×
Net-Mathebuch
Sekundarstufe 2
 

 Suchen
GeoGebra Grafik-Rechner

Seite: dcb_loesungen
Diese Seite wurde aktualisiert am 28.04.2022

LOGIN
Benutzer:
Passwort:
 

Chat

Quelle: https://nwm2.net-schulbuch.de/index.php
Druckversion vom 28.09.2022 10:46 Uhr
Startseite Vorkurs Weitere Gleichungen und Funktionen Quadratische Funktionen (Parabeln)

 

Quadratische Funktionen - Lösungen

Aufgabe 1

Klicken Sie die richtigen Aussagen an:

a.

b.

c.

d.

Aufgabe 2

Klicken Sie die richtigen Aussagen an:

a.
`f(x)=x^2`
`g(x)=(x+2)^2-1`
b.
`f(x)=2*(x-5)^2-6`
c.
`f(x)=4*x^2`
`g(x)=-3x^2+1`
d.
`f(x)=(x+1)^2+3`
`g(x)=a*x+3`

Aufgabe 3

Geben Sie die charakteristischen Eigenschaften (siehe Lehrtext) der Parabeln an und skizzieren Sie die Parabeln.

  1. `f(x)=(x-4)^2+2`
  2. `f(x)=-2(x+3)^2-1`
  3. `f(x)=0","5*(x-2)*(x-4)`
  4. `f(x)=-(x-1)^2+9`
  5. `f(x)=0","5x^2-1","5x-2`

Lösungen

a.

`f(x)=(x-4)^2+2`

Da `a=1`, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel.

Scheitelpunkt: S(4; 2)

Nullstellen existieren nicht, da der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

Alle Funktionswerte sind größer als 2.

 b.

`f(x)=-2(x+3)^2-1`

Da `a=-2`, handelt es sich um eine nach unten geöffnete und gegenüber einer Normalparabel gestreckte Parabel (schmalere Öffnung als eine Normalparabel).

Scheitelpunkt: S(-3; -1)

Nullstellen existieren nicht, da der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist.

Alle Funktionswerte sind kleiner als -1.

 

c.

`f(x)=0,5*(x-2)*(x-4)`

Da `a=0","5`, handelt es sich um eine nach oben geöffnete und gegenüber einer Normalparabel gestauchte Parabel (breitere Öffnung als eine Normalparabel).

Die Nullstellen sind `x_1=2` und `x_2=4`.

Also ist der x-Wert des Scheitelpunktes `(2+4)/2=3`.

Wegen `f(3)=-0","5` folgt  S(3; -0,5).

Für `x < 2` oder `x > 4` sind alle Funktionswerte positiv. Für `2 < x < 4` sind alle Funktionswerte negativ.

d.

`f(x)=-(x-1)^2+9`

Da `a=-1`, handelt es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel.

Scheitelpunkt S(1; 9)

Nullstellen:

`-(x-1)^2+9=0 hArr (x-1)^2=9`

`hArr x-1=3 vv x-1=-3`

`x_1=4` und `x_2=-2`

Für `x < -2` oder `x > 4` sind alle Funktionswerte negativ. Für `-2 < x < 4` sind alle Funktionswerte positiv.

e.

`f(x)=0","5*x^2-1","5x-2`

Da `a=0","5`, handelt es sich um eine nach oben geöffnete und gegenüber einer Normalparabel gestauchte Parabel (breitere Öffnung als eine Normalparabel).

Nullstellen:

`0","5*x^2-1","5x-2=0 hArr x^2-3x-4=0`

`x_(1",")=3/2+-sqrt(9/4+4)=3/2+-5/2`

`x_1=4` und `x_2=-1`

Also ist der x-Wert des Scheitelpunktes `(4+(-1))/2=1","5`.

Wegen `f(1","5)=-3","125` folgt  S(1,5; -3,125).

Für `x < -1` oder `x > 4` sind alle Funktionswerte positiv. Für `-1 < x < 4` sind alle Funktionswerte negativ.

 

 

Aufgabe 4

Ermitteln Sie die Funktionsvorschrift in Normal- und in Scheitelpunktform.

Lösung

Schwarze Parabel:

Scheitelpunkt S(-2; 4), also: `f(x)=a*(x+2)^2+4`

`a=-1` (Geht man vom Scheitelpunkt 1 nach links oder rechts und 1 nach unten, so trifft man auf einen Punkt der Parabel.)

