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Startseite Vorkurs Trigonometrie Sinussatz, Kosinussatz
Startseite Vorkurs Trigonometrie Sinussatz, Kosinussatz Diese Seite wurde aktualisiert am 22.09.2023

Trigonometrie im beliebigen Dreieck (Sinussatz, Cosinussatz) - Lösungen

 

Aufgabe 1  

Markieren Sie die korrekten Gleichungen

`sin 110°=sin 70°`

`sin 150°=0,5`

`sin alpha=sin (90°+alpha)`

`-1<=cos alpha <= 1`

`tan alpha >=0`

`cos 180°=-1`

Lösung

 

Aufgabe 2 

Ordnen Sie richtig zu:

Lösung

 

Aufgabe 3 

Markieren Sie die korrekten Gleichungen. Korrigieren Sie die fehlerhaften Terme der rechten Gleichungsseite.

1. `sin alpha/(sin beta_1)=c/d`

2. `e=(a*sin alpha)/sin delta_1`

3. `sin delta_2/(sin beta_2)=sin gamma/sin alpha`

4. `gamma=sin^(-1)((e*sin beta_2)/c)`

` 5.beta_1=sin^(-1)((e*sin alpha)/d)`

Lösung

1. `sin alpha/(sin beta_1)=e/d`

3. `sin delta_2/(sin beta_2)=b/c`

5. `beta_1=sin^(-1)((d*sin alpha)/e)`

Aufgabe 4 

Markieren Sie die korrekten Gleichungen. Korrigieren Sie die fehlerhaften Terme der rechten Gleichungsseite.

1. `c^2=b^2+e^2-2be*cos beta_2`

2. `d^2=a^2+b^2-2ab*cos(beta_1+beta_2)`

3. `a=sqrt(d^2+e^2+2de*cos delta_1)`

4. `b=e+c-2ec*cos delta_2`

5. `e^2-a^2-d^2=-2ad*cos alpha`

6. `b^2=e^2+c^2`

Lösung

 

2. `d^2=a^2+e^2-2ae*cos beta_1`

3. `a=sqrt(d^2+e^2-2de*cos delta_1)`

4. `b=sqrt(e^2+c^2-2ec*cos delta_2)`

6. `b^2=e^2+c^2-2ec*cos delta_2`

Aufgabe 5

Markieren Sie die korrekten Gleichungen. Korrigieren Sie die fehlerhaften Terme der rechten Gleichungsseite.

1. `alpha=cos^(-1)((e^2-d^2-a^2)/(2ad))`

2. `gamma=(b^2+c^2+e^2)/(2bc)`

3. `cos beta_1=(e^2+a^2-d^2)/(2ea)`

4. `cos gamma=(b^2+c^2-e^2)/(2bc)`

5. `delta_2=cos^(-1)((e^2+c^2-b^2)/(2ec))`

Lösung

1. `alpha=cos^(-1)((d^2+a^2-e^2)/(2ad))`

2. `gamma=cos^(-1)((b^2+c^2-e^2)/(2bc))`

Aufgabe 6 

Die einzelnen Sinus- ud Cosinussätze sowie der Winkelsummensatz seien wie folgt durchnummeriert:

  1. `sin alpha/sin beta = a/b`
  2. `sin alpha/sin gamma = a/c`
  3. `sin beta/sin gamma=b/c`
  4. `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha`
  5. `b^2=a^2+c^2-2ac*cos beta`
  6. `c^2=a^2+b^2-2ab*cos gamma`

Gegeben sind jeweils 3 Stücke eines Dreiecks.  Markieren Sie die Sätze, die zur Berechnung der restlichen Dreiecksstücke als Erstes angewandt werden können - abgesehen vom Winkelsummensatz `alpha+beta+gamma=180°`.

