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Seite: dca_loesungen
Diese Seite wurde aktualisiert am 28.04.2022

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Druckversion vom 28.03.2024 14:40 Uhr
Startseite Vorkurs Weitere Gleichungen und Funktionen Quadratische Gleichungen

 

Quadratische Gleichungen - Lösungen

 

Klicken Sie die richtige Aussage an.

 


Lösungen

a.

`x^2-3x=0 rArr L={0; 3}`

b.

`x^2-6x+9=0 rArr L={3}`

c.

`x^2-9=0 rArr L={-3; 3}`

d.

`x(x-2)=x^2-2x rArr L=RR`

e.

`(x-3)(x-5)=0 rArr L={3; 5}`

f.

`x^2+3=0 rArr L={}`

Klicken Sie die richtigen Aussagen an (x ist Lösungsvariable):

a.
`5*(x-4)=2x+3`
b.
`(x-4)(x+3)=5`
c.
`5/x^2+x=7x`
d.
`3*x^2<=2*x+4`
e.
`x^2/a+5=3(x+2)`
f.
`sqrt(a)*x^2=4`

Bringen Sie die Schritte in die richtige Reihenfolge:

Lösung

`-2(x^2+6) - 3(6 - x) = 4(-x - 2) - 9x`

`-2x^2-12 - 18 + 3x = -4x - 8 - 9x`

 `-2x^2+3x - 30 = -13x - 8`

`-2x^2+16x - 22 = 0`

`x^2-8x + 11 = 0`

`x_1= 4 + sqrt(16 - 11)` und `x_2=4 - sqrt(16 - 11)`

`x_1≈ 6,24` und  `x_2≈ 1,76`

Welche Gleichungen sind nicht äquivalent zur jeweils vorhergehenden Gleichung. Geben Sie die Nummern im nachfolgenden Lückentext aufsteigend geordnet ein.

`-9(3-x)^2+14=-3x(10+2x)-23`    (1)

`hArr -81+54x-9x^2+14=-30x-6x^2-23`  (2)

`hArr -3x^2+84x-120=0`    (3)

`hArr x^2-28x+40=0`   (4)

`hArr x_(1","2)=-14+-sqrt(196-40)`   (5)

`hArr x_(1","2)=-14+-sqrt(156)`   (6)

 Lösung

Die Gleichungen mit den Nummern 3 und 5 sind nicht äquivalent zur jeweils vorhergehenden Gleichung.

Richtig wäre:

`-81+54x-9x^2+14=-30x-6x^2-23`  (2)

`hArr -3x^2+84x-\color {red}{44}=0`    (3)

Richtig wäre:

`x^2-28x+40=0`   (4)

`hArr x_(1","2)=\color{red}{14}+-sqrt(196-40)`   (5)

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

  1. 694 ]@]

    x2 - 7x + 12 = 0

    709
  2. 694 ]@]

    x2 + x = 0,75

    709
  3. 694 ]@]

    x2 = -2x - 10

    709
  4. 694 ]@]

    x2 -16x + 64 = 0

    709

Lösungen

a.

`x^2-7x+12=0`

`x_(1","2)=7/2+-sqrt(49/4-12)=7/2+-1/2`

`x_1=4` und `x_2=3`

b.

`x^2+x=0","75 hArr x^2+x-0","75=0`

`x_(1","2)=-1/2+-sqrt(1/4+0","75)=-1/2+-1`

`x_1=1/2` und `x_2=-3/2`

c.

`x^2=-2x-10 hArr x^2+2x+10`

`x_(1","2)=-1+-sqrt(1-10)`

Es existiert keine Lösung, da der Term unter der Wurzel negativ ist.

d.

`x^2-16x+64=0`

`x_(1","2)=8+-sqrt(64-64)=8`

8 ist die einzige Lösung.

Alternative: `x^2-16x+64=0 hArr (x-8)^2=0 hArr x=8` (Anwendung einer binomischen Formel)

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

  1. 694 ]@]

    2x2 - x - 1 = 0

    709
  2. 694 ]@]

    -5x2 + 13x = -8,45

    709
  3. 694 ]@]

    3,9x2 = 11,7x + 97,5

    709
  4. 694 ]@]

    2x2 - 8x + 8 = 0

    709

Lösungen

a.

`2x^2-x-1=0 hArr x^2-1/2x-1/2=0`

`x_(1","2)=1/4+-sqrt(1/16+1/2)=1/4+-3/4`

`x_1=1` und `x_2=-1/2`

b.

