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 Aufgabe 1 :   Wie kann man aus Temperaturdaten Klimatrends erkennen? 

Werden Wetterdaten (wie z.B. die Temperatur) über einen längeren Zeitraum (von mindestens 30 Jahren) beobachtet, so kann man daraus Klimatrends ableiten. 

Hier werden Temperaturanomalien (Abweichungen) vom Mittelwert der Jahre 1881 - 1910 (7,8 °C) betrachtet. Der Deutsche Wetterdienst (DWD) benutzt diesen Zeitraum, weil dafür die frühesten Wetterdaten bekannt sind. Die GeoGebra-App temp_d_mit.ggb (siehe unten) enthält schon die Daten und gängige Trendlinien. 

Der DWD setzte bis 2025 auf lineare Trendgeraden und/oder gleitende 30-Jahre-Mittelwerte.

  1. Oben wird angegeben, warum der Vergleichszeitraum gewählt wurde. Man hätte aber genauso das Intervall von 1961 bis 1990 nehmen können. Hier lag der Durchschnitt um 0,43 °C über dem Durchschnitt der Jahre 1881 bis 1910. Geben Sie an, wie sich die Punktewolke verändern würde, wenn der Zeitraum von 1961 - 1990 als Vergleich gewählt würde. 
  2. Schauen sie sich die Entwicklung der Jahresdurchschnittstemperaturen in Deutschland (GeoGebra-APP unten) an. Geben Sie eine Antwort auf die häufig geäußerte Meinung "Hohe Temperaturen sind doch nichts besonderes, hatten wir immer schon".  
  3. Blenden Sie die lineare Trendgerade über den gesamten Zeitraum ein. Begründen Sie, warum diese die Entwicklungen der letzen Jahrzehnte nicht mehr gut beschreibt. Geben Sie an, um wie viel Grad Celcius sich die Jahresdurchschnittstemperaturen nach diesem Modell im Vergleich mit dem Referenzintervall [1881-1910] bis 2030 erhöhen werden. 
  4. Klären Sie, wie der gleitende Mittelwert mathematisch definiert ist. Leiten Sie daraus ab, warum die gleitende Mittelwertlinie nicht über das gesamte Zeitintervall existiert. Untersuchen Sie dann ebenfalls, ob diese Trendlinie die Entwicklung gut beschreibt. 
  5.  Untersuchen Sie Varianten der linearen Trendgerade (kleinere Intervalle). 

    1. Man kann die Einteilung der Daten auf zwei Zeitintervalle per Augenmaß vornehmen. Schauen Sie sich z.B. die zeitliche Entwicklung der gleitenden Mittelwerte an und legen fest, wann sich der Trend grundlegend ändert. Teilen Sie die Zeitachse auf dieser Basis in zwei Intervalle ein und berechnen Sie eine Prognose, um wie viel Grad die jährliche Durchschnittstemperatur bis 2030 - im Vergleich mit 1881 - 1910 - steigen könnte.
    2. Besser ist es, die Aufteilung so vorzunehmen, dass in beiden Zeitintervallen möglichst gute Anpassungen an die Datenwolke vorliegen. Der Indikator dafür ist der   Korrelationskoeffizient . Bestimmen Sie mit Hilfe des Schiebereglers die beiden besten Varianten und berechnen Sie jeweils die zu erwartende Temperaturerhöhung für 2030. 

        temp_d_2trendstrahl_v2.ggb 


    Die Originalberechnungen finden Sie hier zum Herunterladen: temp_D_30.xlsx
  6. Untersuchen Sie, ob andere Trendfunktionen bessere Ergebnise liefern. Hier finden Sie die Daten als GeoGebra- oder Excel-Datei zum Herunterladen. 

 

Bild von Marcus Friedrich auf Pixabay

 

  temp_d_mit.ggb 

 

 

Werden Wetterdaten (wie z.B. die Temperatur) über einen längeren Zeitraum (von mindestens 30 Jahren) beobachtet, so kann man daraus Klimatrends ableiten. 

Hier werden Temperaturanomalien (Abweichungen) vom Mittelwert der Jahre 1881 - 1910 (7,8 °C) betrachtet. Der Deutsche Wetterdienst (DWD) benutzt diesen Zeitraum, weil dafür die frühesten Wetterdaten bekannt sind. Die GeoGebra-App temp_d_mit.ggb (siehe unten) enthält schon die Daten und gängige Trendlinien. 

Der DWD setzte bis 2025 auf lineare Trendgeraden und/oder gleitende 30-Jahre-Mittelwerte.

  1. Oben wird angegeben, warum der Vergleichszeitraum gewählt wurde. Man hätte aber genauso das Intervall von 1961 bis 1990 nehmen können. Hier lag der Durchschnitt um 0,43° über dem Durchschnitt der Jahre 1881 bis 1910. Geben Sie an, wie sich die Punktewolke verändern würde, wenn der Zeitraum von 1961 - 1990 als Vergleich gewählt würde. 
  2. Schauen sie sich die Entwicklung der Jahresdurchschnittstemperaturen in Deutschland (GeoGebra-APP unten) an. Geben Sie eine Antwort auf die häufig geäußerte Meinung "Hohe Temperaturen sind doch nichts besonderes, hatten wir immer schon".  
  3. Blenden Sie die lineare Trendgerade über den gesamten Zeitraum ein. Begründen Sie, warum diese die Entwicklungen der letzen Jahrzehnte nicht mehr gut beschreibt. Geben Sie an, um wie viel Grad Celcius sich die Jahresdurchschnittstemperaturen nach diesem Modell im Vergleich mit dem Referenzintervall [1881-1910] bis 2030 erhöhen werden. 
  4. Klären Sie, wie der gleitende Mittelwert mathematisch definiert ist. Leiten Sie daraus ab, warum die gleitende Mittelwertlinie nicht über das gesamte Zeitintervall existiert. Untersuchen Sie dann ebenfalls, ob diese Trendlinie die Entwicklung gut beschreibt. 
  5.  Untersuchen Sie Varianten der linearen Trendgerade (kleinere Intervalle). 

