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Startseite Qualifikationsphase Analysis LK: Funktionenscharen
LK: Funktionenscharen - Aufgaben 1
Aufgabe I1 |
Untersuchen Sie die folgenden Funktionsscharen. Bestimmen Sie dazu die Symmetrie, Nullstellen, relative Extrema, Wendepunkte und das Verhalten der Funktionen für `x-> +- oo`. Bestimmen Sie auch - sofern möglich - die Graphen der Funktionen, auf denen die relativen Extrema und die Wendepunkte liegen.
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Aufgabe I2 |
Gegeben ist die ganzrationale Funktionenschar fa mit fa(x) = ax3 - ax2 + x mit a > 0.
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Aufgabe I3 |
Gegeben ist die kleine Funktionenschar `f_a` durch `f_a(x) = a^3*(x - 1/a)*(x + 1/a)` mit `a != 0`.
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Aufgabe A1 | |
Die folgenden Funktionen modellieren das Wachstum von Wildkräutern: `f_a (x) = 144/a^2 x^3 - 288/ax^2 + 144x` für `(1 ≤ a ≤ 3)` stellt die jeweilige Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Monat dar. `(x <= a)` Jede Pflanze besitzt demnach ein individuelles a für ihr Wachstum. Fertigen Sie eine begleitende Skizze in einem Koordinatensystem für `a = 2` an.
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Aufgabe A2 | |
Gegeben sind die reellen Funktionen `f_a` durch `f_a(x) = ax*e^(-2x) (a > 0)`. Diese Funktionen sind ein Modell für die Einleitung eines Fremdstoffes in ein Gewässer, wobei die Funktionswerte `f_a(x)` den momentanen Zufluss in m³ pro Stunde angeben und x die Zeit in Stunden angibt. Der jeweils feste Parameter a ist ein Wert, der die Intensität der Einleitung beschreibt.
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Aufgabe A3 | |
Bei der Herstellung von Enzymen spielen in der Biotechnologie Bakterien eine entscheidende Rolle. In den Anfängen der Biotechnologie ließen sich diese Enzyme mit Hilfe der Bakterien herstellen, bei denen sie natürlicherweise vorkommen. Inzwischen ist es durch gentechnische Maßnahmen möglich Enzyme auch von ganz anderen Bakterien herstellen zu lassen. Hierbei wählt man vor allem Bakterien, deren Vermehrungssicherheit und -geschwindigkeit sehr hoch ist. Die Enzyme werden vor allem in der Medizin und der Nahrungsmittelindustrie als Katalysatoren biologischer Prozesse benötigt. Die Abläufe der enzymproduzierenden Prozesse in den Bakterien sind stark von der Temperatur abhängig, niedrige Temperaturen verhindern oder verlangsamen viele biologische Prozesse, zu hohe Temperaturen zerstören z.B. Eiweißstrukturen. Zur Darstellung dieser Temperaturabhängigkeit werden mathematische Funktionsmodelle genutzt um optimale Temperaturen für bestimmte von Stoffparametern abhängige Herstellungsprozesse zu berechnen. Einen dieser Prozesse stellt das ADM1 dar, das durch Funktionsmodelle untersucht wird. Diese Modelle sind normalerweise mit vier Parametern belegt, die die Temperaturabhängigkeiten beschreiben. (analog zur Bateman-Funktion bei der Aufnahme und dem Abbau von Fremdstoffen im Körper) In einem vereinfachten Funktionenmodell soll diese Arbeitsweise der Modellbetrachtung hier erfolgen.
Grundlage des Modells bildet die Funktionenschar `f_a(x) = (60 - x)*e^(a*(x-60)) [a > 0]`. Dabei bildet der Wert 60 (in °C ) das Verhalten des biologischen Prozesses und der Parameter a die Stoffkonstante des untersuchten Enzyms ab. Die Variable x gibt den Temperaturverlauf, der Funktionswert `f_a(x)` die Wachstumsrate des Bakterienstammes an.
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Quelle: Auszug aus der o.a. Dissertation (2011): Seiten I / (19) |