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Qualifikationsphase
Analysis
LK: Funktionenscharen
Kurzfassung: `(u*v)' = u'v+v'u`
LK: Funktionenscharen - Basisaufgaben
 Aufgabe B1 |
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Bestimmen Sie die geforderten Ableitungsfunktionen der jeweils vorgegebenen Funktionenschar mit dem Scharparameter `a in RR`.
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a. `f_a(x) = a^2x^3 - a^3x^2 + a`
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b. `f_a(x) = -1/ax^2 + a^2x` `a!=0`
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c. `f_a(x) = e^(-ax) - a/2x^2`
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d. `f_a(x) = (ax)^2 - e^(-2x)`
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| Aufgabe B2 |
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Berechnen Sie die jeweils die 1. und 2.Ableitungen der vorgegebenen Funktionenscharen mit dem Scharparameter `a in RR`.
- `f_a(x) = (2x - 3a)*e^(-x)`
- `f_a(x) = a^2x*e^(a^2x)`
- `f_a(x) = (x - a)^2*e^(a-x)`
Nur zur Erinnerung: Produktregel |
| Aufgabe B3 |
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Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionenscharen mit dem Scharparameter `a in RR`.
- `f_a(x) = a^2x^2 - ax`
- `f_a(x) = ax^3 - 3a^2x^2 + a^2x`
- `f_a(x) = (x^2 - a)*e^(ax)`
- `f_a(x) = (a/2x^3 - a^2x)*e^(-3x)`
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| Aufgabe B4 |
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Bestimmen Sie Art und Wert der lokalen Extremstellen.
- `f_a(x) = 0.5ax^2 - 2ax + a` `a!=0`
- `f_a(x) = a^2x^3 - a^3x^2` `a!= 0`
- `f_a(x) = (x - a)*e^-x`
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| Aufgabe B5 |
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Ordnen Sie bei den gegebenen Funktionenscharen jeweils den entsprechenden Scharparameter aus der Liste den vorgegebenen Graphen zu.
- `f_a(x) = 1/ax^2 - a` a ∈ { -4 | -1 | -0.5 | 0.2 | 1 | 3 }
- `f_a(x) = x*e^(-ax)` a ∈ { -2 | -0.4 | 0 | 0.6 | 1 | 3 }
- `f_a(x) = 1/a*sin(ax) + 1/a` a ∈ { -3 | -1 | -0.5 | 1 | 2 | 5 }
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| Aufgabe B6 |
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Berechnen Sie die Werte/den Wert des Scharparameters a für die vorgegebenen Funktionenscharen, sodass die angegebene Eigenschaft zutrifft.
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a. `f_a(x) = -ax^2 + 1/ax` `(a !=0)`
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Scheitelpunkt in x = 2
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b. `f_a(x) = ax^3 + (x - 1)^2`
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`f_a^'(1) = 0` |
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c. `f_a(x) = ax^3 - x^2 + x` `(a !=0)`
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Es gibt genau eine Nullstelle.
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d. `f_a(x) = e^(-a^2x) + a`
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`f_a(0) < 4`
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e. `f_a(x) = (a/2 + 2x)^3`
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`f_a^('')(5) = 0`
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f. `f_a(x) = ax^2 - a^2x` `(a !=0)`
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Die Größe der Fläche zwischen den Nullstellen "unter" dem Graphen beträgt `8/3`.
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g. `f_a(x) = (x - a)^2 + ax`
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Der Scheitelpunkt hat den y-Wert 4.
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