
Druckversion vom 25.09.2023 17:49 Uhr
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Potenzen - Lösungen
Rechnen Sie im Kopf:
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Quelle: pixabay.com |
Lösungen
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`8` `-27` `1/25` `1` `-1` `16` -
`1` `7` `0` `-32` `-1` `1` -
`1/16` `25/9` `-27/8` `2` `2` `1/3` -
`16` `-16` `-32` `-32` `1/4` `-1/4`
Notieren Sie ohne gebrochene Exponenten und ohne negative Hochzahlen (keine Berechnung):
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Quelle: pixabay.com |
Lösung
`1/a^2` | `root(4)(a)` | `1/root(3)(a)` | `1/(2","45^6)` | `1/root(3)(17^5)` | `root(3)(73^2)` |
Schreiben Sie mit einer Basis und einem Exponenten:
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Lösungen
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`6^9` `(-7)^7` `26^5` `3^2` `3^6` `a^8` -
`-5^10` `(1/2)^(5/6)` `(-4)^4` `42^(-4)` `(-5)^0=1` `a^(-2)` -
`2^1=2` `5^8` `2^2` `14^(-5)` `a^1=a` `a^(1/8)`
Rechnen Sie im Kopf bzw. vereinfachen Sie:
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Lösungen
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`8` `100` `5` `4^2=16` `a` `a^6` -
`2` `5` `10` `2^2=4` `5` `2` -
`a` `a^4` `a^4` `2a` `a` `a^2`
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Lösungen
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`a^(1/2)*a^(1/3)=a^(5/6)` `a^(1/2)*a^(3/4)=a^(5/4)`
`a^(1/3)/a^(2/3)=a^(-1/3)` `a^(4/3)` `(a^(1/2))^(1/3)=a^(1/6)` `(a^(1/5))^(1/4)=a^(1/20)` -
`sqrt(a)` `root(5)(a)` `sqrt(a^3)` `a^(5/4)=root(4)(a^5)` `root(3)(a^2)` `a^(1/4-1/5)=a^(1/20)=root(20)(a)`
Welcher rechts stehende Term ergibt vereinfacht bzw. umgeformt den links stehenden Term? Treffen Sie Ihre Wahl.
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Beweisen Sie:
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Lösungen
a.
Es sei `x=root(n)(a) hArr x^n=a` (*)
und `y=root(n)(b) hArr y^n=b` (**)
Dann gilt nach dem 4. Potenzgesetz `a/b=x^n/y^n=(x/y)^n`.
Daraus folgt: `root(n)(a/b)=x/y=root(n)(a)/root(n)(b)` (`x` aus (*) und `y` aus (**) ersetzt)
b.
`root(n)(root(m)(a))=root(n)(a^(1/m))=a^((1/m)/n)`
`=a^(1/(n*m))=root(n*m)(a)`
Zeigen Sie, dass `a^(2/3)*a^(5/7)=a^(2/3+5/7)`, indem Sie den nachfolgenden unvollständigen Beweis durch die passenden Zwischenschritte ergänzen: `a^(2/3)*a^(5/7)=a^(14/21)*a^(15/21)` `=root(21)(a^14)*root(21)(a^15)` ..... `=a^((14+15)/21)` .... `=a^(2/3+5/7)` Zeigen Sie nun durch Verallgemeinerung des vorstehenden Beweises, dass `a^(m/n)*a^(k/l)=a^(m/n+k/l)` mit `a >=0 ` und `n,m,k,l in NN` |
Lösung
`a^(2/3)*a^(5/7)=a^(14/21)*a^(15/21)`
`=root(21)(a^14)*root(21)(a^15)`
`=root(21)(a^14*a^15)`
`=root(21)(a^(14+15))`
`=a^((14+15)/21)`
`=a^(14/21+15/21)`
`=a^(2/3+5/7)`
Verallgemeinerung:
`a^(m/n)*a^(k/l)=a^((m*l)/(n*l))*a^((k*n)/(l*n))` (Gleichnamigmachen der Exponenten)
`=root(n*l)(a^(m*l))*root(l*n)(a^(k*n))` (Umwandlung in einen Wurzelausdruck)
`=root(n*l)(a^(m*l)*a^(k*n))` (Anwendung eines Wurzelgesetzes)
`=root(n*l)(a^(m*l+k*n)` (Anwendung eines Potenzgesetzes)
`a^((m*l+k*n)/(n*l))` (Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz)
`=a^(m/n+k/l)` (Aufspalten des Bruchexponenten in 2 Brüche und Kürzen)