Scheitelpunktform: `f(x)=-(x+2)^2+4`

`-(x+2)^2+4=-(x^2+4x+4)+4=-x^2-4x`

Normalform: `f(x)=-x^2-4x`

Rote Parabel:

Scheitelpunkt S(2; 3), also `f(x)=a*(x-2)^2+3`

`a= 1/2` (Geht man vom Scheitelpunkt 1 nach links oder rechts und `1/2` nach oben, so trifft man auf eine Punkt der Parabel.)

Alternativ: (0; 5) ist ein Punkt der Parabel, d.h. `a*(0-2)^2+3=5 hArr 4a=2 hArr a=1/2`

Scheitelpunktform: `f(x)=1/2*(x-2)^2+3`

`1/2*(x-2)^2+3=1/2*(x^2-4x+4)+3=1/2x^2-2x+5`

Normalform: `f(x)=1/2x^2-2x+5`

Aufgabe 5

Bestimmen Sie Scheitelpunkt- und Normalform. Skizzieren Sie die Graphen.

  1. Die Parabel hat den Scheitelpunkt S(-2; 3) und läuft durch P(1; 21).
  2. Die Parabel verläuft durch die Punkte A(2; -1), B(0; 1) und C(3; -5).
  3. Die Parabel verläuft durch die Punkt A(2; 0), B(6; 0) und C(8; 2).
  4. Die Parabel verläuft durch die Punkte A(-1; 2), B(2; 5) und C(6; 9).

Lösungen

a.

S(-2; 3), also `f(x)=a*(x+2)^2+3`

Aus `f(1)=21` folgt `a*(1+2)^2+3=21 hArr 9a=18 hArr a=2`

Scheitelpunktform: `f(x)=2*(x+2)^2+3`

`2*(x+2)^2+3=2*(x^2+4x+4)+3=2x^2+8x+11`

Normalform: `f(x)=2x^2+8x+11`

b.

In die allgemeine Normalform `f(x)=ax^2+bx+c` werden die Koordinaten der gegebenen Punkte eingesetzt.

A: `a*2^2+b*2+c=-1`

B: `a*0^2+b*0+c=1`

C: `a*3^2+b*3+c=-5`

Aus der 2. Gleichung folgt `c=1`. Somit ergibt sich mit der 1. und 3. Gleichung 

I: `4a+2b+1=-1 hArr 4a+2b=-2`

II: `9a+3b+1=-5 hArr 9a+3b=-6`

III: `-6a=6` (3·I - 2·II)

           `a=-1`

Einsetzen von `a=-1` in I ergibt  `-4+2b=-2 hArr b=1`

Somit lautet die Normalform: `f(x)=-x^2+x+1`

Bestimmung der Scheitelpunktform:

`-x^2+x+1=0 hArr x^2-x-1=0;  (p=-1, q= -1)`

Die x-Koordinate des Scheitelpunktes hat den Wert `-p/2=1/2`

`f(1/2)=-1/4+1/2+1=5/4`

Scheitelpunktform: `f(x)=-(x-1/2)^2+5/4`

c.

Mit A und B sind zwei Punkte auf der x-Achse gegeben. Die x-Koordinaten dieser Punkte sind folglich Nullstellen. Somit folgt

`f(x)=a*(x-2)*(x-6)`

Setzt man die Koordinaten von C ein, so erhält man: `a*(8-2)*(8-6)=2 hArr a=1/6`

Normalenform: `f(x)=1/6*(x-2)*(x-6)=1/6*(x^2-8x+12)=1/6x^2-4/3x+2`

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist `(2+6)/2 = 4`

Da `f(4)=8/3-16/3+2=-2/3` ergibt sich als Scheitelpunktform: `f(x)=1/6*(x-4)^2-2/3`

d.

In die allgemeine Normalform `f(x)=ax^2+bx+c` werden die Koordinaten der gegebenen Punkte eingesetzt.

A: `a*(-1)^2+b*(-1)+c=2 hArr a-b+c=2` (I)

B: `a*2^2+b*2+c=5 hArr 4a+2b+c=5` (II)

C: `a*6^2+b*6+c=9 hArr 36a+6b+c=9` (III)

IV: `3a+3b=3 hArr a+b=1`  (II - I)

V: `35a+7b=7 hArr 5a+b=1` (III- I)

VI:  `4a=0`  (V-IV)

         `a=0`

Es gibt also keine Parabel, auf der die drei Punkte liegen.

