ist ein Punkt des Graphen
- für a > 0
- Definitionsbereich: `D = RR`, Wertebereich: `W = RR^(> 0)`
- Für `q>1` steigt der Graph: `f(x)->oo` für `x->oo`
`f(x)->0` für `x->-oo` - Für `0 < q < 1` fällt der Graph: `f(x)->0` für `x->oo`
`f(x)->oo` für `x->-oo`
- für a < 0
- Definitionsbereich: `D = RR`, Wertebereich: `W = RR^(< 0)`
- Für `q>1` fällt der Graph: `f(x)->-oo` für `x->oo`
`f(x)->0` für `x->-oo` - Für `0 < q < 1` steigt der Graph: `f(x)->0` für `x->oo`
`f(x)->-oo` für `x->-oo`
- `f(x+n)=f(x)*q^n` (siehe obige Tabelle)
Nachweis der letzten Eigenschaft:
`f(x + n) = a*q^(x + n) = a*q^x* q^n= f(x)*q^n`
Liegt ein Zerfallsprozess vor, so versteht man unter der Halbwertszeit den Zeitraum, in welchem sich der Anfangsbestand um 50% vermindert.
Insbesondere spielt dieser Begriff beim radioaktiven Zerfall eine wichtige Rolle.
Beispiel:
Die Strahlungsintensität von Radium-226 hat eine Halbwertszeit von 1600 Jahren. Dann gilt
`50%=100%*q^1600 hArr q=root 1600 (0","5) hArr q=0","99957`. Als vermindert sich die Strahlungsintensität jährlich um ca. 0,043%.
Liegt eine Wachstumsprozess vor, so versteht man unter der Verdopplungszeit den Zeitraum, in welchem sich der Anfangsbestand um 100% vermehrt.
Beispiel:
Ein Geldbetrag K wird jährlich mit 6% verzinst. Nach wieviel Jahren hat sich der Betrag verdoppelt?
`2*K=K*1","06^x hArr x=11,9`
Nach knapp 12 Jahren hat sich der Betrag verdoppelt. (Zur Ermittlung von x siehe "Grundlegende Aufgabentypen")
Ist p% die Wachstumsrate und ist x die Verdopplungszeit, dann gilt p·x≈70 für p<10.
Im vorstehenden Beispiel gilt p=6 und x≈11,9. Es gilt p·x=71,4≈70.
Beispiel 1:
Eine Größe wächst jährlich um 10%. Wie groß ist der monatliche Wachstumsfaktor, wie groß ist die monatliche Wachstumsrate?
Lösung:
Für den jährlichen Wachstumsfaktor gilt `q=1+10/100=1","1`. Dann ist der monatlichen Wachstumsfaktor `root 12 (1","1)=1","00797` .
Die monatliche Wachstumsrate beträgt dann `1","00797-1=0","00797=0","797%`.
Beispiel 2:
Eine Größe zerfällt monatlich um 2%. Wie groß ist der jährliche Zerfallsfaktor, wie groß ist die jährliche Zerfallsrate?
Lösung:
Für den monatlichen Zerfallsfaktor gilt `q=1-2/100=0","98`. Der jährliche Zerfallsfaktor beträgt `0","98^12=0","7847`. Die jährliche Zerfallsrate beträgt `1-0","7847=0","2153=21","53%`.
Beispiel:
Eine Algenfläche von 50 m2 vergrößert sich monatlich um 10%. Wie groß ist die Fläche nach einem Jahr?
Lösung:
`f(x)=50*1,1^12=156,9`
Nach einem Jahr ist die Fläche ca. 157 m2 groß.
Beispiel:
Welches Anfangskapital K wächst nach 8 Jahren bei einem Zinssatz von 6% auf 820 €?
Lösung:
`820=K*1","06^8 hArr K=820/(1","06^8) hArr K=514,48`
514,48 € ergeben bei einem Zinssatz von 6% nach 8 Jahren ein Endkapital von 840 €.
