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Lineare Funktionen - Lehrtext
Eine Funktion ` f(x) = m x + n` mit `m, n in RR` (d. h. m und n sind irgendwelche reellen Zahlen) heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
In manchen Büchern werden auch andere Bezeichnungen als m und n gewählt.
Beispiele: `f(x)=3x " " (m=3,n=0)` ; `f(x)=-2x+4" " (m=-2,n=4)` ; `f(x)=1/4x-1/2 " "(m=1/4, n=-1/2) `; `f(x)=4 " "(m=0, n=4)`
Bedeutung von m:
m ist die Steigung der Geraden (ein Maß für die "Steilheit"). Ist m positiv, so steigt die Gerade, d.h. bei zunehmenden x-Werten nehmen auch die Funktionswerte zu. Ist m negativ, so fällt die Gerade, d.h. bei zunehmenden x-Werten nehmen die Funktionswerte ab. Ist m=0, so handelt es sich um eine Parallele zur x-Achse.
Man bestimmt die Steigung einer Geraden durch ein Steigungsdreieck.
Bedeutung von n:
n ist der sog. Achsenabschnitt. Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkte (0; n).
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Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse auf der Geraden liegt und dessen Katheten parallel zu den Achsen verlaufen, heißt Steigungsdreieck. Der Quotient aus senkrechter und waagerechter Kathete heißt Steigung (m). Dieser Quotient ist unabhängig von der Größe des Steigungsdreiecks (Strahlensatz!). Bei steigenden/fallenden Geraden ist m mit einem positiven/negativen Vorzeichen zu versehen. Bei Parallelen zur x-Achse gibt es keine senkrechte Kathete bzw. deren Länge ist 0. Daher gilt auch m=0. Im nebenstehenden Bild gilt `m=(1","5)/3=1/2` Die Steigung wird oft auch als Prozentzahl angegeben: `1/2=50/100=50%` Bei einer negativen Steigung spricht man auch von einem Gefälle. Beispielsweise bedeutet eine Steigung von `-8%` ein Gefälle von `8%`. |
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Hier finden Sie eine Geogebra-App (linffunktion), mit welcher der Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung, Steigungsdreieck und Achsenabschnitt visualisiert werden kann. Drücken Sie auf den Button "Ausführen".
Gegeben sind zwei Punkte `P_1(x_1; y_1)` und `P_2(x_2;y_2)` mit `x_1!=x_2`. Es soll die Gleichung der linearen Funktion bestimmt werden, deren Graph durch diese Punkte verläuft.
Berechnung der Steigung m:
| Sind `P_1(x_1; y_1)` und `P_2(x_2;y_2)` zwei Punkte der Geraden, dann gilt für die Steigung `m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)` |  |
Beispiel:
`P_1(3; 0","5)` und `P_2(5; 1","5)` (siehe Bild)
`m=(1","5-0","5)/(5-3)=0","5`
Berechnung des Achsenabschnitts n:
`f(x)=0","5x+n`
Da `f(5)=1","5` folgt `1","5=0","5·5+n hArr n=-1`.
Ergebnis: `f(x)=0","5x-1`
Hinweis:
Bei einer Parallelen zur x-Achse gilt `y_2=y_1` und folglich hat m den Wert 0.
Bei einer Paralellen zur y-Achse gilt `x_2=x_1`. Folglich ist m nicht definiert, da der Nenner von m den Wert 0 hat. Eine solche Gerade ist daher auch nicht der Graph einer linearen Funktion.
In einem Steigungsdreieck heißt der Winkel zwischen der Hypotenuse und der waagerechten Kathete Steigungswinkel. Bei steigenden/fallenden Geraden wird er mit einem positiven/negativen Vorzeichen versehen. Liegt ein negativer Steigungswinkel vor, so spricht man auch von einem Fallwinkel. Beispielsweise bedeutet ein Steigungswinkel von -30° ein Fallwinkel von 30°.
Zwischen Steigung m und Steigungswinkel `alpha` gilt folgende Beziehung: `tan alpha=m` und `m=arctan alpha`. Auf einem Taschenrechner findet sich für `arctan` oft die Bezeichnung `tan^(-1)`.
Beispiel:
`f(x)=2x-3`
`tan alpha = 2 hArr alpha = arctan 2 ~~63,4°`
Gegeben ist `f(x)=m*x+n` mit `m!=0`
Schnittpunkt S mit der x-Achse (Funktionswert ist 0): `m*x+n=0 hArr x=-n/m`, also `S(-n/m;0)`. `-n/m` heißt auch Nullstelle.
Schnittpunkt P mit der y-Achse (x-Wert ist 0), also `P(0;n)`.
Im Sonderfall `m=0` ist die Gerade entweder identisch mit der x-Achse oder sie ist echt parallel zur x-Achse. Im letzteren Fall gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Der Schnittpunkt zweier Geraden berechnet sich, indem man die Funktionsterme gleich setzt und die so entstandene lineare Gleichung löst.
Beispiel:
`f(x)=2x-5` und `g(x)=-x+4`
`2x-5=-x+4 hArr x=3`
`f(3)=g(3)=1`. Also ist der Schnittpunkt `(3; 1)`.
Gegeben ist eine lineare Funktion f(t), welche einer Zeit t einen zurückgelegten Weg zuordnet: f: t→f(t). Die Steigung der zugehörigen Geraden entspricht dann der Geschwindigkeit. Wird die Zeit in Sekunden (s) und der zurückgelegte Weg in Metern (m) angegeben, dann ist die Einheit für die Geschwindikeit `m/s`.
Beispiel:
| `m=(f(5)-f(2))/(5-2)=(110-50)/3=60/3=20` `(m/s)` |  |
Regel:
Stehen an den Koordinatenachsen Größen mit Einheiten, so hat auch die Steigung eine Einheit, nämlich `"Steigungseinheit der y-Achse"/"Steigungseinheit der x-Achse"`. Liegt ein Weg-Zeit-Diagramm vor und sind auf der y-Achse km abgetragen und auf der x-Achse min, so ergibt sich als Steigung die Geschwindigkeit in `(km)/(min)` bzw. nach Umrechnung `(km)/h`. Je nach Achseneinheiten kann sich auch `m/s` als Einheit der Geschwindigkeit ergeben.
Umrechnungen:
`1 (km)/h=("1000 m")/h=("1000 m")/("3600 s")=1000/3600 m/s=1/(3","6)m/s` (Division der Maßzahl durch 3,6)
`1 m/s=("3600 m")/h =("3,6 km")/h="3,6" (km)/h` (Multiplikation der Maßzahl mit 3,6)
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Das Verkehrsschild rechts zeigt eine starke Straßensteigung an. Es besagt, dass die Straße auf 100 m horizontale Entfernung um 12 m ansteigt. Es zeigt also – entgegen dem ersten Blick auf die Prozentzahl und auf das schräge Dreieck – einfach die bekannte Geradensteigung an.
Beispiel: siehe Aufgabe 3 im Aufgabenteil 2 |
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Ausführliche Anleitungen zu (weiteren) Grundaufgaben mit linearen Funktionen finden Sie hier.