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Potenzen - Aufgaben

 

Aufgabe 1 

Rechnen Sie im Kopf:

  1. `2^3` `(-3)^3` `5^(-2)` `3^0` `(-1)^99` `2^4`
  2. `(-4)^0` `7^1` `0^6` `(-2)^5` `(-1)^(-1)` `(-1)^(-10)`
  3. `(1/2)^4` `(3/5)^(-2)` `(-2/3)^(-3)` `4^(1/2)` `32^(1/5)` `81^(-1/4)`
  4. `(-2)^4` `-2^4` `(-2)^5` `-2^5` `(-2)^(-2)` `-2^(-2)`

Quelle: pixabay.com

 

Aufgabe 2 

Notieren Sie ohne gebrochene Exponenten und ohne negative Hochzahlen (keine Berechnung):

`a^(-2)` `a^(1/4)` `a^(-1/3)` `2","45^(-6)` `17^(-5/3)` `73^(2/3)`

Quelle: pixabay.com

 

Aufgabe 3 

Schreiben Sie mit einer Basis und einem Exponenten:

  1. `6^5*6^4` `(-7)^19:(-7)^12` `13^5*2^5` `15^2:5^2` `(3^2)^3` `a^((2^3))`
  2. `5^3*(-5)^7` `(1/2)^(1/2)*(1/2)^(1/3)` `(-4)^(-3)*(-4)^7` `6^(-4)*7^(-4)` `(-5)^(-3)*(-5)^3` `a^5/a^7`
  3. `2^(-1/2)/2^(-3/2)` `5^9/5` `2^("("4^(1/2)")")` `(14^6)^(-5/6)` `(a^(-1))^(-1)` `a^((2^(-3)))`

 

Aufgabe 4

Rechnen Sie im Kopf bzw. vereinfachen Sie:

  1. `sqrt(64)`  `sqrt(10000)`  `sqrt(5^2)` `sqrt(4^4)` `sqrt(a^2)` `sqrt(a^12)`
  2. `root(3)(8)` `root(3)(125)` `root(3)(1000)` `root(3)(2^6)` `root(4)(625)` `root(5)(32)`
  3. `root(3)(a^3)` `root(3)(a^12)` `(root(5)(a^10))^2` `root(4)(16*a^4)` `root(n)(a^n)` `root(n)(a^(2*n))`

 

Aufgabe 5

  1. Schreiben Sie mit einer Basis und einem Exponenten:

     `sqrt(a)*root(3)(a)`  `sqrt(a)*root(4)(a^3)`  `root(3)(a)/root(3)(a^2)`  `(root(3)(a))^4`  `root(3)(sqrt(a))`  `root(4)(root(5)(a))`
     

  2. Schreiben Sie als einen einzigen Wurzelterm:

     `a^(1/2)`  `a^(1/5)`  `a^(3/2)`  `a^(3/4)*a^(1/2)` `a^(1/3)*root(3)(a)`  `root(4)(a)/root(5)(a)`

 

Aufgabe 6

Welcher rechts stehende Term ergibt vereinfacht bzw. umgeformt den links stehenden Term? Treffen Sie Ihre Wahl.

`a^5`

`a^3*a^2`

`a^7/a^2`

`(a^2)^3`

`root(4)(a^14)*sqrt(a^3)`
`root(3)(5)`

 

`5^(1/3)`

`root (6)(5^2)`

`root(3)(2)*root(3)(3)`

`5/5^(2/3)`
`a^(-3)`

 

`a^2/a^5`

`1/a^3`

`(a^(3))^(-1)`

`root(3)(a)`
`a^2*b^3`

 

`(a*b)^5`

`(a*b)^5/(a^3*b^2)`

`1/(a^(-2)*b^(-3)`

`a^2/b^(-3)`
`2^(-2/3)`

 

`sqrt(2^(-3))`

`1/root(3)(4)`

`root(3)(2^(-2)`

`1/sqrt(2^3)`
`a^(3/4)`

 

`a^(1/2)*a^(1/4)`

`sqrt(a)*root(4)(a)`

`a^2/a^(5/4)`

`1/a*root(4)(a^7)`

 

Aufgabe 7

Beweisen Sie:

  1. `root(n)(a/b)=root(n)(a)/root(n)(b)` mit `a >= 0` und `b > 0`
  2. `root(n)(root(m)(a))=root(n*m)(a)` mit `a >= 0`

 

Aufgabe 8

Zeigen Sie, dass `a^(2/3)*a^(5/7)=a^(2/3+5/7)`, indem Sie den nachfolgenden unvollständigen Beweis durch die passenden Zwischenschritte ergänzen:

`a^(2/3)*a^(5/7)=a^(14/21)*a^(15/21)`

`=root(21)(a^14)*root(21)(a^15)`

.....

`=a^((14+15)/21)`

....

`=a^(2/3+5/7)`

Zeigen Sie nun durch Verallgemeinerung des vorstehenden Beweises, dass 

`a^(m/n)*a^(k/l)=a^(m/n+k/l)` mit `a >=0 ` und `n,m,k,l in NN`

 

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