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Startseite Vorkurs Trigonometrie Sinussatz, Kosinussatz
Startseite Vorkurs Trigonometrie Sinussatz, Kosinussatz Diese Seite wurde aktualisiert am 22.09.2023

Trigonometrie im beliebigen Dreieck (Sinussatz, Cosinussatz) - Aufgaben

 

Aufgabe 1  

Markieren Sie die korrekten Gleichungen

`sin 110°=sin 70°`

`sin 150°=0,5`

`sin alpha=sin (90°+alpha)`

`-1<=cos alpha <= 1`

`tan alpha >=0`

`cos 180°=-1`

 

Aufgabe 2 

Ordnen Sie richtig zu:

 

Aufgabe 3 

Markieren Sie die korrekten Gleichungen. Korrigieren Sie die fehlerhaften Terme der rechten Gleichungsseite.

1. `sin alpha/(sin beta_1)=c/d`

2. `e=(a*sin alpha)/sin delta_1`

3. `sin delta_2/(sin beta_2)=sin gamma/sin alpha`

4. `gamma=sin^(-1)((e*sin beta_2)/c)`

` 5.beta_1=sin^(-1)((e*sin alpha)/d)`

 

Aufgabe 4 

Markieren Sie die korrekten Gleichungen. Korrigieren Sie die fehlerhaften Terme der rechten Gleichungsseite.

1. `c^2=b^2+e^2-2be*cos beta_2`

2. `d^2=a^2+b^2-2ab*cos(beta_1+beta_2)`

3. `a=sqrt(d^2+e^2+2de*cos delta_1)`

4. `b=e+c-2ec*cos delta_2`

5. `e^2-a^2-d^2=-2ad*cos alpha`

6. `b^2=e^2+c^2`

 

Aufgabe 5

Markieren Sie die korrekten Gleichungen. Korrigieren Sie die fehlerhaften Terme der rechten Gleichungsseite.

1. `alpha=cos^(-1)((e^2-d^2-a^2)/(2ad))`

2. `gamma=(b^2+c^2+e^2)/(2bc)`

3. `cos beta_1=(e^2+a^2-d^2)/(2ea)`

4. `cos gamma=(b^2+c^2-e^2)/(2bc)`

5. `delta_2=cos^(-1)((e^2+c^2-b^2)/(2ec))`

 

Aufgabe 6 

Die einzelnen Sinus- ud Cosinussätze sowie der Winkelsummensatz seien wie folgt durchnummeriert:

  1. `sin alpha/sin beta = a/b`
  2. `sin alpha/sin gamma = a/c`
  3. `sin beta/sin gamma=b/c`
  4. `a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha`
  5. `b^2=a^2+c^2-2ac*cos beta`
  6. `c^2=a^2+b^2-2ab*cos gamma`

Gegeben sind jeweils 3 Stücke eines Dreiecks.  Markieren Sie die Sätze, die zur Berechnung der restlichen Dreiecksstücke als Erstes angewandt werden können - abgesehen vom Winkelsummensatz `alpha+beta+gamma=180°`.

Gegeben sind

`b,c,alpha`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`b,c,beta`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`b,c,gamma`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`a,b,c`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`c,alpha,beta`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`a,alpha,beta`

1

2

3

4

5

6

Gegegeben sind

`a,c,beta`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`a,b,gamma`

1

2

3

4

5

6

Gegeben sind

`a,c,alpha`

1

2

3

4

5

6

 

Aufgabe 7

Berechnen Sie die restlichen Stücke sowie den Flächeninhalt, wenn gegeben sind:

  1. 694 ]@]

    `alpha=40°, b=5, c=5`

    709
  2. 694 ]@]

    `beta=30°, gamma=70°, a=4`

    709
  3. 694 ]@]

    `a=6, b= 4, c = 3`

    709
  4. 694 ]@]

    `a=6,  c= 5, alpha=60°`

    709
  5. 694 ]@]

    `b=5, c = 6, beta=40°`

    709

 

Icon 2 Sterne 30x30 Aufgabe 8 

In einem Dreieck sind `alpha=50°` und `c=5` gegeben. Bestimmen Sie die restlichen Stücke, wenn

  1. 694 ]@]

    `a=7`

    709
  2. 694 ]@]

    `a=5`

    709
  3. 694 ]@]

    `a=4`

    709
  4. 694 ]@]

    `a=5*sin 50°`

    709
  5. 694 ]@]

    `a=3`

    709

Führen Sie eine Dreieckskonstruktion mit den gegebenen Daten durch. Geben Sie Bedingungen für 0, 1 bzw. 2 Lösungen an.

 

Aufgabe 9

`sin alpha/sin beta=a/b`

694 ]@]

Stellen Sie die Formel nach `alpha=...,beta=...,a=...` und `b=...` um.

709

Quelle: pixabay.com

 

Aufgabe 10

`a^2=b^2+c^2-2bc*cos alpha`

694 ]@]

Stellen Sie die Formel nach `alpha=...,a=...,b=...` und `c=...` um.

709

Eine Untersuchung, unter welchen Bedingungen auftretende Wurzeln existieren, ist nicht erforderlich.

Quelle: pixabay.com

 

Aufgabe 11
1.Spalte 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin 0 0,5 `sqrt(2)/2` `sqrt(3)/2` 1 `sqrt(3)/2`  `sqrt(2)/2`  0,5  0
cos 1 `sqrt(3)/2` `sqrt(2)/2` 0,5 0 -0,5  `-sqrt(2)/2` `-sqrt(3)/2`  -1
tan 0 `sqrt(3)/3` 1 `sqrt(3)` ∞  `-sqrt(3)`  -1 `-sqrt(3)/3`  0

Beweisen bzw. begründen Sie die Werte in der Tabelle.