    1. Man kann die Einteilung der Daten auf zwei Zeitintervalle per Augenmaß vornehmen. Schauen Sie sich z.B. die zeitliche Entwicklung der gleitenden Mittelwerte an und legen fest, wann sich der Trend grundlegend ändert. Teilen Sie die Zeitachse auf dieser Basis in zwei Intervalle ein und berechnen Sie eine Prognose, um wie viel Grad die jährliche Durchschnittstemperatur bis 2030 - im Vergleich mit 1881 - 1910 - steigen könnte.
    2. Besser ist es, die Aufteilung so vorzunehmen, dass in beiden Zeitintervallen möglichst gute Anpassungen an die Datenwolke vorliegen. Der Indikator dafür ist der   Korrelationskoeffizient . Bestimmen Sie mit Hilfe des Schiebereglers die beiden besten Varianten und berechnen Sie jeweils die zu erwartende Temperaturerhöhung für 2030. 

        temp_d_2trendstrahl_v2.ggb 


    Die Originalberechnungen finden Sie hier zum Herunterladen: temp_D_30.xlsx
  6. Untersuchen Sie, ob andere Trendfunktionen bessere Ergebnise liefern. Hier finden Sie die Daten als GeoGebra- oder Excel-Datei zum Herunterladen. 

 

Bild von Marcus Friedrich auf Pixabay

zu a.

Damit läge der Durchschnitt zwischen 1961 und 1990 bei 8,23 °C und die Anomalien (Abweichungen) werden alle um 0,43 °C kleiner. Die gesamte Punktewolke verschiebt sich daher um 0,43 Einheiten nach unten. 

zu b.

Ältere Menschen haben z.B. in Erinnerung, dass 1959 ein sehr heißer Sommer war. Die Durchschnittstemperaturen lagen 1934 sogar noch darüber. Damals waren das Ausnahmen, heute liegen allein 18 Jahre seit dem Jahr 2000 über dem Spitzenwert von 1934. Diese Meinungsäußerung wird also durch die Daten widerlegt. 

zu c.

Der Verlauf der linearen Trendgerade zeigt deutlich, dass die Datenwolke mindestens seit den letzten 25 Jahren durch sie nicht mehr repräsentiert wird. 

Setzt man 2024 in die Geradengleichung y = 0,013 x - 24,7968 ein, so ergäbe sich daraus eine Temperaturanomalie von etwa 1,52 °C, bis 2030 wären es dann etwa 1,59 °C. 

 

zu d.

Beim gleitenden Mittelwert z.B. über 30 Jahre wird zunächst der arithmetische Mittelwert der Daten im ersten Zeitintervall [1881,1910] berechnet. Die Zahl wird dann dem linken Rand, der Mitte oder dem rechten Rand des Intervalls zugeordnet. Hier ist es die Mitte, weil der erste Punkt des gleitenden Mittelwertes (orange) erst 1895 auftaucht und der letzte Punkt dem Jahr 2009 zugeordnet ist. 

Dann verschiebt man das Intervall um 1 Jahr weiter, berechnet wieder das arithmetische Mittel usw. 

Der letzte Datenpunkt (2009;1,6838) bezieht sich also auf das Zeitintervall [1995 , 2024]. Das arithmetische Mittel für 2009 liegt als um 1,6838 °C über dem Mittel von [1881,1910]. 

Man sieht schon, dass diese Trendlinie für eine Abschätzung der aktuellen Situation ungeeignet ist, weil sie immer 15 Jahre hinterherhinkt. 

zu e. 

 i.

Etwa ab 1980 ändert sich der Trend beim gleitenden Mittelwert. Wählt man also in der nachfolgenden APP per Schieberegler das Jahr 1979 aus, so erhält man ab 1980 die Trendgerade y = 0,0487x - 96,1634 und für 2030 einen Schätzwert von etwa 2,70 °C. 

ii.

Für das Jahr 1954 erreicht der erste  Regressionskoeffizient den höchsten Wert (0,4025), während gleichzeitig der zweite mit 0,7325 auch relativ hoch ist. Die zweite Regressionsgerade lautet: y = 0,034x - 66,7424.

Für das Jahr 1962 erreicht der zweite Regressionskoeffizient den höchsten Wert (0,7525), während gleichzeitig der erste mit 0,3463 auch relativ hoch ist. Die zweite Regressionsgerade lautet: y = 0,0395x - 77,6572

Setzt man jeweils 2030 in die zweite Regressionsgerade ein, so erhält man eine Temperaturerhöhung im Vergleich mit den Mittelwert von [1881,1910] von etwa 2,28 °C bzw. 2,53 °C. Zum Vergleich: Der Deutsche Wetterdienst meldet, dass wir schon 2024 rund 2,5 °C über dem Vergleichszeitraum liegen. Diese Modellierung ist also auch noch nicht ideal. 

Bei den 5 Trendgeraden jeweils über 30-Jahres-Intervalle sieht man deutlich, dass die Durchschnittstemperaturen etwa ab dem Intervall [1971-2000] deutlich zu steigen beginnen: In diesen 30 Jahren sind es etwa 0,35 °C pro Jahrzehnt, in diesem Jahrtausend dann schon um etwa 0,63 °C pro 10 Jahre. Für 2030 (erst dann wäre das letzte Intervall auch 30 Jahre lang) ergibt sich eine Prognose von fast 3 °C. Das spiegelt die aktuellen Daten schon eher wider. 

zu f.

Einen exponentiellen Trend kann man nicht berechnen, weil die Datenpunkte auch im negativen Bereich liegen. Man kann aber alle Punkte um zwei Einheiten nach oben verschieben, dann die exponentielle Trendlinie bestimmen und diese anschließend wieder um zwei Einheiten nach unten schieben. So erhält man `e(x) = 0.0002 * e^(0.0047*x)-2`. Allerdings beschreibt diese Funktion die Datenlage fast ebenso schlecht wie die lineare Funktion über die gesamte Datenwolke. 

Eine fast identische Funktion erhält man für die Potenz-Trendfunktion. Auch hier muss man die Daten zunächst nach oben verschieben. 

Im folgenden noch zwei Versuche mit ganzrationalen Funktionen. Die ganzrationale Funktion 4. Grades beschreibt die aktuellen Entwicklungen schon ganz gut. Der erste Koeffizient wird hier auf 5 Stellen gerundet angegeben. Er liegt etwa bei `2 * 10^(-8)`. Allerdings gibt es keine fachliche Begründung, dass sich die Temperaturerhöhung in dieser Weise entwickeln könnte. 

  temp_d_andere.ggb 

 

 

 Aufgabe 2: Klimatrends mit der LOESS-Methode   

Werden Wetterdaten (wie z.B. die Temperatur) über einen längeren Zeitraum (von mindestens 30 Jahren) beobachtet, so kann man daraus Klimatrends ableiten. Wie schon in Aufgabe 1 betrachten wir globale Temperaturanomalien (Abweichungen) vom Mittelwert der Jahre 1881 - 1910. 

Weil die bisher untersuchten Trendberechnungen die aktuellen Entwicklungen nicht mehr gut beschreiben, ist der Deutsche Wetterdienst (DWD) seit dem 1.4.2025 auf ein neues Verfahren umgestiegen (kein Aprilscherz), das Sie im Folgenden in Ansätzen analysieren sollen. 