Eine weitere Rechnung ergibt `b=1` und `c=3`.

Somit folgt als Funktionsgleichung `f(x)=x+3` (Die drei Punkte liegen auf einer Geraden.)

Aufgabe 6 

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der folgenden Parabeln:

  1. `f(x)=x^2+4` und `g(x)=-x^2+2x+6`
  2. `f(x)=-(x+3)^2+4` und `g(x)=-0","5(x+2)^2+5`
  3. `f(x)=(x-1)^2+6` und `g(x)=-3(x-2)^2+5`

 

Lösungen

a.

`x^2+4=-x^2+2x+6 hArr 2x^2-2x-2=0 hArr x^2-x-1=0`

`x_(1","2)=1/2+-sqrt(1/4+1)~~1/2+-1","12`

`x_1~~1","62` und `x_2~~-0","62`

`f(1","62)~~6","62` und `f(-0","62)~~4","38`

Die Parabeln schneiden sich in den Punkten (1,62; 6,62) und (-0,62; 4,38).

b.

`-(x+3)^2+4=-0","5(x+2)^2+5`

`hArr -(x^2+6x+9)+4=-0","5(x^2+4x+4)+5`

`hArr -x^2-6x-5=-0","5x^2-2x+3`

`hArr -0","5x^2-4x-8=0`

`hArr x^2+8x+16=0`

`hArr (x+4)^2=0 hArr x=-4`

Einziger Schnittpunkt ist  (-4; 3).

c.

`f(x)=(x-1)^2+6` und `g(x)=-3(x-2)^2+5`

Der Scheitelpunkt der Parabel zu f liegt höher als der Scheitelpunkt der Parabel zu g. Da die Parabel zu f nach oben und die andere Parabel nach unten geöffnet ist, schneiden sich die beiden Parabeln nicht.

Aufgabe 7 

Gegeben ist die Parabel zu `f(x)=x^2`. Berechnen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit den folgenden Geraden:

 

  1. `g(x)=-2x+3`
  2. `g(x)=-x-1`
  3. `g(x)=2x-1`

Lösungen

a.

`x^2=-2x+3 hArr x^2+2x-3=0`

`x_(1","2)=-1+-sqrt(1+3)`

`x_1=1` und `x_2=-3`.

Die Schnittpunkte sind (1; 1) und (-3; 9).

b.

`x^2=-x-1 hArr x^2+x+1=0`

`x_(1","2)=-0","5+-sqrt(0","25-1)`

Gerade und Parabel schneiden sich nicht.

c.

`x^2=2x-1 hArr x^2-2x+1=0`

`hArr (x-1)^2=0 hArr x=1`

Gerade und Parabel schneiden sich im Punkt (1; 1).

Hinweis für später: Gerade und Parabel berühren sich in diesem Punkt. Die Gerade ist Tangente an die Parabel.

Aufgabe 8

Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion, deren Gaph den Brückenbogen darstellt (w = 80 m, h= 20 m).

 

Lösung

Der Skizze entnimmt man, dass der Scheitelpunkt bei (0; 0) liegt. Also gilt `f(x)=a*(x-0)^2+0=a*x^2`.

Ein weiterer Punkt ist (40; -20), d. h. `f(40)=-20 hArr a*1600=-20 hArr a=-1/80`

Der Brückenbogen kann durch `f(x)=-1/80*x^2` beschrieben werden.

Aufgabe 9 

Ein Fußballspielr schießt eine Flanke. Die Flugbahn des Balles kann durch folgende Parabel beschrieben werden ; `f(x)=-0,00625x^2+0,25x` beschrieben werden. Dabei ist x die horizontale Entfernung und f(x) die Höhe des Balles über dem Rasen.

  1. Wie hoch ist der Ball, wenn er eine horizontale Entfernung von 5 m zurückgelegt hat?
  2. Welches ist die größte Höhe des Balles.
  3. Ein Mitspieler, dessen Stirn bei einem Kopfball eine Höhe von 2 m erreichen kann, steht 20 m entfernt. Kann er den Ball köpfen?

Lösungen

a.

`f(5)=-0,00625*25+0,25*5~~1,1 m`

Bei einer horizontalen Entfernung von 5 m  beträgt die Höhe des Balles über dem Rasen ca. 1,1 m.

b.

