Quelle: https://nwm2.net-schulbuch.de/index.phpDruckversion vom 25.04.2024 13:25 Uhr
Startseite Vorkurs Terme - Gleichungen - Funktionen Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme - Lehrtext
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus n linearen Gleichungen mit n ≥ 2. In jeder Gleichung kommen höchstens n Variablen (jeweils mit dem Exponenten 1) vor. Systeme, bei denen die Anzahl der Gleichungen geringer ist als die Anzahl der Variablen, werden hier nicht behandelt.
Beispiel:
`2x + 3y - z = 5`
`4x - 5y = -6`
`-x + y + 5x = 16`
Mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen löst man, in dem man sie schrittweise reduziert bis nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrig ist. Z. B. werden aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen zunächst 2 Gleichungen mit 2 Variablen gemacht. Aus diesem System mit zwei Variablen wird eine Gleichung mit einer Variablen hergeleitet. Diese löst man und bestimmt "rückwärts" die Größe der anderen Variablen.
Nachfolgend werden verschiedene Verfahren für die Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS) mit zwei und dann mit drei Variablen vorgestellt. Zuerst wird eine mathematisch korrekte, ausführliche Schreibweise verwendet. Dabei handelt es sich um Äquivalenzumformungen, die später im Rahmen der Analytischen Geometrie Grundlage des Gauss-Verfahrens sind. Üblich ist aber auch die sich anschließende verkürzte Darstellung.
Sie haben das Gleichsetzungsverfahren bereits beim Bestimmen des Schnittpunkts zweier Geraden kennengelernt.
Beispiel:
| Gleichungssystem | Erläuterung |
|---|---|
| `y=2x-4` `\color{red}{y=-3x+6}` |
|
| `hArr` `y=2x-4` `2x-4\color{red}{=-3x+6}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Ersetzen der 2. Gleichung durch Gleichsetzen der beiden rechten Terme |
| `hArr` `y=2x-4` `\color{red}{5x=10}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Termumformen bei der 2. Gleichung |
| `hArr` `y=2x-4` `\color{red}{x=2}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Termumformen bei der 2. Gleichung |
| `hArr` `y=2*\color{red}{2}-4` `\color{red}{x=2}` |
Ersetzen von x in der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung |
| `hArr` `y=0` `\color{red}{x=2}` |
Termumformen bei der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung |
| `L={(2; 0)}` | Evtl. Notieren als Lösungsmenge |
| Gleichungssystem | Erläuterung |
|---|---|
| I: `y=2x-4` II: `y=-3x+6` |
|
| III: `2x-4=-3x+6` `5x=10` `x=2` |
Gleichsetzen der beiden rechten Terme Termumformen und Lösen der Gleichung |
| I: `y=2*2-4=0` | Einsetzen von x in die 1. Gleichung und Lösen der Gleichung |
| `x=2 ^^ y=0` bzw. `L={(2; 0)}` | Angabe der Lösung bzw. der Lösungsmenge |
Ist nur eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst, so bietet sich das Einsetzungsverfahren an.
Beispiel:
| Gleichungssystem | Erläuterung |
|---|---|
| `y=-2x-4` `\color{red}{4x+3y=8}` |
|
| `hArr` `y=-2x-4` `\color {red}{4x+3}(-2x-4)\color{red}{=8}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Einsetzen von y in die 2. Gleichung |
| `hArr` `y=-2x-4` `\color {red}{-2x-12=8}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Termumformen bei der 2. Gleichung |
| `hArr` `y=-2x-4` `\color {red}{x=-10}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Termumformen bei der 2. Gleichung |
| `hArr` `y=-2*\color{red}{(-10)}-4` `\color {red}{x=-10}` |
Einsetzen von x in die 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung |
| `hArr` `y=16` `\color {red}{x=-10}` |
Termumformen bei der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung |
| `L={(-10; 16)}` | Evtl. Angabe als Lösungsmenge |
| Gleichungssystem | Erläuterung |
|---|---|
| I: `y=-2x-4` II: `4x+3y=8` |
|
| III: `4x+3(-2x-4)=8` `4x-6x-12=8` `-2x=20` `x=-10` |
Einsetzen von y in die 2. Gleichung Termumformen und Lösen der Gleichung |
|
I: `y=-2*(-10)-4` |
Einsetzen von x in die 1. Gleichung und Lösen der Gleichung |
| `x=-10 ^^ y=16` bzw. `L={(-10; 16)}` | Angabe der Lösung bzw. der Lösungsmenge |
Ist keine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst, so bietet sich das Additionsverfahren bzw. Subtraktionsverfahren an.