LOESS steht für  Locally Estimated Scatterplot Smoothing, also frei übersetzt "lokal geschätzter Punktewolken -Trend". 

Wer es noch genauer wissen will, kann unter Standard method for determing a climatological trend (engl.) die Einzelheiten nachlesen. 

  1. Vorüberlegung: Für die Anpassung (Gewichtung) der Daten wird eine sogenannten tricubische Funktion `w(t) = (1-(2|t-t_0|/d)^3)^3` verwendet. Dabei ist `t_0` in diesem Fall das Jahr, für das die LOESS-Näherung berechnet werden soll, und `[t_0-d/2, t_0 + d/2]` der Definitionsbereich `D_w`. Stellen Sie die Funktion für d = 42 und `t_0 = 2000` dar und beschreiben Sie ihre Eigenschaften. 
  2. Schritt 1: Die Berechnung des LOESS-Trends findet immer in einem Intervall mit d=42 statt. Beispielhaft sollen Sie das hier für das Intervall [1979:2021] nachvollziehen. Dazu  wird die Regressionsgerade `g_0` der gewichteten Daten `(t_i*w(ti), a(t_i)*w(t_i))` berechnet. Dabei ist `a(t_i)` die Temperaturanomalie des Jahres `t_i` und i nummeriert alle Elemente des Definitionsbereiches. Also ist z.B. `t_1` hier das Jahr 1979. 
    `g_0(2000)` ist dann der gesuchte LOESS-Trend für das Jahr 2000. 
    In Excel können Sie die Funktionen STEIGUNG(y-Werte;x-Werte) und ACHSENABSCHNITT(y-Werte;x-Werte) verwenden, um die Parameter der Regressionsgeraden `g_0` zu berechnen. In der Datei temp_d_loess2.xlsx sind diese Berechnungen schon implementiert.
  3. Schritt 2: Die in Teilaufgabe b. beschriebenen Schritte werden nun für jedes Jahr `t_0` durchgeführt, für die das Intervall `[t_0 - 21;t_0 + 21]` noch komplett mit Daten gefüllt ist. Für die Ränder ist das Verfahren etwas komplizierter. 
    Dies können Sie sich mit Hilfe der nachfolgenden GeoGebra-APP veranschaulichen. Klicken Sie zunächst nur "Gewichtskurve" an. Wenn Sie dann "START" wählen, sehen Sie die Gewichtskurve für das jeweilige Jahr und - rot markiert - die Punkte, die zur Berechnung des LOESS-Wertes benutzt werden. 
    1. Schauen Sie sich die ersten und die letzten 20 Jahre genauer an. Welche Punkte werden jeweils genutzt? Was folgern Sie daraus, dass die Gewichtskurve immer zentral zum untersuchten Jahr liegt? 
    2. Wählen Sie nun LOESS-Werte an und lassen Sie die Berechnungen mit NEU -> START noch einmal durchlaufen. Machen Sie das 30-Jahre-Mittel (genauer: gleitendes 30-Jahre-Mittel um den Zentralwert) sichtbar. Was fällt Ihnen auf? 
    3. Vergleichen Sie den Loess-Trend mit dem gleitenden 30-Jahre-Durchschnitt. Beschreiben Sie die Vorteile des LOESS-Trendverfahrens gegenüber dem gleitenden Mittelwert. 

 

Bild von Rosy / Bad Homburg / Germany auf Pixabay

  loess_lauf_final.ggb 

 

Werden Wetterdaten (wie z.B. die Temperatur) über einen längeren Zeitraum (von mindestens 30 Jahren) beobachtet, so kann man daraus Klimatrends ableiten. Wie schon in Aufgabe 1 betrachten wir globale Temperaturanomalien (Abweichungen) vom Mittelwert der Jahre 1881 - 1910. 

Weil die bisher untersuchten Trendberechnungen die aktuellen Entwicklungen nicht mehr gut beschreiben, ist der Deutsche Wetterdienst (DWD) seit dem 1.4.2025 auf ein neues Verfahren umgestiegen (kein Aprilscherz), das Sie im Folgenden in Ansätzen analysieren sollen. 

LOESS steht für  Locally Estimated Scatterplot Smoothing, also frei übersetzt "lokal geschätzter Punktewolken -Trend". 

Wer es noch genauer wissen will, kann unter Standard method for determing a climatological trend (engl.) die Einzelheiten nachlesen. 

  1. Vorüberlegung: Für die Anpassung (Gewichtung) der Daten wird eine sogenannte tricubischen Funktion `w(t) = (1-(2|t-t_0|/d)^3)^3` verwendet. Dabei ist `t_0` in diesem Fall das Jahr, für das die LOESS-Näherung berechnet werden soll, und `[t_0-d/2, t_0 + d/2]` der Definitionsbereich `D_w`. Stellen Sie die Funktion für d = 42 und `t_0 = 2000` dar und beschreiben Sie ihre Eigenschaften. 
  2. Schritt 1: Die Berechnung des LOESS-Trends findet immer in einem Intervall mit d=42 statt. Beispielhaft sollen Sie das hier für das Intervall [1979:2021] nachvollziehen. Dazu  wird die Regressionsgerade `g_0` der gewichteten Daten `(t_i*w(ti), a(t_i)*w(t_i))` berechnet. Dabei ist `a(t_i)` die Temperaturanomalie des Jahres `t_i` und i nummeriert alle Elemente des Definitionsbereiches. Also ist z.B. `t_1` hier das Jahr 1979. 
    `g_0(2000)` ist dann der gesuchte LOESS-Trend für das Jahr 2000. 
    In Excel können Sie die Funktionen STEIGUNG(y-Werte;x-Werte) und ACHSENABSCHNITT(y-Werte;x-Werte) verwenden, um die Parameter der Regressionsgeraden `g_0` zu berechnen. In der Datei temp_d_loess2.xlsx sind diese Berechnungen schon implementiert.
  3. Schritt 2: Die in Teilaufgabe b. beschriebenen Schritte werden nun für jedes Jahr `t_0` durchgeführt, für die das Intervall `[t_0 - 21;t_0 + 21]` noch komplett mit Daten gefüllt ist. Für die Ränder ist das Verfahren etwas komplizierter. 
    Dies können Sie sich mit Hilfe der nachfolgenden GeoGebra-APP veranschaulichen. Klicken Sie zunächst nur "Gewichtskurve" an. Wenn Sie dann "START" wählen, sehen Sie die Gewichtskurve für das jeweilige Jahr und - rot markiert - die Punkte, die zur Berechnung des LOESS-Wertes benutzt werden. 
    1. Schauen Sie sich die ersten und die letzten 20 Jahre genauer an. Welche Punkte werden jeweils genutzt? Was folgern Sie daraus, dass die Gewichtskurve immer zentral zum untersuchten Jahr liegt? 
    2. Wählen Sie nun LOESS-Werte an und lassen Sie die Berechnungen mit NEU -> START noch einmal durchlaufen. Machen Sie das 30-Jahre-Mittel (genauer: gleitendes 30-Jahre-Mittel um den Zentralwert) sichtbar. Was fällt Ihnen auf?
    3. Vergleichen Sie den Loess-Trend mit dem gleitenden 30-Jahre-Durchschnitt. Beschreiben Sie die Vorteile des LOESS-Trendverfahrens gegenüber dem gleitenden Mittelwert. 