`-5x^2+13x=-8","45 hArr -5x^2+13x+8","45=0`

`hArr x^2-2","6x-1","69=0`

`x_(1","2)=1","3+-sqrt(1","69+1","69)`

`x_(1","2)~~1","3+-1","84`

`x_1~~3","14` und `x_2~~-0","54`

c.

`3","9x^2=11","7x+97","5`

`hArr 3","9x^2-11","7x-97","5=0 hArr x^2-3x-25=0`

`x_(1","2)=1","5+-sqrt(2","25+25)~~1","5+-5","22`

`x_1~~6","72` und `x_2~~-3","72`

d.

`2x^2-8x+8=0 hArr x^2-4x+4=0`

`hArr (x-2)^2=0 hArr x=2`

Alternativ:

`x^2-4x+4=0`

`x_(1","2)=2+-sqrt(4-4)=2`

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

  1. 694 ]@]

    (x - 5)2 = 0

    709
  2. 694 ]@]

    (2x + 3)2 = 0

    709
  3. 694 ]@]

    (x - 5)(x + 3) = 0

    709
  4. 694 ]@]

    (4x - 3)(3x + 2) = 0

    709
  5. 694 ]@]

    4x2 = 5

    709
  6. 694 ]@]

    x2 - 7x = 0

    709
  7. 694 ]@]

    4x2 = x

    709

Lösungen

a.

 `(x-5)^2=0 hArr x-5=0 hArr x=5`

b.

`(2x+3)^2=0 hArr 2x+3=0 hArr 2x=-3 hArr x=-1","5`

c.

`(x-5)(x+3)=0 hArr x-5=0 vv x+3=0 hArr x=5 vv x=-3`

d.

`(4x-3)(3x+2)=0 hArr 4x-3=0 vv 3x+2=0`

`hArr 4x=3 vv 3x=-2 hArr x=3/4 vv x=-2/3`

e.

`4x^2=5 hArr x^2=5/4 hArr x=sqrt(5/4) vv x=-sqrt(5/4)`

f.

`x^2-7x=0 hArr x(x-7)=0 hArr x=0 vv x-7=0 hArr x=0 vv x=7`

g.

`4x^2=x hArr 4x^2-x=0 hArr x(4x-1)=0`

`hArr x=0 vv 4x-1=0 hArr x=0 vv 4x=1`

`hArr x=0 vv x=1/4`

Lösen Sie die folgenden Gleichungen (Lösungsvariable x und a≠0):

  1. 694 ]@]

    (x - a)2 = 0

    709
  2. 694 ]@]

    (ax + 3)2 = 0

    709
  3. 694 ]@]

    (x - b)(x + c) = 0

    709
  4. 694 ]@]

    (4x - a)(ax + 2) = 0

    709
  5. 694 ]@]

    ax2 = b

    709
  6. 694 ]@]

    x2 - ax = 0

    709
  7. 694 ]@]

    ax2 = x

    709
  8. Icon 2 Sterne 30x30 694 ]@]

    ax2 + 2x - 3 = 0

    709

Lösungen

a.

`(x-a)^2=0 hArr x-a=0 hArr x=a`

b.

`(ax+3)^2=0 hArr ax+3=0 hArr ax=-3 hArr x=-3/a`

c.

`(x-b)(x+c)=0 hArr x-b=0 vv x+c=0 hArr x=b vv x=-c`

d.

`(4x-a)(ax+2)=0 hArr 4x-a=0 vv ax+2=0`

`hArr 4x=a vv ax=-2 hArr x=a/4 vv x=-2/a`

e.

`ax^2=b hArr x^2=b/a hArr x=sqrt(b/a) vv x=-sqrt(b/a)`

f.

`x^2-ax=0 hArr x(x-a)=0 hArr x=0 vv x-a=0 hArr x=0 vv x=a`

g.

`ax^2=x hArr ax^2-x=0 hArr x(ax-1)=0`

`hArr x=0 vv ax-1=0 hArr x=0 vv ax=1`

`hArr x=0 vv x=1/a`

h.

