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Diese Seite wurde aktualisiert am 28.04.2022

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Druckversion vom 06.02.2023 19:28 Uhr
Startseite Vorkurs Weitere Gleichungen und Funktionen Potenzen

Potenzen - Lösungen

Rechnen Sie im Kopf:

  1. `2^3` `(-3)^3` `5^(-2)` `3^0` `(-1)^99` `2^4`
  2. `(-4)^0` `7^1` `0^6` `(-2)^5` `(-1)^(-1)` `(-1)^(-10)`
  3. `(1/2)^4` `(3/5)^(-2)` `(-2/3)^(-3)` `4^(1/2)` `32^(1/5)` `81^(-1/4)`
  4. `(-2)^4` `-2^4` `(-2)^5` `-2^5` `(-2)^(-2)` `-2^(-2)`

Quelle: pixabay.com

Lösungen

  1. `8` `-27` `1/25` `1` `-1` `16`
  2. `1` `7` `0` `-32` `-1` `1`
  3. `1/16` `25/9` `-27/8` `2` `2` `1/3`
  4. `16` `-16` `-32` `-32` `1/4` `-1/4`

Notieren Sie ohne gebrochene Exponenten und ohne negative Hochzahlen (keine Berechnung):

`a^(-2)` `a^(1/4)` `a^(-1/3)` `2","45^(-6)` `17^(-5/3)` `73^(2/3)`

Quelle: pixabay.com

Lösung

`1/a^2` `root(4)(a)` `1/root(3)(a)` `1/(2","45^6)` `1/root(3)(17^5)` `root(3)(73^2)`

Schreiben Sie mit einer Basis und einem Exponenten:

  1. `6^5*6^4` `(-7)^19:(-7)^12` `13^5*2^5` `15^2:5^2` `(3^2)^3` `a^((2^3))`
  2. `5^3*(-5)^7` `(1/2)^(1/2)*(1/2)^(1/3)` `(-4)^(-3)*(-4)^7` `6^(-4)*7^(-4)` `(-5)^(-3)*(-5)^3` `a^5/a^7`
  3. `2^(-1/2)/2^(-3/2)` `5^9/5` `2^("("4^(1/2)")")` `(14^6)^(-5/6)` `(a^(-1))^(-1)` `a^((2^(-3)))`

Lösungen

  1. `6^9` `(-7)^7` `26^5` `3^2` `3^6` `a^8`
  2. `-5^10` `(1/2)^(5/6)` `(-4)^4` `42^(-4)` `(-5)^0=1` `a^(-2)`
  3. `2^1=2` `5^8` `2^2` `14^(-5)` `a^1=a` `a^(1/8)`

Rechnen Sie im Kopf bzw. vereinfachen Sie:

  1. `sqrt(64)`  `sqrt(10000)`  `sqrt(5^2)` `sqrt(4^4)` `sqrt(a^2)` `sqrt(a^12)`
  2. `root(3)(8)` `root(3)(125)` `root(3)(1000)` `root(3)(2^6)` `root(4)(625)` `root(5)(32)`
  3. `root(3)(a^3)` `root(3)(a^12)` `(root(5)(a^10))^2` `root(4)(16*a^4)` `root(n)(a^n)` `root(n)(a^(2*n))`

Lösungen

  1. `8` `100` `5` `4^2=16` `a` `a^6`
  2. `2` `5` `10` `2^2=4` `5` `2`
  3. `a` `a^4`  `a^4` `2a` `a` `a^2`

  1. Schreiben Sie mit einer Basis und einem Exponenten:

     `sqrt(a)*root(3)(a)`  `sqrt(a)*root(4)(a^3)`  `root(3)(a)/root(3)(a^2)`  `(root(3)(a))^4`  `root(3)(sqrt(a))`  `root(4)(root(5)(a))`
     
  2. Schreiben Sie als eine einzigen Wurzelterm:

     `a^(1/2)`  `a^(1/5)`  `a^(3/2)`  `a^(3/4)*a^(1/2)` `a^(1/3)*root(3)(a)`  `root(4)(a)/root(5)(a)`

Lösungen

  1.  `a^(1/2)*a^(1/3)=a^(5/6)`

     `a^(1/2)*a^(3/4)=a^(5/4)`

     `a^(1/3)/a^(2/3)=a^(-1/3)`  `a^(4/3)`  `(a^(1/2))^(1/3)=a^(1/6)`  `(a^(1/5))^(1/4)=a^(1/20)`
  2.  `sqrt(a)`  `root(5)(a)`  `sqrt(a^3)`  `a^(5/4)=root(4)(a^5)`  `root(3)(a^2)`  `a^(1/4-1/5)=a^(1/20)=root(20)(a)`
     

Welcher rechts stehende Term ergibt vereinfacht bzw. umgeformt den links stehenden Term? Treffen Sie Ihre Wahl.

a.

`a^5`

b.

`root(3)(5)`

c.

`a^(-3)`

d.

`a^2*b^3`

e.

`2^(-2/3)`

f.

`a^(3/4)`

Beweisen Sie:

  1. `root(n)(a/b)=root(n)(a)/root(n)(b)` mit `a >= 0` und `b > 0`
  2. `root(n)(root(m)(a))=root(n*m)(a)` mit `a >= 0`

Lösungen

a.

Es sei `x=root(n)(a) hArr x^n=a`  (*)

und `y=root(n)(b) hArr y^n=b`    (**)

Dann gilt nach dem 4. Potenzgesetz `a/b=x^n/y^n=(x/y)^n`.

Daraus folgt: `root(n)(a/b)=x/y=root(n)(a)/root(n)(b)`  (`x` aus (*) und `y` aus (**) ersetzt)

b.

`root(n)(root(m)(a))=root(n)(a^(1/m))=a^((1/m)/n)`

`=a^(1/(n*m))=root(n*m)(a)`

Zeigen Sie, dass `a^(2/3)*a^(5/7)=a^(2/3+5/7)`, indem Sie den nachfolgenden unvollständigen Beweis durch die passenden Zwischenschritte ergänzen:

`a^(2/3)*a^(5/7)=a^(14/21)*a^(15/21)`

`=root(21)(a^14)*root(21)(a^15)`

.....

`=a^((14+15)/21)`

....

`=a^(2/3+5/7)`

Zeigen Sie nun durch Verallgemeinerung des vorstehenden Beweises, dass 

`a^(m/n)*a^(k/l)=a^(m/n+k/l)` mit `a >=0 ` und `n,m,k,l in NN`

Lösung

`a^(2/3)*a^(5/7)=a^(14/21)*a^(15/21)`

`=root(21)(a^14)*root(21)(a^15)`

`=root(21)(a^14*a^15)`

`=root(21)(a^(14+15))`

`=a^((14+15)/21)`

`=a^(14/21+15/21)`

`=a^(2/3+5/7)`

Verallgemeinerung:

`a^(m/n)*a^(k/l)=a^((m*l)/(n*l))*a^((k*n)/(l*n))`     (Gleichnamigmachen der Exponenten)

`=root(n*l)(a^(m*l))*root(l*n)(a^(k*n))`      (Umwandlung in einen Wurzelausdruck)

`=root(n*l)(a^(m*l)*a^(k*n))`      (Anwendung eines Wurzelgesetzes)

`=root(n*l)(a^(m*l+k*n)`      (Anwendung eines Potenzgesetzes)

`a^((m*l+k*n)/(n*l))`     (Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz)

`=a^(m/n+k/l)`    (Aufspalten des Bruchexponenten in 2 Brüche und Kürzen)

 

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