Bild von Rosy / Bad Homburg / Germany auf Pixabay

 

zu a. 

Der Graph der Funktion ist rechts dargestellt. Er ist achsensymmetrisch zur Senkrechten durch t = 2000, H(2000|1) ist der absolute Hochpunkt. Nähert man sich den Rändern, so nähert sich der Funktionswert der Null. L(1979|0] und R(2021|0) markieren die Enden des Funktionsgraphen. 

Der tatsächliche Wert wird also genauso beibehalten (Gewichtung 1), die nächsten Nachbarn beidseitig werden auch noch hoch berücksichtigt (gewichtet), weiter vom zu untersuchenden Zeitpunkt entfernt nimmt das Gewicht der Daten schnell ab bis auf 0.

zu b.

In der Exceldatei temp_d_loess2.xlsx sind die DWD-Werte von 1979 bis 2021 in den Spalten A und B eingebracht. In Spalte D werden die Werte für die Gewichtsfunktion berechnet. Diese werden dann Zeile für Zeile mit den x- und y-Werten in A und B berechnet. Die gewichteten Wertepaare stehen in F/G.

In K8 und L8 werden die Parameter der Regressionsgeraden für die gewichteten Wertepaare berechnet: "=STEIGUNG(G2:G44;F2:F44)" und  "=ACHSENABSCHNITT(G2:G44;F2:F44)". Mit der daraus resultierenden Funktion g(t) = 0,00067654 t - 0,04920997 werden in Spalte I die zu den Jahren passenden Funktionswerte berechnet. Eigentlich braucht man nur den Wert g(2000) = 1,30387134. Das ist der LOESS-Wert für 2000, der sich in diesem Fall deutlich vom Jahresmittelwert (2,0966666) unterscheidet. 

zu c.

i) Markiert man "Gewichtskurve", so erscheint sie am linken Rand. Gleichzeitig sind die Punkte rot gekennzeichnet, die für die Berechnung genutzt werden. Mit START/STOP sieht man, wie die Gewichtskurve immer ein Jahr weiter "geschoben" wird. 

Erstaunlich ist dabei, dass für die Berechnungen an den Rändern immer dieselben 43 Punkte genutzt werden. Da der Graph dennoch achsensymmetrisch zur Senkrechten im Berechnungsjahr verläuft, kann das nur bedeuten, dass die Gewichtskurve am Rand "breiter" ist als in der Mitte. 

Das Bild rechts zeigt die Berechnung für das Jahr 1882. Genutzt werden die Daten aus dem Intervall [1880 - 1922]. Der höchste Punkt ist dem Zieljahr (1882) zugeordnet. Damit erstreckt sich die Gewichtskurve über die Jahre 1862 - 1922. Allerdings ist w(t) ≈ 0 für t > 1900. 

ii) Setzt man nun das Häkchen bei LOESS-Punkte und startet mit NEU -> START den Zeitlauf, so werden nacheinander alle LOESS-Punkte berechnet und eingezeichnet. Bei Bedarf kann man mit einem entsprechenden Häkchen auch die Konfidenzintervalle gelb einzeichnen lassen. 

iii) Wenn man den gleitenden 30-Jahre-Mittelwert anzeigen lässt, stellt man fest, dass er gut zu dem LOESS-Trend passt. Letzterer ist aber deutlich glatter und hat den Vorteil, auch den Trend der ersten und der letzten 15 Jahre zu beschreiben. Dieser fehlt beim gleitenden Mittelwert. 

 

 Aufgabe 3: Mit KI Aufgaben lösen lassen ...  

Eine Serie Fußballbilder besteht aus einer bestimmten Anzahl n von Motiven. Jeder Cornflakes-Packung liegt ein Bild bei. Ein Käufer möchte eine vollständige Serie aller Motive anlegen - wobei er anfänglich noch kein Bild hat. Dabei stellen sich u.a. folgende Fragen:

1. Wie viele Packungen müssen im Schnitt gekauft werden, damit man eine vollständige Serie erhält?

2. Wie groß ist die Wahrscheinlchkeit, dass man nach k Käufen eine vollständige Serie zusammen hat?

Diese beiden Fragestellungen wurden in vereinfachter Form drei KI-Programmen gestellt. Hinter den nachfolgenden Drop-Down-Panel unten finden Sie drei Lösungen. Nur eine ist richtig.

a) Geben Sie an, welche KI die richtige Lösung gefunden hat. 

b) Finden Sie die Fehler in den beiden anderen Lösungen. 

c) Für eine KI-Nutzung ist das  sehr wichtig, will man ansprechende Ergebnisse erzielen. Schreiben Sie einen Prompt, der Ihnen die Lösung schrittweise und ausführlich darstellt. Setzen Sie ihn möglicherweise in einer Ihnen zur Verfügung stehenden KI-APP ein. 

Von ChatGPT erzeugtes Piktogramm zu KI und Wahrscheinlichkeit. 

drei Lösungsversuche:

User:  Bei einem Sammlerproblem gibt es 3 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim fünften Kauf die Sammlung zu vervollständigen?

ChatGPT:

Wir betrachten ein Sammlerproblem mit 3 verschiedenen Motiven (z. B. Bilder in Überraschungseiern). Bei jedem Kauf erhält man zufällig eines der 3 Motive, alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Die Frage ist:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim fünften Kauf die Sammlung vervollständigt wird?

Schrittweise Herleitung

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass nach genau 5 Käufen alle 3 Motive vorhanden sind und erst beim fünften Kauf das letzte (fehlende) Motiv erscheint.

Das bedeutet:

  • Nach 4 Käufen sind genau 2 verschiedene Motive vorhanden.

  • Beim 5. Kauf erhält man das dritte, noch fehlende Motiv.

