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Lineare Gleichungssysteme - Lösungen

Lösung Aufgabe 1

Klicken Sie die richtige Aussage an

Lösungen

`4x-y=2` und `-2x+y=0`

`x=1` und `y=2`

`4x-y=2x` und `4x-2y=1`

`hArr 4x-2y=0` und `4x-2y=1`

Das System ist nicht lösbar.

`4x-y=2` und `-2x+0","5y=-1`

Das System hat genau eine Gerade als Lösung, da die 2. Gleichung ein Vielfaches der 1. Gleichung ist.

`2(x-3)+4y+10=4(x+y+1)-2x` und `3(x+2y)+6=3x+6(y+1)`

`hArr 2x+4y+4=2x+4y+4` und `3x+6y+6=3x+6y+6`

Das System ist allgemeingültig.

Lösung Aufgabe 2

Aufgabe 2

Welcher Rechenschritt führt zu einer Gleichung mit einer reduzierten Anzahl von Variablen. Klicken Sie die richtigen Aussagen an.

a. I: `4x+5y=6` II:`-2x-5y=4`
b. I: `y=2x-8` II:`y=-3x+6`
c. I:`-3x-4y=3` II:`-4x-3y=-3`
d. I: `x+y+z=5` II: `x-2y-z=-6` III:`x+6y+4z=12`
e. I: `x+y+z=5` II: `-3x-2y-4z=-10` III: `-2x+6y+4z=12`
f. I: `5x+5y+z=8` II: `-3x-2y-4z=-10` III: `-2x+6y+4z=12`
g. I: `y=x-z` II: `y=3x+z-8` III: `-2x+6y+4z=12`

Lösung Aufgabe 3

Aufgabe 3

Klicken Sie an, welche Gleichung aus dem angegebenen System hergeleitet werden kann.

a. I: `4x+5y=6` II:`-2x-5y=4`
b. I: `y=2x-8` II:`y-3x+6=0`
c. I:`-3x-4y=3` II:`-4x-3y=-3`
d. I: `x+y+z=5` II: `x-2y-z=-6` III: `x+6y+4z=12`
e. I: `5x+5y+z=11` II: `-3x-2y-4z=-9` III: `-2x+6y+4z=8`
f. I:`y=x-z` II: `y=3x+z-8` III: `-2x+6y+4z=12`

Lösung Aufgabe 4

Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme:

`4x+5y=6`
`-2x-5y=4`
`y=2x-8`
`y=-3x+6`
`-3x-4y=3`
`-4x-3y=-3`

Lösungen

I: `4x+5y=6` II:`-2x-5y=4`
III: `-5y=14` `y=-2","8`	I + 2·II
I: `4x+5·(-2","8)=6` `4x=20` `x=5`	Einsetzen von y aus III in I Vereinfachen
`x=5 ^^ y=-2","8`

I: `y=2x-8` II: `y=-3x+6`
III: `2x-8=-3x+6` `5x=14` `x=2","8`	Gleichsetzen der rechten Terme von I und II Vereinfachen
I: `y=2·2","8-8` `y=-2","4`	Einsetzen von x aus III in I Vereinfachen
`x=2","8 ^^ y=-2","4`

I: `-3x-4y=3` II:`-4x-3y=-3`
III: `-7y=21` `y=-3`	4·I - 3·II Vereinfachen
II: `-4x+9=-3` `-4x=-12` `x=3`	Einsetzen von y aus III in I Vereinfachen
`x=3 ^^ y=-3`

Lösung Aufgabe 5

Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme:

`x+y+z=5`
`x-2y-z=-6`
`x+6y+4z=12`
`5x+5y+z=8`
`-3x-2y-4z=2`
`-2x+6y+4z=-12`
`b=a-c`
`b=3a+c-8`
`-2a+6b+4c=12`

Lösungen:

