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Potenzfunktionen - Lehrtext
Eine Funktion mit der Gleichung `f(x)=a*x^r` mit `a in RR` und `r in RR` heißt Potenzfunktion.
Potenzfunktionen mit einer Bruchzahl als Exponent heißen auch Wurzelfunktionen.
Da sich Definitions- und Wertebereich sowie das Aussehen der Funktionsgraphen deutlich voneinander unterscheiden, wird eine Unterteilung in Abhängigkeit vom Exponenten `r` vorgenommen.
Die Auswirkungen des Faktors a auf den Graphen sind dieselben wie bei den quadratischen Funktionen und werden dort in dem entsprechenden Kapitel erläutert.
Für die nachfolgende Übersicht gilt `a=1`.
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Die Graphen sehen im Prinzip so aus wie rechts im Bild. Die Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert (in Symbolik: `D=RR`). Alle nicht negativen reellen Zahlen treten als Funktionswerte auf (in Symbolik: `W=RR_0^+`). Die Graphen verlaufen durch (-1; 1), (0; 0) und (1; 1) und sind symmetrisch zur y-Achse. Je größer der Exponent ist, um so schmaler wird die Öffnung bzw. desto "steiler" sind sie für `x < -1` und `x > 1`, also für `|x| > 1`. Je größer der Exponent ist, um so näher liegt der Graph zur x-Achse für `|x| < 1` |
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Die Graphen sehen im Prinzip so aus wie rechts im Bild. Die Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert (in Symbolik: `D=RR`). Alle reellen Zahlen treten als Funktionswerte auf (in Symbolik: `W=RR`). Die Graphen verlaufen durch (-1; -1), (0; 0) und (1; 1) und sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Je größer der Exponent ist, um so "steiler" sind sie für `x < -1` und `x > 1`, also für `|x| > 1`. Je größer der Exponent ist, um so näher liegt der Graph zur x-Achse für `|x| < 1` |
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Die Graphen sehen im Prinzip so aus wie rechts im Bild. Die Funktionen sind für alle reellen Zahlen außer 0 definiert (in Symbolik: `D=RR"\"{0}`). Alle positiven reellen Zahlen treten als Funktionswerte auf (in Symbolik: `W=RR^+`). Die Graphen verlaufen durch (-1; 1) und (1; 1) und sind symmetrisch zur y-Achse. Je größer n ist, um so geringer ist der Abstand des Graphen zur x-Achse für `x < -1` und `x > 1`, also für `|x| > 1`. Je größer der Exponent ist, um so größer ist der Abstand des Graphen zur y-Achse für `|x| < 1` |
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Die Graphen sehen im Prinzip so aus wie rechts im Bild. Die Funktionen sind für alle reellen Zahlen außer 0 definiert (in Symbolik: `D=RR"\"{0}`). Alle reellen Zahlen außer 0 treten als Funktionswerte auf (in Symbolik: `W=RR"\"{0}`). Die Graphen verlaufen durch (-1; -1) und (1; 1) und sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Je größer n ist, um so geringer ist der Abstand des Graphen zur x-Achse für `x < -1` und `x > 1`, also für `|x| > 1`. Je größer n ist, um so größer ist der Abstand des Graphen zur y-Achse für `|x| < 1`. |
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Die Graphen sehen im Prinzip so aus wie rechts im Bild. Die Funktionen sind für alle nicht negativen reellen Zahlen definiert (in Symbolik: `D=RR_0^+`). Alle nicht negativen reellen Zahlen treten als Funktionswerte auf (in Symbolik: `W=RR_0^+`). Die Graphen verlaufen durch (0; 0) und (1; 1). Je größer der Exponent ist, um so "steiler" sind sie für `x > 1`. Je größer der Exponent ist, um so geringer ist der Abstand zur x-Achse für `0 <= x < 1`. Im Kapitel über Potenzen wurde erläutert, weshalb als Radikanden (Zahl unter der Wurzel) nur nicht negative Zahlen zugelassen sind. |
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Die Graphen sehen im Prinzip so aus wie rechts im Bild. Die Funktionen sind für alle nicht negativen reellen Zahlen definiert (in Symbolik: `D=RR_0^+`). Alle nicht negativen reellen Zahlen treten als Funktionswerte auf (in Symbolik: `W=RR_0^+`). Die Graphen verlaufen durch (0; 0) und (1; 1). Je größer `n/m` ist, um so "steiler" sind sie für `x > 1`. Je größer `n/m` ist, um so geringer ist der Abstand zur x-Achse für `0 <= x < 1`. Im Kapitel über Potenzen wurde erläutert, weshalb als Radikanden (Zahl unter der Wurzel) nur nicht negative Zahlen zugelassen sind. |
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Die Graphen sehen im Prinzip so aus wie rechts im Bild. Die Funktionen sind für alle positiven reellen Zahlen definiert (in Symbolik: `D=RR^+`). Alle positiven reellen Zahlen treten als Funktionswerte auf (in Symbolik: `W=RR^+`). Die Graphen verlaufen durch (1; 1). Je kleiner `-n/m` ist, um so kleiner ist der Abstand des Graphen von der x-Achse für `x > 1`. Je kleiner `-n/m` ist, um so größer ist der Abstand des Graphen von der y-Achse für `0 < x < 1`. Im Kapitel über Potenzen wurde erläutert, weshalb als Radikanden (Zahl unter der Wurzel) nur nicht negative Zahlen zugelassen sind. |
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Manche Funktionenplotter geben für `f(x)=root(3)(x)` den nebenstehenden Graphen aus. Da aus guten Gründen die Vereibarung gilt, dass unter einer Wurzel keine negative Zahl stehen darf, gibt es hier keinen "geschlossenen" Term für diesen Graphen. Es wird daher eine abschnittsweise Definition benötigt: Roter Ast: `f(x)=-(-x)^(1/3)=-root(3)(-x)` (für `x < 0`) Schwarzer Ast: `f(x)=x^(1/3)=root(3)(x)` (für `x >= 0`) In Kurzform: `f(x)={(-root(3)(-x),für \ x<0),(root(3)(x),für \ x>=0):}` |
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Als Exponent ist jede beliebige reelle Zahl zugelassen, z.B. Beispiel `f(x)=x^(sqrt(2))`. Der fachliche Zusammenhang zu den gebrochenen Exponenten wird in der Qualifikationsphase erläutert.
Ersetzt man in einer Funktionsgleichung x durch x-c (x+c) und y durch y-d (y+d), so bedeutet dies eine Verschiebung des Funktionsgraphen um c Einheiten nach rechts (links) und d Einheiten nach oben (unten).
Beispiel:
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`y=x^4` `y+3=(x-2)^4` (3 Einheiten nach unten, 2 Einheiten nach rechts) `hArr y=(x-2)^4-3` |
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