Quelle: https://nwm2.net-schulbuch.de/index.phpDruckversion vom 14.05.2024 11:44 Uhr
Startseite Vorkurs Trigonometrie Sinussatz, Kosinussatz
Trigonometrie im beliebigen Dreieck (Sinussatz, Cosinussatz) - Lehrtext
In jedem Dreieck gilt
`sin alpha/sin beta=a/b` und `sin alpha/sin gamma=a/c` und `sin beta/sin gamma= b/c`
Beweis siehe Aufgabenteil
Beispiele von Dreiecksberechnungen:
|
Beispiel 1 (Gegeben sind 2 Winkel und eine Seite): `\color {red} {alpha=60°,beta=80°,a=5}` |
|||
|
1. Schritt `\color {blue} {gamma=180°-(60°+80°)=40°}` |
2. Schritt `sin alpha/sin beta=a/b` `(sin 60°)/(sin 80°)=5/b` `0","88 = 5/b` `\color {blue} {b=5","68}` |
3. Schritt `c/a=sin gamma/sin alpha` `c/5=(sin 40°)/(sin 60°)` `\color {blue} {c=3","71}` |
|
|
Beispiel 2 (Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt): `\color {red} {b=7, c= 5, beta=50°}` |
|||
|
1. Schritt `sin gamma/sin beta=c/b` `sin gamma/sin 50°=5/7` `sin gamma=0","5472` `\color {blue} {gamma=33","2°}` Wegen `sin gamma=sin (180°-gamma)` gibt es eine 2. Lösung: `gamma_2=146","8°`. Diese Lösung entfällt, da `beta` größer als `gamma` sein muss (in einem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber). |
2. Schritt `\color {blue} {alpha=180°-(50°+33","2°)=96","8°}` |
3. Schritt `a/b=sin alpha/sin beta` `a/7=(sin 96,8°)/sin 50°` `a=9","07` Alternative: `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha` `a^2=7^2+5^2-2*7*5*cos 96,8°` `a^2=82","29` `\color {blue} {a=9","07}` |
|
|
Beispiel 3 (Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel, welcher der kleineren Seite gegenüberliegt): `\color {red} {b=4, c= 5, beta=50°}` |
|||
|
1. Schritt `sin gamma/sin beta=c/b` `sin gamma/sin 50°=5/4` `sin gamma=0","9576` `\color {blue} {gamma=73","3°}` |
2. Schritt `\color {blue} {alpha=180°-(50°+73","3°)=56","7°}` |
3. Schritt Analog zum Beispiel 2 folgt: `\color {blue} {a=4,4}` |
 |
|
Wegen `sin gamma=sin (180°-gamma)` gibt es eine 2. Lösung: `\color {green} {gamma_2=106","7°}`. |
`\color {green} {alpha_2=180°-(50°+106","7°)=23","3°}` |
`\color {green} {a_2=2,1}` |
 |
In jedem Dreieck gilt
`a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha` und `b^2=a^2+c^2-2ac*cos beta` und `c^2=a^2+b^2-2ab*cos gamma`
Beweis siehe Aufgabenteil
Beispiele von Dreiecksberechnungen:
|
Beispiel 4 (Gegeben sind drei Seiten): `\color {red} {a=5, b=6, c= 7}` |
|||
|
1. Schritt `c^2=a^2+b^2-2ab*cos gamma` `7^2=5^2+6^2-2*5*6*cos gamma` `-12=-60*cos gamma` `cos gamma=0","2` `\color {blue} {gamma=78","5°}` |
2. Schritt `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha` `5^2=6^2+7^2-2*6*7*cos alpha` `-60=-84*cos alpha` `cos alpha=0","7143` `\color {blue} {alpha=44","4°}` |
3. Schritt `\color {blue} {beta=180°-(78","5°+44","4°)=57","1°}` |
 |
|
Beispiel 5 (Gegeben sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel): `\color {red} {alpha=70°, b= 8, c=5}` |
|||
|
1. Schritt `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha` `a^2=64+25-80*cos 70°` `\color {blue} {a=7","85}` |