Lösungsidee

  1. Wahrscheinlichkeit, nach 4 Käufen genau 2 verschiedene Motive gesammelt zu haben.
    Das ist ein klassisches Problem in der Kombinatorik.

  2. Wahrscheinlichkeit, beim 5. Kauf das dritte Motiv zu bekommen.
    Wenn man zwei Motive schon hat, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, das fehlende zu bekommen:

    `1/3`

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei 4 Käufen genau 2 Motive zu haben?

Zunächst wählt man 2 von 3 Motiven aus:

`((3),(2))` = 3

Dann müssen in den 4 Käufen nur diese 2 Motive erscheinen, das dritte darf nicht vorkommen.

Für diese 2 Motive (nennen wir sie A und B), müssen wir nun alle Kombinationen aus A und B zählen, die in 4 Positionen vorkommen und nicht nur aus A oder nur aus B bestehen (also nicht AAAA oder BBBB, denn wir wollen beide Motive mindestens einmal).

Es gibt insgesamt 24= 16 Kombinationen aus A und B in 4 Positionen. Davon sind 2 Kombinationen „eintönig“ (AAAA und BBBB), also bleiben 14 gültige Kombinationen 

Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 4 Käufen genau 2 von 3 Motiven gesammelt wurden:

P4= `(("Anzahl gültiger Kombinationen")/("alle möglichen Kombinationen von 3 Motiven in 4 Käufen"))` = `((3⋅14)/3^4)`= `42/81`

2. Wahrscheinlichkeit, im 5. Kauf das fehlende dritte Motiv zu erhalten:

Wenn man 2 Motive hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit, nun das fehlende zu ziehen: `1/3`

Gesamtwahrscheinlichkeit:

`P = 42/81 * 1/3 = 42/243 ~~ 0,173`

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim fünften Kauf die Sammlung vervollständigt wird, beträgt `42/243` ≈ 17,3 %.

user: Bei einem Sammlerproblem gibt es 3 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim fünften Kauf die Sammlung zu vervollständigen?

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, beim fünften Kauf die Sammlung von drei Motiven zu vervollständigen, beträgt ≈5,76% (genau `14/243`).

1. Berechnungsschritte:

Voraussetzung: In den ersten 4 Käufen müssen genau 2 verschiedene Motive gesammelt worden sein, und der 5. Kauf liefert das fehlende 3. Motiv.

2. Anzahl günstiger Fälle für 2 Motive in 4 Käufen:

Berechnet durch die Stirling-Zahl zweiter Art S(4,2)=7, die die Anzahl der Möglichkeiten angibt, 4 Käufe auf 2 Motive zu verteilen (jedes Motiv mindestens einmal).

Multipliziert mit der Anzahl der Motivkombinationen: 7×2!=14.

3.Gesamtmöglichkeiten für 4 Käufe:
`3^4=81`.

4.Wahrscheinlichkeit für 2 Motive in 4 Käufen:
`14/81`.

5. Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv im 5. Kauf zu erhalten:
`1/3`.

6. Gesamtwahrscheinlichkeit:
`14/81*1/3=14/243≈0,0576`.

User: Bei einem Sammlerproblem gibt es 3 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 5. Kauf die Sammlung zu vervollständigen?

Ah, das klassische Sammelproblem! Drei verschiedene Motive, jedes zufällig beim Kauf erhältlich — das klingt nach einer feinen Mischung aus Glück und Geduld. Lass uns herausfinden, wie wahrscheinlich es ist, dass du genau beim fünften Kauf *zum ersten Mal* alle drei Motive komplett hast.

Das Problem läuft auf die Wahrscheinlichkeit hinaus, dass du beim 5. Kauf zum ersten Mal alle 3 Motive besitzt. Es handelt sich also um ein Problem aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit *diskreter Verteilung*.

Hier ist der Ansatz:

1. Beim ersten Kauf bekommst du ein neues Motiv (klar).
2. Beim zweiten Kauf hast du eine 2/3-Wahrscheinlichkeit, ein neues Motiv zu ziehen.
3. Beim dritten Kauf dann 1/3 Wahrscheinlichkeit, dass du das letzte noch fehlende Motiv ziehst.
4. Nun sollen beim fünften Kauf erstmals alle drei Motive vollständig sein.

Das bedeutet:
- Nach 4 Käufen dürfen nicht alle Motive vollständig sein (es fehlen noch welche), und
- beim 5. Kauf bekommst du das letzte noch fehlende Motiv.

Wenn man das genau berechnet, erhält man für die Wahrscheinlichkeit:


P(Vervollständigung beim 5. Kauf) = `(1/3)^2 * 2/3`= `4/27 ~~ 14,8 %`.

Du hast also knapp **15 % Chance**, dass dir ausgerechnet der fünfte Kauf das letzte fehlende Stück liefert. Gar nicht so schlecht — aber beim Sammeln braucht’s halt auch ein Quäntchen Glück.

 

 

drei Lösungsversuche:

User: Bei einem Sammlerproblem gibt es 6 Motive. Jemand hat bereits 4 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Käufen die Sammlung zu vervollständigen?

Mistral:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass jemand seine Sammlung in höchstens 3 Käufen vervollständigt, können wir die Wahrscheinlichkeit für jedes Szenario berechnen und dann addieren. Hier sind die Schritte:

  1. Annahmen:
    • Es gibt insgesamt 6 Motive.
    • Der Sammler hat bereits 4 verschiedene Motive.
    • Es gibt also 2 Motive, die noch gesammelt werden müssen.
    • Jeder Kauf liefert ein zufälliges Motiv, das der Sammler noch nicht hat.
  2. Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in einem Kauf zu vervollständigen:
    • Die Wahrscheinlichkeit, dass der Sammler eines der beiden fehlenden Motive in einem Kauf erhält, ist `2/6`.
  3. Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in zwei Käufen zu vervollständigen:
    • Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Kauf nicht erfolgreich ist (d.h., der Sammler erhält ein Motiv, das er bereits hat) und der zweite Kauf erfolgreich ist, beträgt `4/6*2/5`.
  4. Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in drei Käufen zu vervollständigen:
    • Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Käufe nicht erfolgreich sind und der dritte Kauf erfolgreich ist, beträgt `4/6*3/5*2/4`.

Lassen Sie uns diese Wahrscheinlichkeiten berechnen.

(1,2 Sekunden Nachdenken)

Die Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in höchstens drei Käufen zu vervollständigen, beträgt etwa 80%.

User: Wie kommst du auf 80%? 