I: `x+y+z=5` II: `x-2y-z=-6` III: `x+6y+4z=12`
IV: `3y+2z=11` V: `-5y-3z=-7`	I - II I - III
VI: `z=34`	5·IV + 3·V
IV: `3y+68=11` `3y=-57` `y=-19`	Einsetzen von z aus VI in IV Vereinfachen
I: `x-19+34=5` `x=-10`	Einsetzen von y aus IV und z aus VI in I Vereinfachen
`x=-10 ^^ y=-19 ^^ z=34`

I: `5x+5y+z=8` II: `-3x-2y-4z=2` III:`-2x+6y+4z=-12`
IV: `17x+18y=34` V: `-5x+4y=-10`	4·I + III II + III
VI: `158y=0` `y=0`	5·IV + 17·V Vereinfachen
V: `-5x+4*0=-10` `x=2`	Einsetzen von y aus VI in V Vereinfachen
I: `52+50+z=8` `z=-2`	Einsetzen von x aus V und y aus VI in I Vereinfachen
`x=2 ^^ y=0 ^^ z=-2`

I: `b=a-c` II: `b=3a+c-8` III: `-2a+6b+4c=12`
IV: `a-c=3a+c-8` `-2a=2c-8` `a=-c+4`	Gleichsetzen der rechten Terme von I und II Vereinfachen
V: `-2a+6(a-c)+4c=12` `4a-2c=12` `2a-c=6`	In III ersetzen von b durch den rechten Term aus I Vereinfachen
VI: `2(-c+4)-c=6` `-3c=-2` `c=2/3`	In V ersetzen von a durch den rechten Term aus IV Vereinfachen
IV: `a=-2/3+4` `a=10/3`	Einsetzen von c aus VI in IV Vereinfachen
I: `b=10/3-2/3` `b=8/3`	Einsetzen von a aus IV und c aus VI in I Vereinfachen
`a=10/3 ^^ b=8/3 ^^ c=2/3`

Lösung Aufgabe 6

Auf einem Bauerhof leben Schweine und Hühner, insgesamt 40 Tiere mit insgesamt 110 Beinen. Wie viel Schweine und wie viel Hühner leben auf dem Bauernhof?

Quelle: pixabay.com

Lösung

s: Anzahl der Schweine; h: Anzahl der Hühner

I: `s+h=40`

II: `4s+2h=110`

III: `4(40-h)+2h=110` (Auflösen von I nach h und Einsetzen des Terms in II)

`160-2h=110`

`50=2h`

`h=25`

I: `s+25=40` (Einsetzen von h in I)

`s=15`

Auf dem Bauernhof leben 15 Schweine und 25 Hühner.

Alternative ohne LGS:

Angenommen, alle 40 Tiere wären Schweine. Dann müssten es 160 Beine sein. Dies wären 50 Beine zuviel, die folglich zu den Hühner gehören müssten. Das macht dann 25 Hühner. Bleiben noch 15 Schweine übrig.

Lösung Aufgabe 7

Ein Weingroßhändler ordert von drei verschiedenen südafrikanischen Weingütern Wein in unterschiedlichen Flaschengrößen, der zu verzollen ist. Der Zoll berechnet sich nach der Menge des jeweils bestellten Weines.
Vom 1. Weingut bestellt er 600 Flaschen der Größe 1, 100 Flaschen der Größe 2 und 30 Flaschen der Größe 3, was insgesamt 690 Liter zu verzollenden Wein ergibt.
Vom 2. Weingut werden 500 Flaschen der Größe 1, 200 Flaschen der Größe 2 und 10 Flaschen der Größe 3 geordert. Dies ergibt eine Weinmenge von 705 Litern.
Die 3. Bestellung umfasst schließlich 1000 Flaschen der Größe 1, 300 Flaschen der Größe 2 und 50 Flaschen der Größe 3 in einer Gesamtmenge von 1350 Litern.
Um welche Flaschengrößen handelt es sich?

Quelle. pixabay.com