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Potenzen - Lösungen

Lösung Aufgabe 1

Rechnen Sie im Kopf:

`2^3` `(-3)^3` `5^(-2)` `3^0` `(-1)^99` `2^4`
`(-4)^0` `7^1` `0^6` `(-2)^5` `(-1)^(-1)` `(-1)^(-10)`
`(1/2)^4` `(3/5)^(-2)` `(-2/3)^(-3)` `4^(1/2)` `32^(1/5)` `81^(-1/4)`
`(-2)^4` `-2^4` `(-2)^5` `-2^5` `(-2)^(-2)` `-2^(-2)`

Quelle: pixabay.com

Lösungen

`8` `-27` `1/25` `1` `-1` `16`
`1` `7` `0` `-32` `-1` `1`
`1/16` `25/9` `-27/8` `2` `2` `1/3`
`16` `-16` `-32` `-32` `1/4` `-1/4`

Lösung Aufgabe 2

Notieren Sie ohne gebrochene Exponenten und ohne negative Hochzahlen (keine Berechnung):

`a^(-2)`

`a^(1/4)`

`a^(-1/3)`

`2","45^(-6)`

`17^(-5/3)`

`73^(2/3)`

Quelle: pixabay.com

Lösung

`1/a^2`

`root(4)(a)`

`1/root(3)(a)`

`1/(2","45^6)`

`1/root(3)(17^5)`

`root(3)(73^2)`

Lösung Aufgabe 3

Schreiben Sie mit einer Basis und einem Exponenten:

`6^5*6^4` `(-7)^19:(-7)^12` `13^5*2^5` `15^2:5^2` `(3^2)^3` `a^((2^3))`
`5^3*(-5)^7` `(1/2)^(1/2)*(1/2)^(1/3)` `(-4)^(-3)*(-4)^7` `6^(-4)*7^(-4)` `(-5)^(-3)*(-5)^3` `a^5/a^7`
`2^(-1/2)/2^(-3/2)` `5^9/5` `2^("("4^(1/2)")")` `(14^6)^(-5/6)` `(a^(-1))^(-1)` `a^((2^(-3)))`

Lösungen

`6^9` `(-7)^7` `26^5` `3^2` `3^6` `a^8`
`-5^10` `(1/2)^(5/6)` `(-4)^4` `42^(-4)` `(-5)^0=1` `a^(-2)`
`2^1=2` `5^8` `2^2` `14^(-5)` `a^1=a` `a^(1/8)`

Lösung Aufgabe 4

Rechnen Sie im Kopf bzw. vereinfachen Sie:

`sqrt(64)` `sqrt(10000)` `sqrt(5^2)` `sqrt(4^4)` `sqrt(a^2)` `sqrt(a^12)`
`root(3)(8)` `root(3)(125)` `root(3)(1000)` `root(3)(2^6)` `root(4)(625)` `root(5)(32)`
`root(3)(a^3)` `root(3)(a^12)` `(root(5)(a^10))^2` `root(4)(16*a^4)` `root(n)(a^n)` `root(n)(a^(2*n))`

Lösungen

`8` `100` `5` `4^2=16` `a` `a^6`
`2` `5` `10` `2^2=4` `5` `2`
`a` `a^4` `a^4` `2a` `a` `a^2`

Lösung Aufgabe 5

Schreiben Sie mit einer Basis und einem Exponenten:

`sqrt(a)*root(3)(a)` `sqrt(a)*root(4)(a^3)` `root(3)(a)/root(3)(a^2)` `(root(3)(a))^4` `root(3)(sqrt(a))` `root(4)(root(5)(a))`
Schreiben Sie als eine einzigen Wurzelterm:

`a^(1/2)` `a^(1/5)` `a^(3/2)` `a^(3/4)*a^(1/2)` `a^(1/3)*root(3)(a)` `root(4)(a)/root(5)(a)`

Lösungen

`a^(1/2)*a^(1/3)=a^(5/6)`
`a^(1/2)*a^(3/4)=a^(5/4)`
`a^(1/3)/a^(2/3)=a^(-1/3)` `a^(4/3)` `(a^(1/2))^(1/3)=a^(1/6)` `(a^(1/5))^(1/4)=a^(1/20)`
`sqrt(a)` `root(5)(a)` `sqrt(a^3)` `a^(5/4)=root(4)(a^5)` `root(3)(a^2)` `a^(1/4-1/5)=a^(1/20)=root(20)(a)`

Lösung Aufgabe 6

Welcher rechts stehende Term ergibt vereinfacht bzw. umgeformt den links stehenden Term? Treffen Sie Ihre Wahl.

a. `a^5`
b. `root(3)(5)`
c. `a^(-3)`
d. `a^2*b^3`
e. `2^(-2/3)`
f. `a^(3/4)`

Lösung Aufgabe 7

Beweisen Sie:

`root(n)(a/b)=root(n)(a)/root(n)(b)` mit `a >= 0` und `b > 0`
`root(n)(root(m)(a))=root(n*m)(a)` mit `a >= 0`

Lösungen

a.

Es sei `x=root(n)(a) hArr x^n=a` (*)

und `y=root(n)(b) hArr y^n=b` (**)

Dann gilt nach dem 4. Potenzgesetz `a/b=x^n/y^n=(x/y)^n`.

Daraus folgt: `root(n)(a/b)=x/y=root(n)(a)/root(n)(b)` (`x` aus (*) und `y` aus (**) ersetzt)

b.

`root(n)(root(m)(a))=root(n)(a^(1/m))=a^((1/m)/n)`

`=a^(1/(n*m))=root(n*m)(a)`

Lösung Aufgabe 8

Zeigen Sie, dass `a^(2/3)*a^(5/7)=a^(2/3+5/7)`, indem Sie den nachfolgenden unvollständigen Beweis durch die passenden Zwischenschritte ergänzen:

`a^(2/3)*a^(5/7)=a^(14/21)*a^(15/21)`

`=root(21)(a^14)*root(21)(a^15)`

.....

`=a^((14+15)/21)`

....

`=a^(2/3+5/7)`

Zeigen Sie nun durch Verallgemeinerung des vorstehenden Beweises, dass

`a^(m/n)*a^(k/l)=a^(m/n+k/l)` mit `a >=0 ` und `n,m,k,l in NN`

Lösung

`a^(2/3)*a^(5/7)=a^(14/21)*a^(15/21)`

`=root(21)(a^14)*root(21)(a^15)`

`=root(21)(a^14*a^15)`

`=root(21)(a^(14+15))`

`=a^((14+15)/21)`

`=a^(14/21+15/21)`

`=a^(2/3+5/7)`

Verallgemeinerung:

`a^(m/n)*a^(k/l)=a^((m*l)/(n*l))*a^((k*n)/(l*n))` (Gleichnamigmachen der Exponenten)

`=root(n*l)(a^(m*l))*root(l*n)(a^(k*n))` (Umwandlung in einen Wurzelausdruck)

`=root(n*l)(a^(m*l)*a^(k*n))` (Anwendung eines Wurzelgesetzes)

`=root(n*l)(a^(m*l+k*n)` (Anwendung eines Potenzgesetzes)

`a^((m*l+k*n)/(n*l))` (Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz)

`=a^(m/n+k/l)` (Aufspalten des Bruchexponenten in 2 Brüche und Kürzen)

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