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Lineare Funktionen - Lösungen 2
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Herr Saubermann reinigt regelmäßig im Frühjahr seine Terrasse mit einem Hochdruckreiniger. Er benötigt 15 Minuten, um alles vorzubereiten. Da er sehr sorgfältig ist, reinigt er 2 m2 der Terrasse in 8 Minuten.
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Quelle: pixabay.com |
Lösung
a.
`f(x)=4x+15`
b.
`f(10)=55`: Wieviel Minuten benötigt Herr Saubermann, um eine 10 m2 große Terrasse zu säubern? Er benötigt (einschließlich der notwendigen Vorbereitungen) 55 Minuten.
`f(x)=65 hArr 4x+15=65 hArr x=12,5`. Wie groß ist die Terrasse, wenn Herr Saubermann (einschließlich der notwendigen Vorbereitungen) 65 Minuten für ihre Säuberung benötigt? Die Terrasse ist 12,5 m2 groß.
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Für einen Umzug holt sich Frau Stein ein Angebot für einen entsprechenden Mietwagen ein. Die Firma "Miet-mich" bietet ihre Fahrzeuge für einen Grundpreis von 45,00€ und einen Kilometerpreis von 0,50 € an. Die Firma "Fahr-mit-uns" hat ihre Fahrzeuge für einen Grundpreis von 30,00 € und einen Kilometerpreis von 0,55 € im Angebot. Notieren Sie jeweils eine Funktion, die den Preis in Abhängigkeit von den gefahrenen Kilometern angibt. Bei welcher Kilometerzahl ist welche Firma günstiger? |
Quelle: pixabay.com |
Lösung
Miet-mich: `f(x)=0,5x+45`
Fahr.mit-uns: `g(x)=0,55x+30`.
`f(x)=g(x) hArr 0,5x+45=0,55x+30 hArr 15=0,05x hArr x=300`
Werden weniger als 300 km gefahren, dann ist das Angebot der Firma "Fahr-mit-uns" günstiger.
Bei 300 km Fahrleistung ist das Angebot beider Firmen gleich teuer.
Werden mehr als 300 Kilometer gefahren, dann ist das Angebot der Firma "Miet-mich" günstiger.
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Ein Erlebnis besonderer Art ist der Rodelspaß in Bergün im Schweizer Kanton Graubünden. Dort wird im Winter die Albula-Passstraße für Autos gesperrt und zur Super-Rodelbahn umfunktioniert. Die zweite Attraktion: Durch das Albulatal verläuft die Trasse des berühmten Glacier-Expresses. Einer der interessantesten Abschnitte ist die 12,5 Kilometer lange Strecke zwischen Bergün und Preda. In dem engen Tal ist die Höhendifferenz nur zu meistern durch die zahlreichen Brücken, Viadukte, Kehr-, Wende- und Spiraltunnel. (nach: Blickpunkt 1/91 – Reise und Erholung)
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Lösung
a.
Höhendifferenz (lt. Karte): 1792 m - 1376 m = 416 m.
Steigung: `416/w` mit `w=sqrt(12500^2-416^2)~~12493`
`416/12493~~3,3%`
b.
Die eingezeichnete Rodelbahn macht nicht so viele Kreise und Kehren. Deshalb ist die zurückgelegte Strecke viel kürzer bei gleichem Höhenunterschied. Deshalb muss sie steiler sein.
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Daten der Schauinsland-Bahn:
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Quelle: Wikipedia |
Lösung
a.
Höhendifferenz: 1219 m - 473 m = 746 m
Steigung: `746/w` mit `w=sqrt(3600^2-746^2)~~3522`
`746/3522~~21,2%`
b.
`alpha=arcsin(746/3600)~~12°`
oder
`alpha=arctan(746/3522)~~12°`
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Streckenabschnitte der ICE-Strecke Frankfurt - Köln im Taunus:
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Lösung
a.
| Strecke | Horizontale Differenz in km | Vertikale Differenz in m | Steigung in m/km |
|---|---|---|---|
| Kelsterbach - Raunheim | 4,26 | -1 | -0,23 |
| Raunheim – Weilbach 1 | 1,94 | 14 | 8,76 |
| Weilbach 1 – Weilbach 2 | 1,52 | 24 | 15,79 |
| Weilbach 2 - Breckerheim | 5,10 | 29 | 5,69 |
| Breckenheim–Medenbach1 | 3,74 | 93 | 24,87 |
| Medenbach 1 – Medenbach 2 |
2,28 | 19 | 8,33 |
| Medenbach 2 – Niedernhausen | 3,28 | 18 | 5,49 |
| Niedernhausen – Niederseelbach | 3,24 | 81 | 25,0 |
| Niederseelbach – Idstein | 5,56 | -19 | -3,42 |
b.
Die größte Neigung hat die Strecke von Niedernhausen – Niederseelbach mit `(25 m)/(km)=(25 m)/(1000 m)=25 ‰`.
Die Vorschrift der Deutschen Bahn ist gerade noch eingehalten.
