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Quadratische Gleichungen - Lehrtext
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in welcher eine Lösungsvariable (meist x) mit dem Exponenten 2 (und nicht größer) vorkommt. Die Lösungsvariable darf nicht im Nenner und auch nicht im Exponenten auftreten.
Beispiele:
`3x^2=8`; `x^2+4x-6=0`; `3x^2+4x+a=0` (Hier tritt neben der Lösungsvariable x noch ein Parameter/eine Formvariable a auf.)
Gegenbeispiele:
`x-9=0`; `5/(x+2)=x^2`; `2^(x^2)=8`
Die Lösung der folgenden speziellen quadratischen Gleichung ergibt sich durch Wurzelziehen:
`(x-3)^2=16 hArr x-3 = sqrt(16) vv x-3=-sqrt(16)` (Das Zeichen `vv` bedeutet "oder")
`hArr x-3=4 vv x-3=-4 hArr x=7 vv x=-1`
Die Idee ist nun, eine quadratische Gleichung auf diese Form zu bringen. Wendet man auf vorstehende Gleichung die binomische Formel an, so erhält man
`(x-3)^2=16 hArr x^2-2*3*x+3^2=16 hArr x^2-6x+9=16 hArr x^2-6x=7`
Ist nun `x^2-6x=7` gegeben, so müsste dieser Rechenweg rückgängig gemacht werden, d.h. auf beiden Seiten müsste `9=3^2` addiert werden. Die Zahl 3 ergibt sich aber als Hälfte der Zahl 6, welche die Vorzahl vor der Variablen x ist.
Somit ergibt sich die Regel für die quadratische Ergänzung:
Dividiere die Vorzahl von x durch 2, quadriere diesen Quotienten und addiere das Ergebnis auf beiden Seiten der Gleichung.
Anschließend erfolgt die Rückanwendung einer binomischen Formel.
Beispiel:
`x^2-8x=-12`
`x^2-8x + \color {red}{(8/2)^2}=-12+ \color {red}{(8/2)^2}` (quadratische Ergänzung)
`x^2-8x+16=4`
`(x-4)^2=4` (Rückanwendung einer binomischen Formel)
`x-4=2 vv x-4=-2`
`x_1=6` und `x_2=2`
Lösungsformel für die quadratische Gleichung `x^2+p*x+q=0`:
`x^2+p*x+q=0`
`x^2+px=-q`
`x^2+px+(p/2)^2=-q+(p/2)^2` (quadratische Ergänzung)
`(x+p/2)^2=-q+(p/2)^2` (Rückanwendung einer binomischen Formel)
`x+p/2= sqrt((p/2)^2-q) vv x+p/2=-sqrt((p/2)^2-q)`
In Kurzform: `x_(1"/"2)=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)`
Beispiel:
`x^2-8x+12=0`, d.h. `p=-8` und `q=12`
`x_(1"/"2)=-(-8/2)+-sqrt(16-12)`
`x_1=6` und `x_2=2`
Wichtig: Vor der Anwendung der p-q-Formel prüfen!
1. Steht vor `x^2` ein Faktor ungleich 1, so muss zunächst durch diesen Faktor dividiert werden.
Beispiel:
`-3x^2+36x+39=0`
`x^2-12x-13=0`
`x_(1","2)=6+-sqrt(36+13)`
`x_1=13` und `x_2=-1`
2. Hat die Gleichung nicht die Form `x^2+px+q=0` - z. B. wenn rechts vom Gleichheitszeichen keine 0 steht - dann muss die Gleichung erst auf diese Form gebracht werden.
Beispiel:
`x^2=2x+3`
`x^2-2x-3=0`
`x_(1","2)=1+-sqrt(1+3)`
`x_1=3` und `x_2=-1`
Für spezielle quadratische Gleichungen muss man nicht die p-q-Formel bemühen, da sich einfachere Vorgehensweisen anbieten.
1. Das lineare Glied fehlt:
`x^2=a` mit `a>=0`
Lösung: `x=sqrt(a) vv x=-sqrt(a)`
2. Das absolute Glied fehlt:
`x^2+px=0`
`hArr x(x+p)=0`
`hArr x=0 vv x=-p` (Anwendung der Regel: Ein Produkt hat genau dann den Wert 0, wenn mindestens ein Faktor den Wert 0 hat.)
In der p-q-Formel entscheidet der Ausdruck unter der Wurzel, wie viel Lösungen eine quadratische Gleichung hat.
1. `(p/2)^2-q>0`: Es existieren 2 Lösungen, nämlich `x_1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)` und `x_2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)`.
2. `(p/2)^2-q=0`: Es existiert eine Lösung, nämlich `x=-p/2`.
3. `(p/2)^2-q<0`: Es existiert keine Lösung, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann.
Beispiel 1:
`x^2-8x+12=0`
`x_(1","2)=4+-sqrt(16-12)`
`x_1=6` und `x_2=2`
Beispiel 2:
`x^2-8x+16=0`
`x_(1","2)=4+-sqrt(16-16)`
`x_1=4`
Beispiel 3:
`x^2-8x+20=0`
`x_(1","2)=4+-sqrt(16-20)`
Da der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, existiert keine Lösung.