`ax^2+2x-3=0 hArr x^2+2/a*x-3/a=0`

`x_(1","2)=-1/a+-sqrt(1/a^2+3/a)`

`x_(1","2)=-1/a+-sqrt(1/a^2+(3a)/a^2)`

`x_(1","2)=-1/a+-sqrt((1+3a)/a^2)`

`x_(1","2)=-1/a+-1/a*sqrt(1+3a)`

  1. Bestimmen Sie die Formvariable a, so dass die Gleichung x2 - 4x + a = 0 (1) keine Lösung, (2) genau eine Lösung und (3) zwei Lösungen besitzt.
  2. Bestimmen Sie die Formvariable p, so x1 = 7 Lösung der Gleichung x2 + px - 21 = 0 ist.

Lösungen

a.

`x^2-4x+a=0`

`x_(1","2)=2+-sqrt(4-a)`

`4-a < 0 hArr 4 < a `: keine Lösung

`4-a=0 hArr 4=a`: eine Lösung

`4-a>0 hArr 4>a`: zwei Lösungen

b.

`x^2+px-21=0`

`x_(1","2)=-p/2+-sqrt(p^2/4+21)` 

`-p/2+-sqrt(p^2/4+21)=7` 

`hArr +-sqrt(p^2/4+21)=7+p/2`

`rArr p^2/4+21=(7+p/2)^2`

`hArr p^2/4+21=49+7p+p^2/4`

`hArr -28=7p hArr p=-4`

`x_2=4/2-sqrt(4+21)=-3`

Beweisen Sie die folgenden Gleichungen ("Satz von Vieta"): Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0, dann gilt

  1. 694 ]@]

    x1 + x2 = -p

    709 ,
  2. 694 ]@]

    x1 · x2 = q

    709 ,
  3. 694 ]@]

    x2 + px + q = (x - x1) · (x - x2)

    709 .

Quelle: Wikipedia

Lösungen

`x_(1","2)=-p/2+-sqrt(p^2/4-q)`

a.

`x_1+x_2=-p/2+sqrt(p^2/4-q)+(-p/2-sqrt(p^2/4-q))=-p`

b.

`x_1*x_2=(-p/2+sqrt(p^2/4-q))*(-p/2-sqrt(p^2/4-q))`

`=p^2/4-(sqrt(p^2/4-q))^2=p^2/4-p^2/4+q=q`

c.

`(x-x_1)*(x-x_2)=x^2-x_1*x-x_2*x+x_1*x_2`

`=x^2-(x_1+x_2)*x+x_1*x_2=x^2+p*x+q`

Prüfen Sie die folgenden Behauptungen:

 

  1. Eine quadratische Gleichung der Form x2 + px + q = 0 besitzt immer zwei Lösungen, wenn q<0.
  2. Eine quadratische Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0 besitzt immer zwei Lösungen, wenn a · c < 0.

nach pixabay.com

Lösungen

a.

`x_(1","2)=-p/2+-sqrt(p^2/4-q)`

Ist `q < 0`, dann ist `p^2/4-q` positiv, da zum nicht negativen `p^2/4` eine positive Zahl addiert wird. Folglich ist der Wurzelwert positiv und man erhält 2 Lösungen. Die Aussage ist also richtig.

b.

`ax^2+bx+c=0 hArr x^2+b/a*x+c/a=0`

Es gilt also `p=b/a` und `q=c/a`. Da `a*c < 0 `, haben `a` und `c` unterschiedliches Vorzeichen, folglich ist `q=c/a` negativ. Lt. Teil a. gibt es dann zwei Lösungen. Die Aussage ist also richtig.

Zerlegen Sie in ein Produkt (Faktorisieren Sie):

  1. 694 ]@]

    x2 + 3x - 10

    709
  2. 694 ]@]

    3x2 + 21x + 36

    709
  3. 694 ]@]

    -2x2 + 32x - 128

    709

Beachten Sie den Satz von Vieta in Aufgabe 10

Lösungen

a.

`x^2+3x-10=0`

`x_(1","2)=-1,5+-sqrt(2,25+10)`

`x_1=2` und `x_2=-5`

Also: `x^2+3x-10=0=(x-2)*(x+5)`

b.

`3x^2+21x+36=0 hArr x^2+7x+12=0`

`x_(1","2)=-3,5+-sqrt(12,25-12)`

`x_1=4` und `x_2=3`

Also: `3x^2+21x+36=3*(x+3)(x+4)`

c.

`-2x^2+32x-128=0 hArr x^2-16x+64=0`

`x_(1","2)=8+-sqrt(64-64)`

`x_1=x_2=8`

Also: `-2x^2+32x-128=-2(x-8)^2`

 

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