Gegeben sind

`b,c,alpha`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`b,c,beta`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`b,c,gamma`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`a,b,c`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`c,alpha,beta`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`a,alpha,beta`

1

2

3

4

5

6

Gegegeben sind

`a,c,beta`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`a,b,gamma`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`a,c,alpha`

1

2

3

4

5

6


Lösung

 

Aufgabe 7

Berechnen Sie die restlichen Stücke sowie den Flächeninhalt, wenn gegeben sind:

  1. `alpha=40°, b=5, c=5`
  2. `beta=30°, gamma=70°, a=4`
  3. `a=6, b= 4, c = 3`
  4. `a=6,  c= 5, alpha=60°`
  5. `b=5, c = 6, beta=40°`

Lösung

a. `\color {red} {alpha=40°, b=5, c=5}`

1. Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind die beiden Basiswinkel zusammen 140° groß. Also gilt: `\color {blue} {beta=gamma=70°}`.

2. `a/sin alpha=c/sin gamma` ergibt: `a=(5*sin 40°)/(sin 70°)`, also `\color {blue} {a=3","4}`

Alternative: `a=sqrt(b^2+c^2-2bc*cos alpha)` ergibt: `a=sqrt(25+25-2*5*5*cos 40°)=3","4`

3. `A=(b*c*sin alpha)/2=8","0`

 

  

b. `\color {red} {beta=30°, gamma=70°, a=4}`

1. `\color {blue} {alpha=180°-(30°+70°)=80°}`

2. `b/a=sin beta/sin alpha` ergibt: `b=4*(sin30°)/(sin80°)`, also `\color {blue} {b=2","0}`

3. `c/a=sin gamma/sin alpha` ergibt: `c=4*(sin70°)/(sin80°)`, also `\color {blue} {c=3","8}`

Alternative: `c=sqrt(a^2+b^2-2ab*cos gamma)` ergibt: `c=sqrt(4^2+2","03^2-2*4*2","03*cos 70°)=3","8`

4. `A=(a*b*sin gamma)/2=3","8`

  

c. `\color {red} {a=6, b= 4, c = 3}`

 1. `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha` ergibt: `36=16+9-24*cos alpha hArr alpha=cos^(-1)(-11/24) hArr \color {blue} {alpha=117","3°}`

2. `b^2=a^2+c^2-2ac*cos beta` ergibt: `16=36+9-36*cos beta hArr beta=cos^(-1)(29/36) hArr \color {blue} {beta=36,3°}`

Alternative:

`sin beta/sin alpha=b/a` ergibt: `sin beta=4/6*sin 117","3°`. Es folgt `beta=36","3°`. Die zweite Lösung `180°-36","3°=143","7` entfällt wegen des Winkelsummensatzes.

3. `\color {blue} {gamma=180°-(117","3°+36","3°)=26","4°}`

4. `A=(a*c*sin beta)/2=5","3`

  

d. `\color {red} {a=6,  c= 5, alpha=60°}`

1. `sin gamma/sin alpha=c/a` ergibt: `sin gamma=5/6*sin 60°`. Es folgt `\color {blue} {gamma=46","2°}`.

Die zweite Lösung `180°-46","2°=133","8°` entfällt, da `alpha > gamma` wegen `a> c`.

2. `\color {blue} {beta=180°-(60°+46","2°)=73","8°}`

3. `b/a=sin beta/sin alpha` ergibt: `b=6*(sin 73","8°)/(sin 60°) hArr \color {blue} {b=6","7}`

Alternativen: `b/c=sin beta/sin gamma` oder `b^2=a^2+c^2-2ac*sin beta`

4. `A=(a*c*sin beta)/2=14","4`

  

e. `\color {red} {b=5, c = 6, beta=40°}`

 1. `sin gamma/sin beta=c/b` ergibt `sin gamma=6/5*sin 40°`. Es folgt `\color {blue} {gamma=50","5°}` und `\color {green} {gamma_2=180°-50","5°=129","5°}`.

Beide Werte kommen in Betracht, da sie größer als `beta` sind (wegen `b>c` muss `beta>gamma` sein).