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Ein Bergsteiger muss sich beim Klettern umso mehr anstrengen, je steiler der Berghang ist. Hier interessiert nicht zuerst der Höhenunterschied zum Ausgangsort, sondern die Steilheit des Weges unterwegs. Große Steigung heißt nämlich große Anstrengung.
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Lösungen
a.
Geometrisches Argument: Die Abstiegsstrecke von "Alte Strasse" bis "Airolo" sieht am steilsten aus. Arithmetisches Argument: Die größten Höhendifferenzen gibt es zwischen St. Gotthard und Alte Strasse (-508m) und alte Strasse und Airolo (-425m). Der zweite Abstieg erfolgt aber auf viel kürzerer Horizontalentfernung.
b.
Amstag – Wassen: 36,1 m/km; Wassen – Göschenen: 37 m/km; Göschenen – Andermatt: 57,5 m/km; Andermatt – Hospental: 3 m/km; Hospental – Mätteli: 67 m/km; Mätteli – St. Gotthard: 63,4 m/km; St. Gotthard – Alte Strasse: -56,4 m/km; Alte Strasse – Airolo: -70,8 m/km; Airolo – Fiesso: -17,8 m/km; Fiesso – Faido: -44,7 m/km;
Beispielrechnung Alte Strasse – Airolo: `(1600-1175)/(43-49) m/(km)=-70,8 m/(km)`
c.
Steigung = `(h_2-h_1)/(a_2-a_1)=("Differenz der y-Werte")/("Differenz der x-Werte")`, wobei auf die gleiche Reihenfolge in Zähler und Nenner zu achten ist.
d.
Hospental – Mätteli: 67 m/km = 67m/1000m = 0,067 = 6,7%
Im Reiseführer ist die Steigung mit 10% zu hoch angegeben.
e.
Eine Steigung von 1 m auf 100 m ergibt 1m/100m = 0,01 = 1%.
Eine Steigung von 1 m auf 1 km ergibt 1m/1000m = 0,001 = 0,1%.
Die Steigungsangaben in m/km geben ein Zehntel der Steigung in % an.
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Rechts sehen Sie einen Ausschnitt aus dem grafischen Fahrplan der Bahn.
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Eine kleine HilfestellungLösungen
a.
IC: 23,5; RB: 26,5; GZ: 28,5; RE: 34
b.
RE: 23; GZ: 25,5; RB: 30,5;
IC (geschätzt): 38, da er in 2 Minuten etwa 3 km zurücklegt
c.
IC: 8.08 Uhr; RE: 8.14 Uhr; GZ: 8.16 Uhr; RB: 8.05 Uhr
d.
RE: 8.09 Uhr; IC: etwa 8.12 Uhr; RB: 8.18 Uhr
GZ (geschätzt): 9.59 Uhr, falls er wie ab 8.14 Uhr etwa 2 Minuten pro km braucht.
e.
RB-GZ: 8.08/8.09 Uhr bei km 27; RB/GZ-IC: 8.09 Uhr bei km 27; RE-IC: 8.11 Uhr bei km 29; RE-RB: 8.12 Uhr bei km 28; RE-GZ: 8.13 Uhr bei km 27
f.
Bei km 27 gibt es vier Gleise: 2 Durchfahrgleise (für RE und IC) und zwei Ausweichgleise (für die wartenden RB und GZ). So etwas wird i.d.R. mit einer Ein- Aussteigemöglichkeit für die RB-Reisenden verknüpft. Also dort ist ein Bahnhof.
g.
GZ steht von etwa 8.08 Uhr bis 8.14 Uhr, also 6 Minuten im Bahnhof und wartet auf die Überholung durch den RE. Der fährt nämlich in dieselbe Richtung.
h.
Die RB fährt um 8.07 Uhr in den Bahnhof bei km 27 ein und wartet dort 3 Minuten auf die Überholung durch den IC. Dann setzt sie ihre Fahrt ab 8.10 Uhr fort.
i.
Ich nähere mich im RE dem Bahnhof bei km 27. Kurz davor kommt mir um 8.11 Uhr bei km 29 der IC entgegen. Eine Minute später sehe ich die RB auf der Gegenfahrbahn bei km 28. Um 8.13 Uhr fahre ich durch den Bahnhof bei km 27. Dort steht der GZ.
j.
Um 8.06 Uhr sehe ich die RB links von mir kommen, die um 8.07 Uhr in den Bahnhof einfährt und auf dem einen Ausweichgleis hält. Fahrgäste steigen ein und aus. Ebenfalls ab 8.07 Uhr kommt ein Güterzug von rechts, der den Bahnhof um 8.08 Uhr erreicht und auf dem zweiten Ausweichgleis hält. Ab 8.08 Uhr kommt der IC links in Sicht, der eine Minute später um 8.09 Uhr durch den Bahnhof fährt. Eine Minute später verlässt die RB den Bahnhof und folgt dem IC. In der Ferne sehe noch um 8.11 Uhr, wie rechts von mir der IC dem entgegenkommenden RE begegnet. Ein Minute später fahren dann auch um 8.12 Uhr die RB und der RE aneinander vorbei. Eine weitere Minute später rauscht der RE durch den Bahnhof. Nach einer zusätzlichen Warteminute fährt der Güterzug um 8.13 Uhr aus dem Bahnhof und folgt dem RE.