Zu bestimmen ist der Scheitelpunkt. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist identisch mit dem Wert `-p/2` der p-q-Formel. `p=-(0","25)/(0","00625)=-40` (Beachten Sie, dass vor Anwendung der p-q-Formel durch den Vorfaktor von `x^2` dividiert werden muss).

Die größte Höhe des Balles beträgt folglich `-p/2=20` m.

c.

`f(20)=2,5`.

Der Spieler erreicht den Ball zum Köpfen nicht.

 

Aufgabe 10

Um Hühnern freien Auslauf zu bieten, werden oft transportable Käfige (im Bild rot) auf einer Wiese abgestellt und eine rechteckige Futterfläche (im Bild schwarz) eingezäunt. Zur Einzäunung stehen 120 m Zaunmaterial zur Verfügung.

 

  1. Begründen Sie, dass die eingezäunte Fläche (einschließlich des Transportkäfigs) den Flächenninhalt `f(x)=-x^2+60x` hat.
  2. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel. Welche Bedeutung hat er? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis in Bezug auf das Sachproblem.

Quelle: pixabay.com

Lösung

a.

Für eine Längs- und eine Querseite steht zusammen die Hälfte des Zaunmaterials, also 60 m zur Verfügung. Da die Länge der Querseite x beträgt, bleibt für die Längsseite 60-x übrig. Somit hat die eingezäunte Flächen den Inhalt `(60-x)*x=60x-x^2`.

b.

Für die x-Koordinate `x_s` des Scheitelpunktes gilt `x_s=-p/2`. Da `p=-60` (beachten Sie, dass vor Anwendung der p-q-Formel durch den Vorfaktor von `x^2` dividiert werden muss), folgt: `x_s=30`.

Alternativ: `-x^2+60x=0 hArr -x(x-60)=0 hArr x=0 vv x=60`

Da die x-Koordinate des Scheitelpunktes in der Mitte der beiden Nullstellen liegt, folgt `x_s=30`.

Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, ist der y-Wert des Scheitelpunktes der größte Funktionswert.

`f(30)=-30^2+60*30=900`.

Der größte Flächeninhalt, der durch die Einzäunung erreicht werden kann, beträgt 900 m2. Er wird erreicht, wenn ein Quadrat der Seitenlänge 30 m eingezäunt wird.

Aufgabe 11 

Gegeben ist `f(x)=(x+1)^2+1` und `g(x)=m*x+1`. Für welche Steigungen m haben Parabel und Gerade 0, 1, 2 Schnittpunkte? Skizzieren Sie den Sachverhalt.

Lösung

`(x+1)^2+1=m*x+1 hArr x^2+2x+1=m*x hArr x^2+(2-m)*x+1=0`

`x_(1","2)=-(2-m)/2+-sqrt((2-m)^2/4-1)`

`=-(2-m)/2+-sqrt((4-4m+m^2)/4-1)`

`=-(2-m)/2+-sqrt((m^2-4m)/4)`

Ein Schnittpunkt ergibt sich, wenn `m^2-4m=0 hArr m^2=4m hArr m=4 vv m=0`

Für `m=0` (rote Gerade) ergibt sich der Schnittpunkt (-1; 1), also der Scheitelpunkt der Parabel.

Für `m=4` (grüne Gerade) ergibt sich der Schnittpunkt (1;  5).

Hinweis für später: Beide Schnittpunkte werden auch Berührpunkte genannt und die beiden Geraden heißen auch Tangenten an die Parabel.

Um zu untersuchen, für welche m der Ausdruck unter der Wurzel positiv/negativ ist, wird folgende Funktion betrachtet:

`h(m)=m^2-4m`. Hierbei handelt es sich um die Gleichung einer nach oben geöffneten Parabel mit den Nullstellen 0 und 4 (wie soeben berechnet). Daraus folgt, dass alle Funktionswerte von h  für `0 < m < 4` negativ sind. Für `m < 0` und `m > 4` sind die Funktionswerte positiv. Die Funktionswerte von h sind aber gerade die Werte unter der obigen Wurzel und entscheiden folglich darüber, wie viel Schnittpunkte es gibt.

Alle Geraden, die im blauen Bereich verlaufen `(0 < m < 4)`, haben keinen Schnittpunkt mit der Parabel.

Alle Geraden, die im rosa Bereich `(m < 0)` oder im gelben Bereich `(m > 4)` verlaufen, schneiden die Parabel zweimal.

 

 

©2022 NET-SCHULBUCH.DE
09.55  0.3768  7.4.30