2. `\color {blue} {alpha=180°-(40°+50","5°)=89","5°}` und `\color {green} {alpha_2=180°-(40°+129","5°)=10","5°}`

3. `a/b=sin alpha/sin beta` ergibt `a=5*(sin 89,5°)/(sin 40°)`, also `\color {blue} {a=7,8}` sowie `a_2=5*(sin 10,5°)/(sin 40°)`, also `\color {green} {a_2=1,4}`

4. `A=(b*c*sin alpha)/2=15","0` und `A_2=(b*c*sin alpha_2)/2=2","7`

 

 

Icon 2 Sterne 30x30 Aufgabe 8 

In einem Dreieck sind `alpha=50°` und `c=5` gegeben. Bestimmen Sie die restlichen Stücke, wenn

  1. `a=7`
  2. `a=5`
  3. `a=4`
  4. `a=5*sin 50°`
  5. `a=3`

Führen Sie eine Dreieckskonstruktion mit den gegebenen Daten durch. Geben Sie Bedingungen für 0, 1 bzw. 2 Lösungen an.

Lösung

Weg 1 (Sinussatz)

Weg 2 (Cosinussatz)

Schritt1:

`sin gamma/sin alpha=c/a hArr gamma=sin^(-1)((c*sin alpha)/a)`

Schritt 2:

`beta=180°-(alpha+gamma)`

Schritt 3:

`b/sin beta=a/sin alpha hArr b=(a*sin beta)/sin alpha`

 

Schritt 1:

`a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha`

`hArr b^2-2c*cos alpha*b+c^2-a^2=0`

`hArr b_(1,2)=c*cos alpha+-sqrt((c*cos alpha)^2-c^2+a^2)`

Schritt 2:

`c^2=a^2+b^2-2ab*cos gamma`

`hArr gamma=cos^(-1)((a^2+b^2-c^2)/(2ab))`

Schritt 3:

`beta=180°-(alpha+gamma)`

 

Weg 1

Weg 2

  

a. `alpha=50°;c=5;a=7`

Schritt 1:

`gamma_1=sin^(-1)((5*sin 50°)/7)=33","2°`

`gamma_2=180°-33,2°=146","8°`  (entfällt wegen der Winkelsumme im Dreieck)

Schritt 2:

`beta=180°-(50°+33","2°)=96","8°`

Schritt 3:

`b=(7*sin 96,8°)/sin 50°=9","07`

a. `alpha=50°;c=5;a=7`

Schritt 1:

`b_(1,2)=5*cos 50°+-sqrt((5*cos 50°)^2-5^2+7^2)`

`b_(1,2)=3","21+-5","86`

`b=9","07` (2. Lösung entfällt)

Schritt 2:

`gamma=cos^(-1)((7^2+9","07^2-5^2)/(2*7*9","07))`

`=cos^(-1)((106","2649)/(126","98))=33","2°`

Schritt 3:

`beta=180°-(50°+33","2°)=96","8°`

b. `alpha=50°;c=5;a=5`

Schritt 1:

Wegen `a=c` ist das Dreieck gleichschenklig, also `gamma=50°`.

Schritt 2:

`beta=180°-(50°+50°)=80°`

Schritt 3:

`b=(5*sin 80°)/sin 50°=6","43`

  

b.`alpha=50°;c=5;a=5`

Schritt 1:

`b_(1,2)=5*cos 50°+-sqrt((5*cos 50°)^2-5^2+5^2)`

`b_(1,2)=3,21+-3,21`

`b=6","42` (2. Lösung entfällt)

Schritt 2:

Wegen `a=c` ist das Dreieck gleichschenklig, also `gamma=50°`.

Schritt 3:

`beta=180°-(50°+50°)=80°`

c. `alpha=50°;c=5;a=4`

Schritt 1:

`gamma_1=sin^(-1)((5*sin 50°)/4)=73","2°`

`gamma_2=180°-73,2°=106","8°` 

Schritt 2:

`beta_1=180°-(50°+73","2°)=56","8°`

`beta_2=180°-(50°+106,8°)=23","2°`

Schritt 3:

`b_1=(4*sin 56,8°)/sin 50°=4","37`

`b_2=(4*sin 23","2°)/sin 50°=2","06`

  

c. `alpha=50°;c=5;a=4`

Schritt 1:

`b_(1,2)=5*cos 50°+-sqrt((5*cos 50°)^2-5^2+4^2)`

`b_(1,2)=3,21+-1,16`

`b_1=4","37`

`b_2=2","05`

Schritt 2:

`gamma_1=cos^(-1)((4^2+4","37^2-5^2)/(2*4*4","37))`

`=cos^(-1)((10","0969)/(34","96))=73,2°`

`gamma_2=cos^(-1)((4^2+2","05^2-5^2)/(2*4*2","05))`

`=cos^(-1)((-4","7975)/(16","4))=107°`

Schritt 3:

`beta_1=180°-(50°+73","2°)=56,8°`

`beta_2=180°-(50°+107°)=23°`

d. `alpha=50°;c=5;a=5*sin 50°`

Schritt 1:

`gamma=sin^(-1)((5*sin 50°)/(5*sin 50°))=sin^(-1)(1)=90°`

Alternativ:

Da `a=c*sin alpha hArr sin alpha=a/c`, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c. Also gilt `gamma=90°`.

Schritt 2:

`beta=180°-(50°+90°)=40°`

Schritt 3:

`b=5*sin 40°=3","2` (rechtwinkliges Dreieck)

  

d. `alpha=50°;c=5;a=5*sin 50°`

Schritt 1:

`b_(1,2)=5*cos 50°+-sqrt((5*cos 50°)^2-25+(5*sin 50°)^2)`

`b_(1,2)=5*cos 50°+-0=3","2`

Nebenrechnung:

`sqrt((5*cos50°)^2-25+(5*sin50°)^2)`

`=sqrt(25(cos 50°^2+sin 50°^2)-25)=0`

Schritt 2:

Da `a^2+b^2-c^2=(5*sin50°)^2+(5*cos 50°)^2-25=0` folgt:

`gamma=cos^(-1) 0=90°`

Alternativ:

Da `a=c*sin alpha hArr sin alpha=a/c`, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c. Also gilt `gamma=90°`.

Schritt 3:

`beta=180°-(50°+90°)=40°`

  

e. `alpha=50°;c=5;a=3`

Schritt 1:

`gamma_1=sin^(-1)((5*sin 50°)/3)`

keine Lösung

  

e. `alpha=50°;c=5;a=3`

Schritt 1:

`b_(1,2)=5*cos 50°+-sqrt((5*cos 50°)^2-5^2+3^2)`

`b_(1,2)=3,21+-sqrt(-5","67)`

keine Lösung

Konstruktionsweg: Zeichnen der Seite c, Antragen des Winkels α, Zeichnen eines Kreises um B mit dem Radius a.

Keine Lösung, falls `a<c*sin alpha`

Eine Lösung, falls `a=c*sin alpha` oder `a>=c`

Zwei Lösungen, falls `c*sin alpha < a< c`

Aufgabe 9

`sin alpha/sin beta=a/b`

Stellen Sie die Formel nach `alpha=...,beta=...,a=...` und `b=...` um.

Quelle: pixabay.com

Lösung

1. `sin alpha/sin beta=a/b hArr sin alpha=(a*sin beta)/b hArr alpha =sin^(-1)((a*sin beta)/b)`

 

2. `sin alpha/sin beta=a/b hArr sin beta/sin alpha=b/a`

`hArr sin beta=(b*sin alpha)/a hArr beta=sin^(-1)((b*sin alpha)/a)`

 

3. `sin alpha/sin beta=a/b hArr a=(b*sin alpha)/sin beta`

 

4. `sin alpha/sin beta=a/b hArr sin beta/sin alpha=b/a`

`hArr b=(a*sin beta)/sin alpha`

Aufgabe 10

`a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha`

Stellen Sie die Formel nach `alpha=...,a=...,b=...` und `c=...` um.

Eine Untersuchung, unter welchen Bedingungen auftretende Wurzeln existieren, ist nicht erforderlich.