 

Aufgabe 12

Beweisen Sie den Sinussatz für ein spitzwinkliges Dreieck.

Betrachten Sie die durch Einzeichnen einer Höhe entstehenden rechtwinkligen Dreiecke

 

Aufgabe 13

Gegeben ist ein Dreieck mit dem stumpfen Winkel α. Bringen Sie die Beweisschritte für einen Sinussatz in die richtige Reihenfolge und kommentieren Sie jeden Rechenschritt.

sin α/sin β = a/b

sin β = hc/a ⇔ hc = a·sin β und sin(180° - α) = hc/b ⇔ hc = b·sin(180° - α)

sin(180° - α)/sin β = a/b

a·sin β = b·sin(180° - α)

  

 

Aufgabe 14

Beweisen Sie den Cosinussatz für ein spitzwinkliges Dreieck.

Betrachten Sie die durch Einzeichnen einer Höhe entstehenden rechtwinkligen Dreiecke

 

 

Aufgabe 15

Gegeben ist ein Dreieck mit dem stumpfen Winkel α. Es soll der Cosinussatz mit dem Winkel α bewiesen werden. Bringen Sie die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge und kommentieren Sie jeden Rechenschritt.

a2 - (c + d)2 = b2 - d2

a2 - c2 - 2·c·d  = b2

a2 = b2 + c2 + 2·c·b·cos(180° - α)

a2 = b2 + c2 + 2·c·d

a2 - c2 - 2·c·d - d2 = b2 - d2

a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos α

hc2 = b2 - d2 und hc2 = a2 - (c + d)2

  

 

 

Icon 2 Sterne 30x30 Aufgabe 16

Gegeben ist ein Dreieck mit festen Seitengrößen a und b und einem variablen Winkel `gamma`. Der nebenstehende Cosinussatz ist für `0° < gamma < 180°` gültig. Machen Sie - evtl. durch Skizzen - plausibel, dass der cosinus für stumpfe Winkel einen negativen Wert haben muss.

 

Icon 2 Sterne 30x30 Aufgabe 17 

Gegeben sind die Seiten a, b und c.

  1. Notieren Sie eine Bedingung mit a, b und c, welche die Art des Dreiecks angibt.
  2. Entscheiden Sie, ob die 3 Seiten ein spitz-, recht- oder stumpfwinkliges Dreieck oder gar kein Dreieck bilden.

    a.

    a = 5, b = 6, c = 3

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    b.

    a = 5, b= 3, c = 4

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    c.

    a=5, b= 6, c = 10

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    d.

    a = 7, b = 3, c = 2

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    e.

    a = 7, b = 4, c = 3

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    f.

    a= 5, b = 5, c = 7

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    g.

    a = 5, b = 5, c = √50

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    h.

    a= 10, b= 5, c = 7

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck

    i.

    a= 4, b= 4, c= 4

    spitzwinklig

    rechtwinklig

    stumpfwinklig

    kein Dreieck
     

Aufgabe 18 

694 ]@]

Berechnen Sie die Länge der beiden Diagonalen des Drachenvierecks in nebenstehendem Bild.

709

 

Aufgabe 19 

694 ]@]

Ein Grundstück wird wie im Bild von drei Wegen begrenzt. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

709

 

Aufgabe 20 

694 ]@]

Ein Quader mit den Kantenlängen 6, 4 und 3 wird - wie im Bild dargestellt - durchgeschnitten. Berechnen Sie den Inhalt der Schnittfläche.

709

 

Aufgabe 21

Camper wollen aus Stangen ein Dreibein für ihre Kochstelle bauen. Die Stangen haben die Länge a = 3 m, b = 2,40 m und c = 2,20 m. Die Grundfläche des Dreibeins soll ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge d = 2,00 m bilden. Das Dreibein steht nur dann stabil, wenn alle Seitendreiecke spitzwinklig sind.

 

Aufgabe 22

Text und Bild aus: www.milzners.de

Eine Metallstange mit der Länge s = 90 cm ist als Halterung eines Pendels an einer Wand befestigt (siehe Skizze).
Der Winkel zwischen Wand und Stange beträgt ε = 35°. Am Ende D der Stange ist ein Pendel der Länge p = 80 cm befestigt. Das Pendel schwingt so, dass die Umkehrpunkte U1 und U2 auf einer Höhe mit dem Fußpunkt F der Metallstange liegen.

  1. 694 ]@]

    Welchen Winkel α bildet das Pendel in den Umkehrpunkten jeweils mit der Metallstange am Punkt D.

    709
  2. 694 ]@]

    Wie weit ist der äußere Umkehrpunkt U1 von der Wand entfernt?

    709

 

Aufgabe 23 

Text und Bild aus: www.milzners.de

Zwischen den Punkten B1 und B2 soll eine Brücke über eine Schlucht gebaut werden. Hierzu wird auf einer Seite der Schlucht eine 450 m lange Strecke zwischen den Punkten S1 und S2 abgemessen. An S1 werden weiterhin die Winkel α1 = 75° und α2 = 35° sowie an S2 die Winkel β1 = 68° und β2 = 60° wie in der Skizze dargestellt gemessen. Alle Punkte befinden sich in einer horizontalen Ebene.

  1. 694 ]@]

    Wie weit ist ein Aussichtsturm, der an Punkt S2 gebaut wird, vom Brückenanfang B1 entfernt?

    709
  2. 694 ]@]

    Welche Spannweite bzw. Länge hat die Brücke?

    709

 

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