Mistral:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, die Sammlung in höchstens drei Käufen zu vervollständigen, gehen wir wie folgt vor:

  1. Annahmen:
    • Es gibt insgesamt 6 Motive.
    • Der Sammler hat bereits 4 verschiedene Motive.
    • Es bleiben also 2 Motive übrig, die er noch nicht hat.
  2. Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in einem Kauf zu vervollständigen:
    • Die Wahrscheinlichkeit, eines der beiden fehlenden Motive zu kaufen, beträgt `2/6`.
  3. Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in zwei Käufen zu vervollständigen:
    • Zuerst kauft der Sammler eines der bereits vorhandenen Motive (Wahrscheinlichkeit `4/6`).
    • Dann kauft er eines der beiden fehlenden Motive (Wahrscheinlichkeit `2/5`, da ein Motiv bereits gekauft wurde).
    • Die kombinierte Wahrscheinlichkeit für diesen Fall ist `4/6*2/5`.
  4. Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in drei Käufen zu vervollständigen:
    • Zuerst kauft der Sammler zwei der bereits vorhandenen Motive (Wahrscheinlichkeit `4/6*3/5`).
    • Dann kauft er eines der beiden fehlenden Motive (Wahrscheinlichkeit `2/4`, da zwei Motive bereits gekauft wurden).
    • Die kombinierte Wahrscheinlichkeit für diesen Fall ist `4/6*3/5*2/4`.
  5. Gesamtwahrscheinlichkeit:
    • Die Gesamtwahrscheinlichkeit, die Sammlung in höchstens drei Käufen zu vervollständigen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der drei oben genannten Fälle:

`2/6+(4/6*2/5)+(4/6*3/5*2/4)`

Wenn wir diese Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren, erhalten wir etwa 80%.

 

User: Bei einem Sammlerproblem gibt es 6 Motive. Jemand hat bereits 4 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Käufen die Sammlung zu vervollständigen?

Perplexity:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 13,89%, dass die Sammlung in höchstens 3 Käufen vervollständigt wird.

Berechnung:

- Es fehlen 2 Motive von 6 möglichen.

- Bei 3 Käufen gibt es `6^3=21` mögliche Kombinationen.

- Erfolgreiche Fälle: Alle Käufe, die beide fehlenden Motive mindestens einmal enthalten.

- Der Code zählte 30 erfolgreiche Fälle, was zu `30/216=5/36≈0.1389` führt.

Mathematische Begründung:
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich auch über die Inklusions-Exklusions-Methode berechnen:

`P=1−2*(5/6)^3+(4/6)^3=5/36`

Dies bestätigt das Ergebnis der Simulation.

 

User: Begründe bitte deine Berechnung.

Perplexity:

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal A und mindestens einmal B zu ziehen:

P=1−(Wahrscheinlichkeit für "kein A oder kein B")

Das ist:

P=1−[P(kein A)+P(kein B)−P(kein A und kein B)]

  • P(kein A): In jedem Kauf wird nicht A gezogen, also eines der 5 anderen Motive: `(5/6)^3`

  • P(kein B): Analog: `(5/6)^3`

  • P(kein A und kein B): In jedem Kauf wird eines der 4 schon vorhandenen Motive gezogen: `(4/6)^3`

Also:

`P=1−[2⋅(5/6)^3−(4/6)^3]`

User: Bei einem Sammlerproblem gibt es 6 Motive. Jemand hat bereits 4 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Käufen die Sammlung zu vervollständigen?

GPT:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Sammlung in höchstens 3 Käufen vervollständigt wird, müssen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das fehlende Motiv in einem der drei Käufe gefunden wird.

Anwort:

Die Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv in einem Kauf zu finden, beträgt `2/6`, da es insgesamt 6 Motive gibt und bereits 4 Motive gesammelt wurden.

Die Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv in einem der drei Käufe zu finden, beträgt somit:

1 - (Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv NICHT in 3 Käufen zu finden)
`= 1 - "(Wahrscheinlichkeit, das fehlende Motiv NICHT in einem Kauf zu finden)"^3`
`= 1 - (4/6)^3`
`= 1 - (2/3)^3`
`= 1 - 8/27`
`= 19/27`

Die Wahrscheinlichkeit, die Sammlung in höchstens 3 Käufen zu vervollständigen, beträgt also `19/27` oder ca. 0,70 (gerundet auf zwei Dezimalstellen).

 

 ChatGPT: 

Die Lösung ist richtig - siehe auch nachfolgendes Lösungsschema. Erläutern Sie, warum dieses Schema u.U. für Verwirrung sorgen kann. 

Perplexity: 

Das Ergebnis ist falsch, da es im 2. Schritt heißen muss `7 * (3!) = 42`. Damit ergibt sich auch das richtige Ergebnis von `42/81.`

Copilot:

Die Lösung ist ziemlicher Blödsinn. Auf jeden Fall hat Copilot nicht bedacht, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, nach vier Käufen genau zwei Motive zu haben. 

Die KI CLAUDE hat dazu ein Lösungsschema entwickelt: 

 zur Mistral-Lösung: 

In der Rechnung stecken mehrere Fehler, u-a.:

1. Die Sammlung kann nicht in einem Kauf vervollständigt werden (angegebene Wahrscheinlichkeit `2/6`).

2. Die Wahrscheinlichkeit `2/5` und die zugehörige Begründung sind abstrus.

zur Perplexity-Lösung

Die ist richtig. 

Eine elegante Lösung,

Kontrolle durch direkte Berechnung:

Es ergeben sich folgende Möglichkeiten zur Vervollständigung:

U-A-B, U-B-A, A-U-B, B-U-A, A-A-B, B-B-A, A-B, B-A (U: ursprüngliche Motive, A und B: fehlende Motive)

`p(U-A-B)=4/6*1/6*1/6=4/(6^3)` = `p(U-B-A) = p(A-U-B) = p(B-U-A)`

`p((A-A-B))=(1/6)^3` = `p(B-B-A)`

`p(A-B)=(1/6)^2` = `p(B-A)`

Gesamtwahrscheinlichkeit: `4*4/216+2*(1/6)^3+2*(1/6)^2=30/216=5/36`

Zur ChatGPT-Lösung

Die KI hat die Wahrscheinlichkeit berechnet, bei genau 3 Käufen mindestens eines der zwei fehlende Motive zu finden. Sie hat also die Problemstellung überhaupt nicht verstanden. 

eine mögliche Formulierung wäre: 

Ich bin Schüler*in der ... Klasse und soll das nachfolgende Problem lösen. Bitte gib mir die Lösung schrittweise an: Zunächst die Lösungsidee. Dann die genauen Berechnungsschritte. Warte nach jedem Berechnungsschritt, bis ich "weiter" eingebe. Problem: Bei einem Sammlerproblem gibt es 6 Motive. Jemand hat bereits 4 Motive. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 3 Käufen die Sammlung zu vervollständigen?