Quelle: pixabay.com

Lösung

1. `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha`

`hArr 2bc*cos alpha=b^2+c^2-a^2`

`hArr alpha=cos^(-1)((b^2+c^2-a^2)/(2bc))`

 

2. `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha` 

`rArr a=sqrt(b^2+c^2-2bc*cos alpha)`  (negative Wurzel entfällt)

 

3. `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha` 

`hArr b^2-2c*cos(alpha)*b+c^2-a^2=0`  (Quadratische Gleichung mit `p=-2c*cos alpha` und `q=c^2-a^2`)

`hArr b_(1,2)=c*cos alpha+-sqrt((c*cos alpha)^2-c^2+a^2)`

 

4. Analog folgt: `c_(1,2)=b*cos alpha+-sqrt((b*cos alpha)^2-b^2+a^2)`

Anmerkung:

Die Formeln 3. und 4. wird man in der Regel nicht verwenden, da sich für eine entsprechende Berechnung der Sinussatz anbietet.

Aufgabe 11
1.Spalte 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin 0 0,5 `sqrt(2)/2` `sqrt(3)/2` 1 `sqrt(3)/2`  `sqrt(2)/2`  0,5  0
cos 1 `sqrt(3)/2` `sqrt(2)/2` 0,5 0 -0,5  `-sqrt(2)/2` `-sqrt(3)/2`  -1
tan 0 `sqrt(3)/3` 1 `sqrt(3)` ∞  `-sqrt(3)`  -1 `-sqrt(3)/3`  0

Beweisen bzw. begründen Sie die Werte in der Tabelle.

Lösung

Für die Winkel 0° bis 90° siehe hier - Aufgabe 13.

Die Werte für die Winkel von 120° bis 180° folgen aus den Gleichungen:

`sin(180°-alpha)=sin(alpha)`  und `cos(180°-alpha)=-cos(alpha)` sowie `tan(180°-alpha)=-tan(alpha)`

Beispiele:

`sin(120°)=sin(180°-60°)=sin(60°)=sqrt(3)/2`

`cos(135°)=cos(180°-45°)=-cos(45°)=-sqrt(2)/2`

`tan(150°)=tan(180°-30°)=-tan(30°)=-sqrt(3)/3`

Aufgabe 12

Beweisen Sie den Sinussatz für ein spitzwinkliges Dreieck.

Betrachten Sie die durch Einzeichnen einer Höhe entstehenden rechtwinkligen Dreiecke

 Lösung

Im linken Teildreieck gilt:

`sin alpha=h_c/b hArr h_c=b*sin alpha`

Im rechten Teildreieck gilt:

`sin beta=h_c/a hArr h_c=a*sin beta`

Gleichsetzen ergibt:

`b*sin alpha=a*sin beta`

`hArr sin alpha/sin beta=a/b`

Analog ergeben sich die anderen Teile des Sinussatzes mit den Höhen `h_a` und `h_b`.

Aufgabe 13

Gegeben ist ein Dreieck mit dem stumpfen Winkel α. Bringen Sie die Beweisschritte für einen Sinussatz in die richtige Reihenfolge und kommentieren Sie jeden Rechenschritt.

sin α/sin β = a/b

sin(180° - α)/sin β = a/b

a·sin β = b·sin(180° - α)

sin β = hc/a ⇔ hc = a·sin β und sin(180° - α) = hc/b ⇔ hc = b·sin(180° - α)

  

Lösung

`sin beta = h_c/a hArr h_c= a*sin beta` und

`sin(180° - alpha) = h_c/b hArr h_c= b*sin(180° - alpha)`

`a*sin beta = b*sin(180° - alpha)`

`sin(180° - alpha)/sin beta = a/b`

`sin alpha/sin beta = a/b`

Sinus-Definition in den beiden rechtwinkligen Dreiecken und

jeweils Freistellen nach `h_c`

Die rechten Terme wurden gleichgesetzt.

Durch `b` und durch `sin beta` wurde dividiert.

`sin(180°-alpha)=sin alpha` wurde angewandt.

Aufgabe 14

Beweisen Sie den Cosinussatz für ein spitzwinkliges Dreieck.

