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Diese Seite wurde aktualisiert am 28.04.2022

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Druckversion vom 06.02.2023 19:54 Uhr
Startseite Vorkurs Weitere Gleichungen und Funktionen Potenzen

Potenzen - Lehrtext

 

Definition einer Potenz
`a^n` ist eine abkürzende Schreibweise für das Produkt `a*a*a*...*a`, welches aus n gleichen Faktoren a besteht. a heißt Basis, n heißt Exponent und `a^n` heißt Potenz. a ist eine reelle Zahl, n ist eine natürliche Zahl größer als 1.

Weiterhin wird definiert:

`a^1=a`

`a^0=1` für `a!=0` (Siehe hierzu auch den Hinweis 3 unten.)

`a^(-n)=1/a^n` für `a!=0`

Dass es sich hierbei um sinnvolle Definitionen handelt, folgt aus dem 1. und 2. Potenzgesetz (siehe nachfolgend).

 

1. Potenzgesetz

`a^n*a^m=a^(m+m)`

Verbal: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

Beispielgebundene Begründung:

`a^3*a^5=(a*a*a)*(a*a*a*a*a)=a*a*a*a*a*a*a*a=a^8=a^(3+5)`

Damit auf `a*a=a^2` dieses Gesetz anwendbar ist, muss gelten `a^1=a` und damit `a*a=a^1*a^1=a^(1+1)=a^2`

 

2. Potenzgesetz

`a^n/a^m=a^(n-m)`, falls `a!=0`.

Verbal: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

Beispielgebundene Begründung:

 `a^5/a^3=(a*a*a*a*a)/(a*a*a)=a*a=a^2=a^(5-3)`

Der Übergang vom zweiten zum dritten Bruch erfolgt durch 3-faches Kürzen mit dem Faktor a.

Alternativ: `a^5/a^3=(a^3*a^2)/(a^3)=a^2=a^(5-3)` (Kürzen mit dem Faktor `a^3`).

Die Definition `a^0=1` ergibt sich aus der Anwendung dieses Gesetzes auf z.B. `1=a^5/a^5=a^(5-5)=a^0`.

Die Definition `a^(-n)=1/a^n` ergibt sich aus der Anwendung dieses Gesetzes auf z.B. `1/a^n=a^0/a^n=a^(0-n)=a^(-n)`.

 

3. Potenzgesetz

`(a*b)^n=a^n*b^n`

Verbal (Kurzform): Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert.

Beispielgebundene Begründung:

`(a*b)^3=(a*b)*(a*b)*(a*b)=a*a*a*b*b*b=a^3*b^3` (Assoziativgesetz zum Weglassen der Klammern, Kommutativgesetz zum Vertauschen der Faktoren)

 

4. Potenzgesetz

`(a/b)^n=a^n/b^n`, falls `b!=0`

Verbal (Kurzform): Ein Bruch wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert.

Beispielgebundene Begründung:

`(a/b)^3=a/b*a/b*a/b=(a*a*a)/(b*b*b)=a^3/b^3`

 

5. Potenzgesetz

`(a^n)^m=a^(n*m)`

Verbal: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

Beispielgebundene Begründung:

`(a^2)^3=(a*a)*(a*a)*(a*a)=a*a*a*a*a*a=a^6=a^(2*3)` (Assoziativgesetz zum Weglassen der Klammern)

 

Wurzeldefinition

`root(n)(a)` mit `a>=0` ist diejenige nicht negative Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert a ergibt:

`root(n)(a)=x` und `x^n=a`.

`root(n)(a)` heißt n-te Wurzel, a heißt Radikand, n heißt Wurzelexponent.

Beispiel: `root(3)(64)=4` und `4^3=64` (gelesen: 3.te Wurzel aus 64)

Hinweis 1: `root(2)(a)` wird kürzer geschrieben als `sqrt(a)` und ist folglich die bekannte Quadratwurzel.

Hinweis 2: Das Ergebnis einer Wurzel ist immer nicht negativ. Eine Potenzgleichung wie `x^4=16` hat daher die beiden Lösungen `x_1=\color {red}{root(4)(16)}=\color{red}{2}` und `x_2=-\color{red}{root(4)(16)}=-\color{red}{2}`.

Hinweis 3: Einige Taschenrechner lassen bei einem ungeraden Wurzelindex auch negative Radikanden zu, z.B. `root(3)(-1)=-1`. Dies sollte man tunlichst vermeiden, da es sonst zu Widersprüchen kommen kann - wie weiter unten gezeigt wird.

Eine weitere Potenzdefinition:

`a^(1/n)=root(n)(a)`

Dass diese Definition sinnvoll ist, wird nachfolgend gezeigt.