Achtung: 

Wenn Sie diesen Prompt z.B. ChatGPT geben, erklärt die KI die Lösung ausführlich, aber falsch!! Fazit: Auch ein gutes prompting sorgt nicht unbedingt für die richte Lösung. Immer kritisch überprüfen!

 

 

 Aufgabe 4: Mit KI Aufgaben lösen lassen ...  

Gegeben sind die Geraden y = -x + 2,5 und y = 2x - 5. Eine Parabel berührt im Punkt (1|1,5) die erste Gerade. Wie lautet die Gleichung dieser Parabel, die auch die 2. Gerade berührt?

Diese Aufgabe habe ich drei KI-Programmen gestellt. Hinter den Drop-Down-Panel unten finden Sie drei Lösungen. Nur eine ist richtig.

Merke: Auch KI können Fehler machen. 

  1. Finden Sie die richtige Lösung. 
  2. Korrigieren Sie die Fehler in den beiden anderen Lösungen. 
  3. Für eine KI-Nutzung ist das  sehr wichtig, will man ansprechende Ergebnisse erzielen. Schreiben Sie einen Prompt, der Ihnen die Lösung schrittweise und ausführlich darstellt. Dabei müssen Sie hier nicht den gesamten Aufgabentext einbauen. Sprechen Sie einfach von einer Aufgabe, die Sie nachfolgend eingeben. 
  4. Eine weitere KI löst die Aufgabe mit Hilfe der folgenden drei Vorgaben. Stellen Sie die Gleichungen zusammen und lösen Sie das Gleichungssystem.
    1. Der Punkt (1|1,5) liegt auf der Parabel.
    2. Die Steigung der Parabel entspricht der Steigung der ersten Geraden bei x = 1.
    3. Da die Parabel die Gerade y = 2x - 5 nur berührt, dürfen beide nur einen Schnittpunkt haben. 
      Setze beide Gleichungen gleich und untersuche die Diskriminante (Term unter der Wurzel beim Lösung der quadratischen Gleichung)

Von ChatGPT erzeugtes Piktogramm für KI. 

drei Lösungsversuche:

Aufgabe: Bestimme die Gleichung einer Parabel

Gegeben:

  • Gerade 1: y = -x + 2.5, berührt die Parabel im Punkt (1|1.5).
  • Gerade 2: y = 2x - 5, wird ebenfalls von der Parabel berührt.

Gesucht:
Die Gleichung der Parabel in der Form y = `ax^2 + bx + c`.

Lösungsschritte

Schritt 1: Bedingung für den ersten Berührungspunkt

  • Punkt (1|1,5) liegt auf der Parabel:
    `1.5 = a*1^2 + b*1 + c`⟹ `a + b + c = 1.5` (Gleichung 1)
  • Steigung der Geraden`y = -x + 2.5` ist m = -1.
  • Ableitung der Parabel: `y' = 2ax + b`. Im Punkt `x = 1`:
    `2a*1 + b = -1` ⟹ `2a + b = -1` (Gleichung 2)

Schritt 2: Bedingung für den zweiten Berührungspunkt

  • Sei der Berührungspunkt (`x_0`, `y_0`) auf `y = 2x - 5`, dann gilt:
    `y_0 = 2x_0 - 5`
  • Da dieser Punkt auch auf der Parabel liegt:
    `2x_0 - 5 = a*x_0^2 + b*x_0 + c` (Gleichung 3)
  • Steigung der Geraden ist 2, daher muss gelten:
    `2a*x_0 + b = 2` (Gleichung 4)

Schritt 3: Gleichungen lösen

  • Umstellen von (2):
    `b = -1 - 2a` (Gleichung 5)
  • Einsetzen in (1):
    `a + (-1 - 2a) + c = 1.5` ⟹ `-a + c = 2.5` (Gleichung 6)
  • Umformen von (4):
    `2a*x_0 + b = 2` ⟹ `2a*x_0 - 1 - 2a = 2`
    ⟹ `x_0 = (3 + 2a) / (2a)` (Gleichung 7)

Schritt 4: Einsetzen in (3)

  • Links: `2x_0 - 5`
  • Rechts: `a*x_0^2 + b*x_0 + c`
  • Nach Umformung erhält man:
    `c = (4a^2 - 8a + 9) / 4a`

Schritt 5: Bestimmung von a, b, c

  • Einsetzen von c in (6):
    `a - 1 - 2a + (4a^2 - 8a + 9) / 4a = 1.5`
  • Lösen ergibt:
    `4a^2 - 18a + 9 = 0` ⟹ `a = 1/2`
  • Daraus folgt:
    `b = -1 - 2 * (1/2) = -2`
    `c = (4 * (1/2)^2 - 8 * (1/2) + 9) / 4(1/2) = 3`

Die Parabelgleichung lautet:
`y = (1/2)x^2 - 2x + 3`

Berechnung der Parabelgleichung

Gegeben sind die Geraden:

  1. `y = -x + 2.5`
  2. `y = 2x - 5`

Eine Parabel der Form `y = ax^2 + bx + c` soll diese Bedingungen erfüllen:

  • Sie berührt die erste Gerade im Punkt `(1| 1.5)`
  • Sie berührt die zweite Gerade an einem weiteren Punkt

1. Bedingung: Die Parabel verläuft durch `(1| 1.5)`

Einsetzen in die Parabelgleichung: `a(1)^2 + b(1) +c = 1.5`

Vereinfacht: `a + b +c = 1.5`

2. Bedingung: Die Steigung der Parabel im Punkt `(1|1.5)` ist gleich der Steigung der ersten Geraden m =-1.

Ableitung der Parabel: `y' = 2ax + b`

Setzen von x = 1: `2a(1) + b = -1`

3. Bedingung: Die Parabel berührt auch die zweite Gerade `y = 2x - 5`.
Es existiert ein Punkt (`x_0`, `y_0`), sodass: `ax_0^2 + bx_0 +c = 2x_0 - 5`

Lösen der Gleichungen:

  1. `a + b + c = 1.5`
  2. `2a + b = -1`
  3. `2ax_0 + b = 2`
  4. `ax_0^2 + bx_0 + c = 2x_0 - 5`

Aus 3: `b = 2 - 2ax_0`
Einsetzen in 1: `c = a + 2.5`
Einsetzen in 4 und Lösen für a: `a(1 - x_0^2) = -7.5`

Die genaue Berechnung der Parabelgleichung hängt von der noch unbekannten Berührstelle  x_0  der zweiten Tangente  y = 2x - 5  ab. Für `x_0 = 2` erhalten wir `a = 4.5`, dann `b = -9` und `c = 6.5`.