Betrachten Sie die durch Einzeichnen einer Höhe entstehenden rechtwinkligen Dreiecke

 

Lösung

Im linken Teildreieck gilt:

`b^2=h_c^2+c_1^2 hArr h_c^2=b^2-c_1^2`

Im rechten Teildreieck gilt:

`a^2=h_c^2+c_2^2 hArr h_c^2=a^2-c_2^2`

Gleichsetzen ergibt:

`b^2-c_1^2=a^2-c_2^2`

Ersetzt man `c_2` durch `c-c_1`, so folgt:

`b^2-c_1^2=a^2-(c-c_1)^2`

`hArr b^2-c_1^2=a^2-c^2+2c*c_1-c_1^2`

`hArr a^2=b^2+c^2-2c*c_1` (*)

Im linken Teildreieck gilt:

`cos alpha=c_1/b hArr c_1=b*cos alpha`

Einsetzen in (*) ergibt:

`a^2=b^2+c^2-2c*b*cos alpha`

Analog ergeben sich die anderen Teile des Cosinussatzes mit den Höhen `h_a` und `h_b`.

Aufgabe 15

Gegeben ist ein Dreieck mit dem stumpfen Winkel α. Es soll der Cosinussatz mit dem Winkel α bewiesen werden. Bringen Sie die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge und kommentieren Sie jeden Rechenschritt.

a2 - c2 - 2·c·d - d2 = b2 - d2

a2 = b2 + c2 + 2·c·d

hc2 = b2 - d2 und hc2 = a2 - (c + d)2

a2 = b2 + c2 + 2·c·b·cos(180° - α)

a2 - (c + d)2 = b2 - d2

a2 - c2 - 2·c·d  = b2

a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos α

  

 

Lösung

`h_c^2 = b^2 - d^2` und `h_c^2 = a^2 - (c + d)^2`

`a^2 - (c + d)^2 = b^2 - d^2`

`a^2 - c^2 - 2*c*d - d^2 = b^2 - d^2`

`a^2 - c^2 - 2*c*d  = b^2`

`a^2= b^2+ c^2+ 2*c*d`

`a^2= b^2+ c^2 + 2*c*b*cos(180° - alpha)`

`a^2= b^2+ c^2- 2*b*c*cos alpha`

 Satz des Pythagoras in den beiden rechtwinkligen Dreiecken

Die rechten Terme wurden gleichgesetzt.

Die Klammern wurden auflösen.

`d^2` wurde auf beiden Seiten addiert.

Nach `a^2` wurde freigestellt.

`cos (180°-alpha)=d/b`wurde angewandt.

`-cos(180°-alpha)=cos alpha` wurde angewandt.

 

Icon 2 Sterne 30x30 Aufgabe 16

Gegeben ist ein Dreieck mit festen Seitengrößen a und b und einem variablen Winkel `gamma`. Der nebenstehende Cosinussatz ist für `0° < gamma < 180°` gültig. Machen Sie - evtl. durch Sizzen - plausibel, dass der cosinus für stumpfe Winkel einen negativen Wert haben muss.

Lösung

Im Dreieck A2B2C ist der Winkel `gamma` bei C ein rechter Winkel. Also gilt in diesem Dreieck nach dem Satz des Pythagoras `c^2=a^2+b^2`.

Verkleinert man nun `gamma`, so wird `c` und damit auch `c^2` kleiner. Da `cos gamma` für spitze Winkel positiv ist, ist der Ausdruck `a^2+b^2-2ab*cos gamma` kleiner als `a^2+b^2`.

Vergrößert man hingegen `gamma` zu einem stumpfen Winkel, so wird `c` und damit auch `c^2` größer, d.h. `-2ab*cos gamma` muss positiv sein. Dies ist der Fall, wenn der cosinus für einen stunpfen Winkel negativ ist.

Icon 2 Sterne 30x30 Aufgabe 17 

Gegeben sind die Seiten a, b und c.

  1. Notieren Sie eine Bedingung mit a, b und c, welche die Art des Dreiecks angibt.
  2. Entscheiden Sie, ob die 3 Seiten ein spitz-, recht- oder stumpfwinkliges Dreieck oder gar kein Dreieck bilden.

    a.

    a = 5, b = 6, c = 3

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    b.

    a = 5, b= 3, c = 4

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    c.

    a=5, b= 6, c = 10

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    d.

    a = 7, b = 3, c = 2

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    e.

    a = 7, b = 4, c = 3

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    f.

    a= 5, b = 5, c = 7

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    g.

    a = 5, b = 5, c = √50

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    h.

    a= 10, b= 5, c = 7

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    i.

    a= 4, b= 4, c= 4

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck
     

Lösung

a.