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Betrachten Sie den grafischen Fahrplan in Aufgabe 6.
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Lösungen
a.
RB: Um 8.14 Uhr ist sie bei Kilometerstein 29, um 8.16 Uhr bei Kilometerstein 30. Sie hat in zwei Minuten einen Kilometer zurückgelegt – also `v=("1 km")/(" 2 min")="0,5" (km)/(min)` (v steht für velocity). In einer Stunde (kurz: h = hour) bzw. 60 Minuten legt sie 30 km zurück. Oder: Die Regionalbahn fährt mit einer Geschwindigkeit von `30 (km)/h` .
GZ: Von 8.16 Uhr bis 8.20 Uhr, also in 4 Minuten, fährt der GZ vom km 26 bis km 24, also 2 km. Die Geschwindigkeit beträgt wie bei der RB 0,5 km/min oder 30 km/h. Die Steigung im grafischen Fahrplan ist hier negativ, da er in die Gegenrichtung der RB fährt.
RE: Der RE fährt pro Minute einen Kilometer; also 60 km/h.
IC: Von 8.13 Uhr bis 8.15 Uhr, also in 2 Minuten, fährt der IC von km 32 bis km 35, also 3 km. Die Geschwindigkeit beträgt 1,5 km/min oder 90 km/h.
b.
Die Geschwindigkeit ist als Steigung der Geraden abzulesen. Da sich die Geradensteigung ändert, wird auch die Geschwindigkeit geändert.
c.
Von 8.07 Uhr bis 8.11 Uhr fährt der IC langsamer, denn die Geradensteigung ist geringer. In den 4 Minuten fährt er von km 25 bis km 29, also von 2 km vor dem Bahnhof bis 2 km danach. Er legt 4 km zurück und fährt auf dieser Wegstrecke mit einer Geschwindigkeit von 1 km/min oder 60 km/h. Vorher und nachher fährt er schneller, nämlich 90 km/h. Die beiden Geschwindigkeiten sind gleich, weil die Geradensteigungen gleich sind (3 km Zunahme in 2 Minuten).
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Das nebenstehende Diagramm zeigt den zurückgelegten Weg in Metern von 4 Zügen in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden an. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Züge I bis IV in m/s. Wandeln Sie die Ergebnisse aus Teil a in km/h um. Um welche Zugtypen könnte es sich handeln? |
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Lösungen
Zug I:
Das Steigungsdreieck zu (-2/0) und (0/60) bietet sich an zur Steigungs- bzw. Geschwindigkeitsbestimmung:
`v=(60m)/(2s)=30m/s=30*3,6(km)/h=108km/h`
So schnell können Regionalexpress, Regionalbahn und einige Güterzüge fahren.
Zug II:
Das Steigungsdreieck zu (0/40) und (1/-40) bietet sich an zur Steigungs- bzw. Geschwindigkeitsbestimmung:
`v=(-80m)/(1s)=-80 m/s=-80*3,6 (km)/h=-288(km)/h`
So schnell fährt in Deutschland nur ein ICE: 288 km/h. Das Minuszeichen gibt nur die Richtung an.
Zug III:
Aus dem Steigungsdreieck zu (0/90) und (2/0) ergibt sich:
`v=(-90m)/(2s)=-45m/s=-45*3,6(km)/h=-162(km)/h`
Das kann ein ICE oder IC sein. Er fährt mit der Geschwindigkeit 162 km/h.
Zug IV:
Die Punkte (0/-60) und (3/0) erlauben die Geschwindigkeitsberechnung:
`v=(60m)/(3s)=20m/s=20*3,6(km)/h=72(km)/h`
So schnell können Regionalexpress, Regionalbahn und einige Güterzüge fahren.
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Das Diagramm gibt die Fahrt eines Linienschiffes auf einem Fluss wieder.
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Lösungen
a.
Das Linienschiff fährt zu einem 19 km entfernten Zielhafen und wieder zurück. Auf dem Hinweg wie auf dem Rückweg legt es zwischendurch je zweimal an: In 8,8 km bzw. 13,0 km vom Starthafen. Die Aufenthalte betragen jedes Mal ca. 10 Minuten (Graphenstücke parallel zur Zeitachse), am Zielhafen 17 Minuten. Die Geschwindigkeit des Schiffes beträgt auf der Hinfahrt 10 km/h (Steigung der entsprechenden Geradenstücke), auf der Rückfahrt -15 km/h.
b.
Da die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt geringer ist als auf der Rückfahrt, erfolgt die Rückfahrt in Flussrichtung, die Hinfahrt gegen die Flussrichtung.