Potenzen - Aufgaben

Rechnen Sie im Kopf:

1. `2^3`

   `(-3)^3`

   `5^(-2)`

   `3^0`

   `(-1)^99`

   `2^4`

2. `(-4)^0`

   `7^1`

   `0^6`

   `(-2)^5`

   `(-1)^(-1)`

   `(-1)^(-10)`

3. `(1/2)^4`

   `(3/5)^(-2)`

   `(-2/3)^(-3)`

   `4^(1/2)`

   `32^(1/5)`

   `81^(-1/4)`

4. `(-2)^4`

   `-2^4`

   `(-2)^5`

   `-2^5`

   `(-2)^(-2)`

   `-2^(-2)`

Quelle: pixabay.com

Notieren Sie ohne gebrochene Exponenten und ohne negative Hochzahlen (keine Berechnung):

Quelle: pixabay.com

Schreiben Sie mit einer Basis und einem Exponenten:

1. `6^5*6^4`

   `(-7)^19:(-7)^12`

   `13^5*2^5`

   `15^2:5^2`

   `(3^2)^3`

   `a^((2^3))`

2. `5^3*(-5)^7`

   `(1/2)^(1/2)*(1/2)^(1/3)`

   `(-4)^(-3)*(-4)^7`

   `6^(-4)*7^(-4)`

   `(-5)^(-3)*(-5)^3`

   `a^5/a^7`

3. `2^(-1/2)/2^(-3/2)`

   `5^9/5`

   `2^("("4^(1/2)")")`

   `(14^6)^(-5/6)`

   `(a^(-1))^(-1)`

   `a^((2^(-3)))`

Rechnen Sie im Kopf bzw. vereinfachen Sie:

1. `sqrt(64)`

   `sqrt(10000)`

   `sqrt(5^2)`

   `sqrt(4^4)`

   `sqrt(a^2)`

   `sqrt(a^12)`

2. `root(3)(8)`

   `root(3)(125)`

   `root(3)(1000)`

   `root(3)(2^6)`

   `root(4)(625)`

   `root(5)(32)`

3. `root(3)(a^3)`

   `root(3)(a^12)`

   `(root(5)(a^10))^2`

   `root(4)(16*a^4)`

   `root(n)(a^n)`

   `root(n)(a^(2*n))`

1. Schreiben Sie mit einer Basis und einem Exponenten:

   `sqrt(a)*root(3)(a)`

   `sqrt(a)*root(4)(a^3)`

   `root(3)(a)/root(3)(a^2)`

   `(root(3)(a))^4`

   `root(3)(sqrt(a))`

   `root(4)(root(5)(a))`

    

2. Schreiben Sie als einen einzigen Wurzelterm:

   `a^(1/2)`

   `a^(1/5)`

   `a^(3/2)`

   `a^(3/4)*a^(1/2)`

   `a^(1/3)*root(3)(a)`

   `root(4)(a)/root(5)(a)`

Welcher rechts stehende Term ergibt vereinfacht bzw. umgeformt den links stehenden Term? Treffen Sie Ihre Wahl.

Beweisen Sie:

1. `root(n)(a/b)=root(n)(a)/root(n)(b)` mit `a >= 0` und `b > 0`
2. `root(n)(root(m)(a))=root(n*m)(a)` mit `a >= 0`

Zeigen Sie, dass `a^(2/3)*a^(5/7)=a^(2/3+5/7)`, indem Sie den nachfolgenden unvollständigen Beweis durch die passenden Zwischenschritte ergänzen:

`a^(2/3)*a^(5/7)=a^(14/21)*a^(15/21)`

`=root(21)(a^14)*root(21)(a^15)`

.....

`=a^((14+15)/21)`

....

`=a^(2/3+5/7)`

Zeigen Sie nun durch Verallgemeinerung des vorstehenden Beweises, dass 

`a^(m/n)*a^(k/l)=a^(m/n+k/l)` mit `a >=0 ` und `n,m,k,l in NN`