Mithilfe des Cosinus-Satzes lässt sich ein Winkel berechnen, wenn die drei Seiten gegeben sind:

`a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha hArr alpha=cos^(-1)((b^2+c^2-a^2)/(2bc))`

Analoge Gleichungen gelten für die anderen Winkel.

Da in einem Dreieck der größte Winkel der größten Seite gegenüberliegt, reicht es, diesen Winkel zu betrachten. Ist dieser Winkel ein spitzer/rechter/stumpfer Winkel, so ist das Dreieck spitzwinklig/rechtwinklig/stumpfwinklig.

b.

a.

`beta=93,8°`

  

b.

`alpha=90°`

  

c.

`gamma=130,5°`

  

d.

`(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-3`

`alpha` existiert nicht.

 

  

e.

`(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1`

`alpha=180°`

  

f.

`gamma=88,9°`

g.

`gamma=90°`

  

h.

`alpha=111,8°`

  

i.

Es liegt ein gleichseitiges Dreieck vor.

  

Aufgabe 18 

Berechnen Sie die Länge der beiden Diagonalen des Drachenvierecks in nebenstehendem Bild.

Lösung

1. Bestimmung der Diagonalen e=|BD|:

`e^2=9^2+5^2-2*9*5*cos 95° hArr e^2=113","84`

`e=10","67`

2. Bestimmung des Winkels `beta` im Dreieck ABD:

`sin beta/5=(sin 95°)/(10","67) hArr beta=27","83°`

Die 2. Lösung `152","17°` entfällt wegen des Winkelsummensatzes im Dreieck.

Alternativ:

`5^2=9^2+10","67^2-2*9*10","67*cos beta`

3. Bestimmung der Strecken AM:

`sin 27,83°=|AM|/9 hArr |AM|=4","2`

4. Bestimmung der Diagonalen f=|AC|:

`f=|AC|=2*|AM|=8","4`

Aufgabe 19 

Ein Grundstück wird wie im Bild von drei Wegen begrenzt. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

Lösung

1. Bestimmung des Winkels `alpha`, welcher dem Weg der Länge 30 gegenüberliegt:

`30^2=25^2+22^2-2*25*22*cos alpha hArr cos alpha=0","19`

Es folgt `alpha=79°`

2. Verwendung der Formel `A=(b*c*sin alpha)/2`:

`A=(25*22*sin 79°)/2=269","9`

Aufgabe 20 

Ein Quader mit den Kantenlängen 6, 4 und 3 wird - wie im Bild dargestellt - durchgeschnitten. Berechnen Sie den Inhalt der Schnittfläche.

Lösung

Zunächst werden die Seiten der Schnittfläche mithilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt:

`|AC|=sqrt(6^2+3^2)=sqrt(45)`

`|CH|=sqrt(6^2+4^2)=sqrt(52)`

`|HA|=sqrt(3^2+4^2)=5`

Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks gilt `A=(g*h)/2`, wobei `g=|AC|` gewählt wird.

Die zugehörige Höhe h teilt das Dreieck ACH in 2 rechtwinklige Teildreieck. Im linken Teildreieck gilt:

`sin alpha=h/|HA| hArr h=5*sin alpha`, wobei `alpha` der Winkel bei A ist.

Somit ergibt sich `A=(sqrt(45)*5*sin alpha)/2`.

Der Winkel `alpha` wird mithilfe des Cosinussatzes bestimmt: `|CH|^2=|HA|^2+|AC|^2-2*|HA|*|AC|*cos alpha`

Einsetzen der bekannten Werte ergibt:

`52=25+45-2*5*sqrt(45)*cos alpha`

`hArr cos alpha=0,2683`

`hArr alpha=74,44°`

Für den Flächeninhalt A folgt nun `A=(sqrt(45)*5*sin 74","44°)/2=16,16`.