Beispiel:
Radon 220 hat eine Halbwertszeit von 55,2 s. Wie groß ist der Zerfallsfaktor q?
Lösung:
`1/2=1*q^(55","2) hArr q= (1/2)^(1/(55","2)) hArr q=0","988`
Pro Sekunde zerfallen p=1,2% von Radon 220.
Beispiel:
Wie lange dauert es, bis sich ein Kapital K bei einem Zinssatz von 5% verdoppelt?
`2*K=K*1","05^x hArr 2=1","05^x`
Lösung:
1. Methode: Systematisches Probieren
`1","05^10=1","63`, also dauert es mehr als 10 Jahre.
`1","05^20=2","65`, also dauert es weniger als 20 Jahre
`1","05^15=2","08`, also dauert es weniger als 15 Jahre
`1","05^14=1","98`, also dauert es mehr als 14 Jahre.
Da der Zinssatz in der Regel auf ganze Jahre bezogen ist, lautet die Antwort: Es dauert etwa 14 Jahre.
2. Methode: Anwenden des Logarithmus
`2=1","05^x hArr log 2=x*log 1","05 hArr x=log2/(log1","05)=14","2`
3. Methode: Anwenden der Faustregel (da der Zinssatz kleiner als 10% ist)
`5*x=70`, also `x=14`
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1. Gegeben sind die Wertepaare (0; 4) und (3; 0,32). Bestimmen Sie die zugehörige Exponentialfunktion `f(x)=a*q^x`. Lösung: Aus f(0)=4 folgt a=4. Der nebenstehenden Tabelle entnimmt man: `4*q^3=0","32 hArr q=root 3(0","08)=0","2` Ergebnis: `f(x)=4*0","2^x` |
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2. Gegeben sind die Wertepaare (2; 3) und (6; 15,1875). Bestimmen Sie die zugehörige Exponentialfunktion. Lösung: Es gilt `f(x+4)=f(x)*q^4` (siehe obige Eigenschaften) Der nebenstehenden Tabelle entnimmt man `f(6)=f(2)*q^4 rArr 15","1875=3*q^4` `hArr q=root 4(5","0625)=1",5` Also: `f(x)=a*1","5^x` Mit `f(2)=3` ergibt sich `3=a*1",5"^2 hArr a=4/3` Ergebnis: `f(x)=4/3*1","5^x` |
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Lösungsalternative: Die gegebenen Wertepaare werden in die Funktionsgleichung eingesetzt und das so entstandene Gleichungssystem wird gelöst. Beispiel: Wertepaare (2; 3) und (6; 15,1875). `3=a*q^2 ^^ 15","1875=a*q^6` `hArr a=3/q^2 ^^ 15","1875=3/q^2*q^6` `hArr a=3/q^2 ^^ (15","1875)/3=q^4` (*) `hArr a=3/q^2 ^^ q=1","5` `hArr a=4/3 ^^ q=1","5` Anmerkung: Erkennen Sie bei (*) den Zusammenhang zur Tabelle und zur Vorgehensweise unter 2.? Das Gleichungssystem kann auch mithilfe einer Division gelöst werden: `3=a*q^2 ^^ 15","1875=a*q^6 hArr (15","1875)/3=(a*q^6)/(a*q^2)` `hArr q^4=(15","1875)/3 hArr q=1","5` Einsetzen in die 1. Gleichung ergibt: `3=a*1","5^2 hArr a=4/3`.
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Beispiel:
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Graphen zu `f(x)=2*(1/3)^x` und `g(x)=0","4*2^x`
Lösung:
`2*(1/3)^x=0","4*2^x hArr (1/3)^x/2^x=(0","4)/2 hArr (1/6)^x=0","2`
`hArr x=(log0","2)/(log(1/6)) hArr x=0","898`
Also: f(0,898)=g(0,898)=0,745.
Der Schnittpunkt ist folglich (0,898; 0,745).
Eine alternative Lösungsmöglichkeit ist das systematische Probieren (s.o.).