2. Schritt `b^2=a^2+c^2-2ac*cos beta` `8^2=7","85^2+5^2-2*7","85*5*cos beta` `-22,6225=-78,5*cos beta` `cos beta=0","2882` `beta=cos^(-1)(0","2831)`, also `\color {blue} {beta=73","25°}` |
3. Schritt `\color {blue} {gamma=180°-(70°+73,25°)=36,75°}` |
 |
|
Die Berechnung in beliebigen Dreiecken macht es erforderlich, trigonometrische Werte auch für stumpfe Winkel zu definieren: Im Dreieck ABC gehört zum Winkel α das Verhältnis `h/b`. Im Dreieck ABC' gehört zum Winkel 180°-α das Verhältnis `(h')/(b')`. Beide Verhältnisse haben denselben Wert, nämlich sin α. Daher wird festgelegt: `sin(180°-alpha)=sin alpha`. Weiterhin gilt: `cos(180°-alpha)=-cos(alpha)` `tan(180°-alpha)=-tan(alpha)` |
 |
| 1.Spalte | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | Graphen |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 0,5 | `sqrt(2)/2` | `sqrt(3)/2` | 1 | `sqrt(3)/2` | `sqrt(2)/2` | 0,5 | 0 |  |
| cos | 1 | `sqrt(3)/2` | `sqrt(2)/2` | 0,5 | 0 | -0,5 | `-sqrt(2)/2` | `-sqrt(3)/2` | -1 | |
| tan | 0 | `sqrt(3)/3` | 1 | `sqrt(3)` | ∞ | `-sqrt(3)` | -1 | `-sqrt(3)/3` | 0 |
Beweis siehe Aufgabenteil
|
Gegeben sind zwei Seiten und der eingeschlossenen Winkel, z. B. `b, c, alpha`: `A =(c*h_c)/2` (*) `sin alpha=h_c/b hArr h_c=b*sin alpha` (Bild 1) bzw. `sin (180°-alpha)=h_c/b hArr h_c=b*sin(180°-alpha)` (Bild 2) `hArr h_c=b*sin alpha` In (*) eingesetzt: `A=(b*c*sin alpha)/2` Analog gilt: `A=(a*b*sin gamma)/2` `A=(a*c*sin beta)/2` Beispiel: `b=8,c=5,alpha=70°`(siehe obiges Beispiel 5) `A=(b*c*sin alpha)/2=(8*5*sin 70°)/2=18","8` |
Bild 1 |
Bild 2 |
|
Gegeben sind zwei Winkel und eine Seite, z. B. `alpha, a, beta`: 1. Schritt: `gamma=180°-(alpha+beta)` 2. Schritt: `c/a=sin gamma/sin alpha hArr c= (a*sin gamma)/sin alpha` 3. Schritt: `A=(a*c*sin beta)/2` Analoge Vorgehensweise für andere Varianten |
Beispiel: `alpha=60°,a=5,beta=80°` Siehe obiges Beispiel 1: `c=3,71` `A=(a*c*sin beta)/2=(5*3","71*sin 80°)/2=9","13` |
|
Gegeben sind die drei Seiten `a,b,c`: 1. Schritt: `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha` `hArr alpha=cos^(-1)((b^2+c^2-a^2)/(2bc))` 2. Schritt: `A=(b*c*sin alpha)/2` |
Beispiel: `a=5, b=6, c= 7` Siehe obiges Beispiel 4: `alpha=44","4°` `A=(6*7*sin 44","4°)/2=14","7` |
|
Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt, z. B. `b,c,beta` mit `b>=c`: 1. Schritt: `sin gamma/sin beta=c/b hArr gamma=sin^(-1)((c*sin beta)/b)` 2. Schritt: `alpha=180°-(gamma+beta)` 3. Schritt: `A= (b*c*sin alpha)/2` Analoge Vorgehensweise für andere Varianten |
Beispiel: `b=7, c= 5, beta=50°` Siehe obiges Beispiel 2: `alpha=96","8°` `A=(7*5*sin 96","8°)/2=17","4`
|
| Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel, welcher der kleineren Seite gegenüberliegt, z. B. `b,c,beta` mit `b<c`: Vorgehensweise wie vor mit den Lösungen 1. Schritt: `gamma` und `gamma_2=180°-gamma` 2. Schritt: `alpha` und `alpha_2=180°-(gamma_2+beta)` 3. Schritt: `A` und `A_2` |
Beispiel: `b=4, c= 5, beta = 50` Siehe obiges Beispiel 3 Lösung 1: `alpha=56,7°` `A=(4*5*sin 56,7°)/2=8","4` Lösung 2: `alpha=23,3°` `A=(4*5*sin 23,3°)/2=4","0` |