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Startseite Qualifikationsphase Analysis LK: Funktionenscharen

LK: Funktionenscharen - Aufgaben 1

Innermathematische Aufgaben

Aufgabe I1

Untersuchen Sie die folgenden Funktionsscharen.

Bestimmen Sie dazu die Symmetrie, Nullstellen, relative Extrema, Wendepunkte und das Verhalten der Funktionen für `x-> +- oo`.

Bestimmen Sie auch - sofern möglich - die Graphen der Funktionen, auf denen die relativen Extrema und die Wendepunkte liegen.

`f(x)=(x-a)^2+2a a in RR`
`f(x)=x^2+ax a in RR`
`f(x)=x^3+ax a in RR`
`f(x)=x^4+ax^2 a in RR`

Aufgabe I2

Gegeben ist die ganzrationale Funktionenschar f_a mit f_a(x) = ax³ - ax² + x mit a > 0.

Bestimmen Sie die Werte von a, so dass f_a 1,2 bzw. 3 Nullstellen besitzt und geben Sie alle möglichen Nullstellen an.
Berechnen Sie die lokalen Extremwerte der Funktionenschar.
Analysieren Sie die Wendestellen der Funktionenschar.
Zusatzaufgabe
Geben Sie Bereiche im Koordinatensystem an, die von der Funktionenschar nicht erreicht werden.

Aufgabe I3

Gegeben ist die kleine Funktionenschar `f_a` durch

`f_a(x) = a^3*(x - 1/a)*(x + 1/a)` mit `a != 0`.

Beschreiben Sie das Verhalten der Funktionsgraphen abhängig von a und bestimmen Sie dabei Nullstellen und Extremwert.
Stellen Sie parallel dazu verschiedene Funktionsgraphen mit Hilfe von GeoGebra bzw. Ihrem GTR dar.
Berechnen Sie die Fläche des jeweiligen Dreiecks, das durch die Nullstellen und den Extremwert der `f_a` gebildet wird.
Vergleichen Sie diese Fläche mit der Gesamtfläche "unter" dem jeweiligen Funktionsgraphen im Intervall der beiden Nullstellen und bewerten Sie das Ergebnis.

Aufgabe A1

Die folgenden Funktionen modellieren das Wachstum von Wildkräutern:

`f_a (x) = 144/a^2 x^3 - 288/ax^2 + 144x` für `(1 ≤ a ≤ 3)`

stellt die jeweilige Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Monat dar. `(x <= a)`

Jede Pflanze besitzt demnach ein individuelles a für ihr Wachstum.

Fertigen Sie eine begleitende Skizze in einem Koordinatensystem für `a = 2` an.

Berechnen Sie allgemein (d.h. in Abhängigkeit von a) die Dauer des Wachstums und den Punkt des größten Wachstums. Entscheiden Sie, ob diese Punkte alle auf einer Geraden liegen. Begründen Sie die Beschränkung der x-Werte.
Entscheiden Sie, ob es im betrachteten Bereich Wendepunkte gibt, berechnen Sie sie und interpretieren Sie sie im Sachzusammenhang.

Aufgabe A2

Gegeben sind die reellen Funktionen `f_a` durch

`f_a(x) = ax*e^(-2x) (a > 0)`.

Diese Funktionen sind ein Modell für die Einleitung eines Fremdstoffes in ein Gewässer, wobei die Funktionswerte `f_a(x)` den momentanen Zufluss in m³ pro Stunde angeben und x die Zeit in Stunden angibt.

Der jeweils feste Parameter a ist ein Wert, der die Intensität der Einleitung beschreibt.

Untersuchen Sie das Verhalten dieser Funktionen abhängig von a und bestimmen Sie dabei alle wichtigen Punkte und geben das Verhalten für die Grenzen des Definitionsbereiches an.
Beschreiben Sie dabei kurz, welche Bedeutung diese Punkte innerhalb des Zuflussmodells haben.
Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktionen `f_0.5` und `f_3` im Intervall [0 ; 3] auch mit Hilfe der Ergebnisse aus a.
Erläutern Sie den Unterschied der Graphen aus der Sicht des ‚Einleitungsmodells’.
Zeigen Sie durch Anwendung von Integrationsregeln, dass `F_a(x) = -a*e^(-2x)*(x/2 + 1/4)` Stammfunktionen von `f_a` sind.
Berechnen Sie die Fläche unter den Kurven von `f_a` von 0 bis 1 und interpretieren Sie diese Fläche in dem Modell.
Bestimmen Sie die Gesamtfläche, die zwischen den Graphen von `f_a` und der positiven x-Achse liegt und beschreiben Sie den Wert der Flächengröße für das Modell.

Aufgabe A3

Bei der Herstellung von Enzymen spielen in der Biotechnologie Bakterien eine entscheidende Rolle. In den Anfängen der Biotechnologie ließen sich diese Enzyme mit Hilfe der Bakterien herstellen, bei denen sie natürlicherweise vorkommen.

Inzwischen ist es durch gentechnische Maßnahmen möglich Enzyme auch von ganz anderen Bakterien herstellen zu lassen.

Hierbei wählt man vor allem Bakterien, deren Vermehrungssicherheit und -geschwindigkeit sehr hoch ist.

Die Enzyme werden vor allem in der Medizin und der Nahrungsmittelindustrie als Katalysatoren biologischer Prozesse benötigt.

Die Abläufe der enzymproduzierenden Prozesse in den Bakterien sind stark von der Temperatur abhängig, niedrige Temperaturen verhindern oder verlangsamen viele biologische Prozesse, zu hohe Temperaturen zerstören z.B. Eiweißstrukturen.

Zur Darstellung dieser Temperaturabhängigkeit werden mathematische Funktionsmodelle genutzt um optimale Temperaturen für bestimmte von Stoffparametern abhängige Herstellungsprozesse zu berechnen.

Einen dieser Prozesse stellt das ADM1 dar, das durch Funktionsmodelle untersucht wird.

Diese Modelle sind normalerweise mit vier Parametern belegt, die die Temperaturabhängigkeiten beschreiben. (analog zur Bateman-Funktion bei der Aufnahme und dem Abbau von Fremdstoffen im Körper)

In einem vereinfachten Funktionenmodell soll diese Arbeitsweise der Modellbetrachtung hier erfolgen.

Grundlage des Modells bildet die Funktionenschar `f_a(x) = (60 - x)*e^(a*(x-60)) [a > 0]`.

Dabei bildet der Wert 60 (in °C ) das Verhalten des biologischen Prozesses und der Parameter a die Stoffkonstante des untersuchten Enzyms ab.

Die Variable x gibt den Temperaturverlauf, der Funktionswert `f_a(x)` die Wachstumsrate des Bakterienstammes an.

Die Wachstumsrate von den hier verwendeten Bakterienstämmem kann bei 0° aus Erfahrungswerten maximal 0,5 betragen.
Berechnen mit Hilfe dieser Grundlage einen Wertebereich für die Wahl von a.
Stellen Sie die Graphen der Funktionen `f_0.1 | f_0.2 | f_0.3` graphisch dar.
Berechnen Sie die Stelle der Temperatur, an der die Wachstumsrate des Bakterienstammes maximal ist.
Berechnen Sie die Temperaturen, an denen der Zuwachs der Wachstumsrate für den Bakterienstamm maximal bzw. minimal ist.

Quelle:

Auszug aus der o.a. Dissertation (2011):

Seiten I / (19)

Dissertationstext

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