Aufgabe 21

Camper wollen aus Stangen ein Dreibein für ihre Kochstelle bauen. Die Stangen haben die Länge a = 3 m, b = 2,40 m und c = 2,20 m. Die Grundfläche des Dreibeins soll ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge d = 2,00 m bilden. Das Dreibein steht nur dann stabil, wenn alle Seitendreiecke spitzwinklig sind.

Lösung

Ein Dreieck ist spitzwinklig, wenn der größte Winkel spitzwinklig ist. Der größte Winkel liegt der größten Seite gegenüber.

1. Vorderes Dreieck:

`2","4^2=2^2+2","2^2-2*2*2","2*cos alpha hArr cos alpha=0,35 hArr alpha=69","5°`

2. Linkes Dreieck:

`3^2=2^2+2","2^2-2*2*2","2*cos beta hArr cos beta=-0","018 hArr beta=91","0°`

3. Rechtes Dreieck:

`3^2=2^2+2","4^2-2*2*2","4*cos gamma hArr beta=0","079 hArr beta=85","5°`

Da nicht alle Seitendreiecke spitzwinklig sind, steht das Dreibein nicht stabil.

  

Aufgabe 22

Text und Bild aus: www.milzners.de

Eine Metallstange mit der Länge s = 90 cm ist als Halterung eines Pendels an einer Wand befestigt (siehe Skizze).
Der Winkel zwischen Wand und Stange beträgt ε = 35°. Am Ende D der Stange ist ein Pendel der Länge p = 80 cm befestigt. Das Pendel schwingt so, dass die Umkehrpunkte U1 und U2 auf einer Höhe mit dem Fußpunkt F der Metallstange liegen.

  1. Welchen Winkel α bildet das Pendel in den Umkehrpunkten jeweils mit der Metallstange am Punkt D.
  2. Wie weit ist der äußere Umkehrpunkt U1 von der Wand entfernt?

Lösung

Betrachtet wird das Dreieck U1FD.

a.

1. Berechnung der Winkel `alpha_1` bei `U_1` und `alpha_2` bei `U_2`:

`sin alpha_1/(sin 55°)=90/80 hArr sin alpha_1=0","922`

Es folgt: `alpha_1=67","2°` und `alpha_2=180°-67","2°=112","8°`.

Damit ergeben sich die Winkel `180°-(55°+67","2°)=57","8°` und `180°-(55-112","8°)=12","2°` im Punkte D.

b.

`|U_1F|=sqrt(80^2+90^2-2*80*90*cos 57","8°)=82","6`

U1 ist 82,6 cm von der Wand entfernt.

Aufgabe 23 

Text und Bild aus: www.milzners.de

Zwischen den Punkten B1 und B2 soll eine Brücke über eine Schlucht gebaut werden. Hierzu wird auf einer Seite der Schlucht eine 450 m lange Strecke zwischen den Punkten S1 und S2 abgemessen. An S1 werden weiterhin die Winkel α1 = 75° und α2 = 35° sowie an S2 die Winkel β1 = 68° und β2 = 60° wie in der Skizze dargestellt gemessen. Alle Punkte befinden sich in einer horizontalen Ebene.

  1. Wie weit ist ein Aussichtsturm, der an Punkt S2 gebaut wird, vom Brückenanfang B1 entfernt?
  2. Welche Spannweite bzw. Länge hat die Brücke?

Lösung

a.

Im Dreieck S1B1S2 beträgt der Winkel bei B1 `180°-(35°+60°)=85°`.

Dann gilt: `|B_1S_2|/450=(sin 35°)/(sin 85°) hArr |B_1S_2|=259,1`

Der Aussichtsturm ist 259,1 m vom Brückenanfang B1 entfernt.

b.

Im Dreieck S1S2B2 beträgt der Winkel bie B2 `180°-(75°+68°)=37°`.

Dann gilt: `|S_2B_2|/450=(sin 75°)/(sin 37°) hArr |S_2B_2|=722,3`

Weiterhin gilt: `|B_1B_2|=sqrt(259","1^2+722","3^2-2*259","1*722","3*cos(60°+68°))=905","1`

Die Brücke hat eine Länge von 905,1 m.

 

 

 

 

 

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