Quadratische Gleichungen - Lehrtext

Die Lösung der folgenden speziellen quadratischen Gleichung ergibt sich durch Wurzelziehen:

`(x-3)^2=16 hArr x-3 = sqrt(16) vv x-3=-sqrt(16)` (Das Zeichen `vv` bedeutet "oder")

`hArr x-3=4 vv x-3=-4 hArr x=7 vv x=-1`

Die Idee ist nun, eine quadratische Gleichung auf diese Form zu bringen. Wendet man auf vorstehende Gleichung die binomische Formel an, so erhält man

`(x-3)^2=16 hArr x^2-2*3*x+3^2=16 hArr x^2-6x+9=16 hArr x^2-6x=7`

Ist nun `x^2-6x=7` gegeben, so müsste dieser Rechenweg rückgängig gemacht werden, d.h. auf beiden Seiten müsste `9=3^2` addiert werden. Die Zahl 3 ergibt sich aber als Hälfte der Zahl 6, welche die Vorzahl vor der Variablen x ist.

Somit ergibt sich die Regel für die quadratische Ergänzung:

Dividiere die Vorzahl von x durch 2, quadriere diesen Quotienten und addiere das Ergebnis auf beiden Seiten der Gleichung.
Anschließend erfolgt die Rückanwendung einer binomischen Formel.

Beispiel:

`x^2-8x=-12`

`x^2-8x + \color {red}{(8/2)^2}=-12+ \color {red}{(8/2)^2}`  (quadratische Ergänzung)

`x^2-8x+16=4`

`(x-4)^2=4`        (Rückanwendung einer binomischen Formel)

`x-4=2 vv x-4=-2`

`x_1=6` und `x_2=2`

Lösungsformel für die quadratische Gleichung `x^2+p*x+q=0`:

`x^2+p*x+q=0`

`x^2+px=-q`

`x^2+px+(p/2)^2=-q+(p/2)^2`   (quadratische Ergänzung)

`(x+p/2)^2=-q+(p/2)^2`    (Rückanwendung einer binomischen Formel)

`x+p/2= sqrt((p/2)^2-q) vv x+p/2=-sqrt((p/2)^2-q)`

In Kurzform: `x_(1"/"2)=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)`

Beispiel:

`x^2-8x+12=0`, d.h. `p=-8` und `q=12`

`x_(1"/"2)=-(-8/2)+-sqrt(16-12)`

`x_1=6` und `x_2=2`

Wichtig: Vor der Anwendung der p-q-Formel prüfen!

1. Steht vor `x^2` ein Faktor ungleich 1, so muss zunächst durch diesen Faktor dividiert werden.

Beispiel:

`-3x^2+36x+39=0`

`x^2-12x-13=0`

`x_(1","2)=6+-sqrt(36+13)`

`x_1=13` und `x_2=-1`

2. Hat die Gleichung nicht die Form `x^2+px+q=0` - z. B. wenn rechts vom Gleichheitszeichen keine 0 steht - dann muss die Gleichung erst auf diese Form gebracht werden.

Beispiel:

`x^2=2x+3`

`x^2-2x-3=0`

`x_(1","2)=1+-sqrt(1+3)`

`x_1=3` und `x_2=-1`

Für spezielle quadratische Gleichungen muss man nicht die p-q-Formel bemühen, da sich einfachere Vorgehensweisen anbieten.

1. Das lineare Glied fehlt:

`x^2=a` mit `a>=0`

Lösung: `x=sqrt(a) vv x=-sqrt(a)`

2. Das absolute Glied fehlt:

`x^2+px=0`

`hArr x(x+p)=0`

`hArr x=0 vv x=-p` (Anwendung der Regel: Ein Produkt hat genau dann den Wert 0, wenn mindestens ein Faktor den Wert 0 hat.)

In der p-q-Formel entscheidet der Ausdruck unter der Wurzel, wie viel Lösungen eine quadratische Gleichung hat.

1. `(p/2)^2-q>0`: Es existieren 2 Lösungen, nämlich `x_1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)` und `x_2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)`.

2. `(p/2)^2-q=0`: Es existiert eine Lösung, nämlich `x=-p/2`.

3. `(p/2)^2-q<0`: Es existiert keine Lösung, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann.

Beispiel 1:

`x^2-8x+12=0`

`x_(1","2)=4+-sqrt(16-12)`

`x_1=6` und `x_2=2`

Beispiel 2:

`x^2-8x+16=0`

`x_(1","2)=4+-sqrt(16-16)`

`x_1=4`

Beispiel 3:

`x^2-8x+20=0`

`x_(1","2)=4+-sqrt(16-20)`

Da der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, existiert keine Lösung.