Die endgültige Parabelgleichung lautet:
`y = 4.5x^2 - 9x + 6.5`

Berechnung der Parabelgleichung

1. Allgemeine Form der Parabel
Wir gehen von der allgemeinen Form einer Parabel aus:
`y = ax^2 + bx + c`

2. Berührpunkt mit der ersten Geraden
Die Parabel berührt die erste Gerade y = -x + 2.5 im Punkt (1|1.5).
Das bedeutet, dass die Steigung der Parabel in diesem Punkt gleich der Steigung der Geraden sein muss.
Die Steigung der Geraden ist -1.

Die Ableitung der Parabelgleichung gibt uns die Steigung an jeder Stelle:
y' = 2ax + b

Setzen wir den Punkt (1|1.5) und die Steigung -1 ein:

`1.5 = a(1^2 + b(1) + c`

`-1< = 2a(1) + b`

3. Berührung mit der zweiten Geraden
Die Parabel berührt auch die zweite Gerade y = 2x - 5.
Da wir den Berührpunkt nicht kennen, nennen wir ihn (`x_b`, `y_b`).
Die Steigung der zweiten Geraden ist 2.

`y_b = ax_b^2 + bx_b + c`
`2 = 2x_b - 5`

5. Gleichungssystem lösen
Wir haben nun ein System von fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten (a, b, c, `x_b`, `y_b`):

  1. 1.5 = a + b + c
  2. -1 = 2a + b
  3. `y_b = 2x_b - 5`
  4. `y_b = ax_b^2 + bx_b + c`
  5. `2 = 2ax_b + b`

Dieses System lösen wir, um die Werte von a, b, c, `x_b` und `y_b` zu finden.

  • Gleichung 4 und Gleichung 5 gleichsetzen: `ax_b^2 + bx_b + c = 2x_b - 5` (Gleichung 6)
  • Gleichung 2 nach b auflösen: `b = -1 - 2a`
  • b in Gleichung 1 einsetzen ⇒ `c = 2,5 + a`
  • b in Gleichung 5 einsetzen ⇒ `x_0 = (3 + 2a)/(2a)`
  • b, c und `x_0` in Gleichung 6 einsetzen: `2 ((3 + 2a) / (2a)) - 5 = a ((3 + 2a) / (2a))² + (-1 - 2a) * ((3 + 2a) / (2a)) + (2,5 + a) `
    Durch Multiplizieren mit `4a^2`, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen erhält man: `12a + 8a^2 - 20a` = `9 + 12a + 4a^2 -6a  -4a^2 - 12a^2 - 10a^2 - 4a^3 + 10 a^2 + 4a^2`

⇒ Zu lösen ist die Gleichung `0 = -10a^2 - 6a + 9`.  

Berechnet man die Parabelgleichungen der beiden Lösungen `a_1 ~~ 1,29` und `a_2 ~~ -1,89`, so zeigt sich, dass nur die zweite Lösung die Bedingungen erfüllt.  

6. Gleichung der Parabel

Die Gleichung der Parabel lautet `y = -1,89x^2 + 2,78x + 0,61`.

 

zu a.

Am schnellsten erkennt man die richtige Lösung, wenn man sich die beiden Geraden und die berechnete Parabel darstellen lässt. Hier sind nur zwei Darstellungen wiedergegeben, die von Grok (einzig richtige Lösung) und ChatCPT.

Grok

 

ChatGPT

 

zu b.

ChatGPT-Lösung: Der Fehler liegt darin, dass angenommen wird, dass `x_0`= 2 ist. Die Stelle ist ja gerade nicht bekannt. 

Gemini-Lösung: 

Der Fehler liegt beim Auflösen der Gleichung 6: 

  • b, c und `x_0` in Gleichung 6 einsetzen: `2 ((3 + 2a) / (2a)) - 5 = a ((3 + 2a) / (2a))² + (-1 - 2a) * ((3 + 2a) / (2a)) + (2,5 + a) `
    Durch Multiplizieren mit `4a^2`, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen erhält man: `12a + 8a^2 - 20a` = `9 + 12a + 4a^2 -6a  -4a^2 - 12a^2 - color(red)(12)a^2 - color(red)(8)a^3 + 10 a^2 + 4a^2` (rot = korrigierte Werte) 
  • Nach dem Zusammenfassen erhält man: `9a - 18a^2 = 0`⇒ `a = 0 vv a = 1/2`
  • Da a ≠ 0 (sonst wäre es keine Parabel), ergibt sich aus a = `1/2` ⇒ b = -2 + c = 3 ⇒ Die Parabelgleichung lautet:
    `y = (1/2)x^2 - 2x + 3`

zu c. 

Es ist sinnvoll, zunächst Ihre Situation und Ihren Leistungsstand zu schildern. Dazu gehören auch Anweisungen zur Ausführlichkeit der Lösungen. Das erste Prompt könnte also z.B. so lauten: 

Ich bin Schüler oder Schülerin in einem Leistungskurs der Qualifikationsphase in NRW und muss die Aufgabe lösen. die ich dir nachfolgend beschreibe. Bitte kommentiere den Lösungsweg ausführlich, damit ich ihn nachvollziehen kann. Du musst aber nicht jeden kleinen Schritt dokumentieren, da ich ein guter Schüler/ eine gute Schülerin bin. 

Die Antwort ist z.B. Klar! Stell mir einfach die Aufgabe, und ich werde den Lösungsweg ausführlich, aber nicht übertrieben detailliert erklären.

Nach Eingabe der Aufgabenstellung beschreibt die KI den Lösungsweg. 

Zur Überprüfung können Sie anschließend zum Beispiel einen weiteren Prompt formulieren: 

Zeichne zur Kontrolle die beiden Geraden und die Parabel.

zu d. 

Aus den beiden ersten Bedingungen folgt (siehe die anderen Lösungen): a + b + c = 1,5 und 2a + b = -1. 

Zur Berechnung der Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden werden die Terme gleichgesetzt: 

`ax^2 + bx + c = 2x - 5` ⇒ `ax^2 + (b - 2)x + c + 5 = 0` ⇒ `x^2 + (b-2)/ax + (c + 5)/a = 0`

⇒ D = `((b-2)/(2a))^2 - (c+5)/a = 0` ⇒ `(b-2)^2 -4a(c + 5) = 0`

Damit hat man drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Zum Beispiel mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens erhält man a = `1/2`, b = -2, c = 3.

Eine interessante Lösung von der französischen Mistral AI mit zwischenzeitlichem Selbstzweifel vom 17.05.2025:

 

 

 

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