 

Wurzelgesetze `(a >= 0` und `n in NN` mit `n >= 2` und `m in NN)`
  1. `(root(n)(a))^n=a`

  2. `root(n)(a)*root(n)(b)=root(n)(a*b)`

  3. `root(n)(a)/root(n)(b)=root(n)(a/b)` und `b > 0`

  4. `(root(n)(a))^m=root(n)(a^m)`

  5. `root(n)(a^m)=a^(m/n)`

Beweise:

1.

Die Beziehung folgt direkt aus der Definition der n-ten Wurzel.

2.

Es sei `x=root(n)(a) hArr x^n=a` sowie `y=root(n)(b) hArr y^n=b`

Es folgt:

`a*b=x^n*y^n=(x*y)^n`      (1. Potenzgesetz)

und damit `x*y=root(n)(a*b)`     (Definition der Wurzel)

und somit `root(n)(a)*root(n)(b)=root(n)(a*b)`       (Ersetzen von `x` und `y`)

Beispiel: `root(3)(4)*root(3)(16)=root(3)(4*16)=root(3)(64)=4`

3.

Der Beweis wird analog zum vorstehenden Beweis mit Anwendung des 2. Potenzgesetzes geführt (siehe Aufgabenteil).

Beispiel: `root(4)(32)/root(4)(2)=root(4)(32/2)=root(4)(16)=2`

4.

Beispielgebundene Beweisführung:

`(root(n)(a))^3=root(n)(a)*root(n)(a)*root(n)(a)=root(n)(a^2)*root(n)(a)=root(n)(a^3)` (Zweimalige Anwendung von 2.)

5.

`root(n)(a^m)=(root(n)(a))^m=(a^(1/n))^m=a^(m/n)` (Anwendung von 4., Anwendung der weiteren Potenzdefinition und Anwendung des 5. Potenzgesetzes)

Beispiel: `root(3)(5^6)=5^(6/3)=5^2=25`

Nachweis, dass die obige Definiton `a^(1/n)=root(n)(a)` sinnvoll ist:

Es sei `x=a^(1/n)` (*)

Es folgt: `x^n=(a^(1/n))^n=a^(1/n*n)=a^1=a` (Anwendung des 5. Potenzgesetzes)

Aus `x^n=a` folgt `x=root(n)(a)`

In (*) eingesetzt ergibt sich `root(n)(a)=a^(1/n)`

Beispiel: `125^(1/3)=root(3)(125)=5`

 

Potenzen mit beliebigem Exponenten

Die vorstehenden 5. und 6. Wurzelgesetze ergeben Potenzen mit Bruchzahlen als Exponenten. Ohne weiteren Beweis sei Ihnen hier mitgeteilt, dass alle 5 Potenzgesetze auch für derartige Exponenten gelten. Im Aufgabenteil finden Sie eine entsprechende Beweisaufgabe. Beachten Sie jedoch bzgl. der Basis solcher Potenzen die nachfolgenden Ausführungen unter "Hinweise".

In der Qualifikationsphase werden Sie eine Begründung kennenlernen, dass Potenzen auch mit beliebigen reellen Zahlen definiert sind, z.B. `3^sqrt(2)~~4","7288`

 

Hinweise

1.

In der obigen Wurzeldefinition wird darauf verwiesen, dass Taschenrechner bei ungeradem Wurzelindex auch negative Radikanden zulassen. Betrachten Sie hierzu die folgenden Gleichungsketten:

`-1=(-1)^3=(-1)^(6/2)\color{red}{=}((-1)^6)^(1/2)=1^(1/2)=sqrt(1)=1`

`-1=root(3)(-1)=(-1)^(1/3)=(-1)^(2/6)\color{red}{=}root(6)((-1)^2)=root(6)(1)=1`

Problematisch ist jeweils der Übergang beim roten Gleicheitszeichen. Man kann derartige Widersprüche verhindern, indem man z.B. keine negativen Radikanden bei Wurzeln und gebrochenen Exponenten zulässt (siehe obige Bedingungen zu den Wurzelgesetzen). Dann hat die Gleichung `x^3=-7` die Lösung `-root(3)(7)~~-1,91` und nicht `root(3)(-7)`.

2.

In Erweiterung des 5. Potenzgesetzes gilt auch `a^(-m/n)=1/a^(m/n)=1/root(n)(a^m)` für `a > 0`.

Beispiel: `8^(-2/3)=1/8^(2/3)=1/root(3)(8^2)=1/root(3)(64)=1/4`

3.

Bei `a^0=1` wird vorausgesetzt, dass `a!=0`. Das liegt nahe, denn für 

(1) `a=0` gilt `a^n=0` für natürliche n, also fortgesetzt auch für n=0,

(2) n=0 gilt `a^n=1` für `a!=0`, also fortgesetzt auch für a=0.

Um diesem Widerspruch zu entgehen, wird `0^0` nicht definiert.

 

 

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