Beispiel:
| Gleichungssystem | Erläuterung |
|---|---|
| `3x+4y=-6` `\color{red}{-4x-7y=13}` |
|
| `hArr` `12x+16y=-24` `\color{red}{-12x-21y=39}` |
Multiplikation der 1. Gleichung mit 4 und der 2. Gleichung mit 3, um in beiden Gleichungen bis auf das Vorzeichen gleiche x-Terme herzustellen. |
| `hArr` `3x+4y=-6` `12x+16y+\color{red}{(-12x-21y)}=-24+\color{red}{39}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Ersetzen der 2. Gleichung durch die Summe des 4-fachen der 1. Gleichung und des 3-fachen der 2. Gleichung |
| `hArr` `3x+4y=-6` `12x+16y\color{red}{-12x-21y}=-24+\color{red}{39}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Termumformen der 2. Gleichung |
| `hArr` `3x+4y=-6` `\color{red}{-5y=15}` |
Beibehaltung der 1. Gleichung Termumformen bei der 2. Gleichung |
| `hArr` `3x+4y=-6` `\color{red}{y=-3}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Termumformen bei der 2. Gleichung |
| `hArr` `3x+4*\color{red}{(-3)}=-6` `\color{red}{y=-3}` |
Einsetzen von y in die 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung |
| `hArr` `3x=6` `\color{red}{y=-3}` |
Termumformen bei der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung |
| `hArr` `x=2` `\color{red}{y=-3}` |
Termumformen bei der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung |
| `x=2 ^^ y=-3` bzw. `L={(2; -3)}` | Angabe der Lösung bzw. der Lösungsmenge |
| Gleichungssystem | Erläuterung |
|---|---|
| I:`3x+4y=-6` II:`-4x-7y=13` |
|
| I:`12x+16y=-24` II:`-12x-21y=39` |
4·I 3·II |
| III: `16y-21y=-24+39` `-5y=15` `y=-3` |
III=4*I + 3*II Lösen der Gleichung III |
| I: `3x-12=-6` `3x=6` `x=2` |
Einsetzen von y in Gleichung I Lösen der Gleichung I |
| `x=2 ^^ y=-3` bzw. `L={(2; -3)}` | Angabe der Lösung bzw. der Lösungsmenge |
1. Sind die beiden Gleichungen äquivalent (wenn sie z.B. durch Multiplikation mit einer Zahl auseinander hervorgehen), dann stellen sie dieselbe Gerade dar. Folglich gibt es unendlich viele Lösungen, nämlich die Koordinaten aller Punkte der zugehörigen Gerade.
Beispiel:
`2x-4y=6 ^^4x-8y=12`
`hArr 2x-4y=6 hArr -4y=-2x+6 hArr y=0,5x-1,5`
`L={(x; y) " mit" y=0,5x-1,5}`
2. Stellen die beiden Gleichungen zwei echt parallele Geraden dar, dann ist das System nicht lösbar.
Beispiel:
`2x-4y=6 ^^ 2x-4y=4`
`hArr y=0,5x-1,5 ^^ y=0,5x-1`
`L={}`
3. Im folgenden exotischen Beispiel erfüllen alle Punkte der Ebene `RR^2` das Gleichungssystem (das System ist allgemeingültig).
`2(x+3)+3y=2x+3y+6 ^^ x+2(y-1)=x+2y-2`
`hArr 0=0 ^^ 0=0`
`L=RR^2`
Beispiel:
| Gleichungssystem | Erläuterung |
|---|---|
| `y=2x-3z+9` `\color{red}{y=-4x+2z}` `\color{green}{-5x+6y-2z=1}` |
|
| `hArr` `y=2x-3z+9` `2x-3z+9=\color{red}{-4x+2z}` `\color{green}{-5x+6}(2x-3z+9)\color{green}{-2z=1}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Gleichsetzen der rechten Terme aus 1. und 2. Gleichung Ersetzen von y durch den rechten Term der 1. Gleichung |
| `hArr` `y=2x-3z+9` `\color{red}{6x-5z=-9}` `\color{green}{7x-20z=-53}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Termumformen der 2. Gleichung Termumformen der 3. Gleichung |
| `hArr` `y=2x-3z+9` `\color{red}{z=6/5*x+9/5}` `\color{green}{7x-20z=-53}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Auflösen der 2. Gleichung nach z Beibehalten der 3. Gleichung |
| `hArr` `y=2x-3z+9` `\color{red}{z=6/5x+9/5}` `\color{green}{7x-20}\color{red}{(6/5x+9/5)}=\color{green}{-53}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung Ersetzen von z durch den rechten Term der 2. Gleichung |
| `hArr` `y=2x-3z+9` `\color{red}{z=6/5x+9/5}` `\color{green}{7x-24x-36=-53}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung Termumformen der 3. Gleichung |
| `hArr` `y=2x-3z+9` `\color{red}{z=6/5x+9/5}` `\color{green}{x=1}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung Termumformen der 3. Gleichung |
| `hArr` `y=2x-3z+9` `\color{red}{z=3}` `\color{green}{x=1}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Ersetzen von x in der 2. Gleichung und Vereinfachen Beibehalten der 3. Gleichung |
| `hArr` `y=2` `z=3` `x=1` |
Ersetzen von x und z in der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung Beibehalten der 3. Gleichung |
| Gleichungssystem | Erläuterung |
|---|---|
| I: `y=2x-3z+9` II: `y=-4x+2z` III: `-5x+6y-2z=1` |
|
| IV: `2x-3z+9=-4x+2z` `6x-5z=-9` `z=6/5x+9/5` |
Gleichsetzen der rechten Terme der Gleichungen I und II Auflösen nach z |
| V: `-5x+6(-4x+2z)-2z=1` `-29x+10z=1` `-29x+10(6/5x+9/5)=1` `-17x+18=1` `x=1` |
In der Gleichung III ersetzen von y durch den rechten Term der Gleichung II - dann Termumformung Ersetzen von z durch den rechten Term von Gleichung IV Auflösen nach x |
| IV: `z=6/5*1+9/5` `z=3` |
In der Gleichung IV einsetzen von x Vereinfachen |
| I: `y=2-9+9` `y=2` |
In Gleichung I einsetzen von x und z Auflösen nach y |
| `x=1 ^^ y=2 ^^ z=3` | Angabe der Lösung |
Beispiel:
| Gleichungssystem | Erläuterung des Schrittes |
|---|---|
| `-2x+y+3z=9` `\color{red}{3x+4y-z=8}` `\color {green}{-5x+6y-2z=1}` |
|
| `hArr` `-2x+y+3z=9` `4*(-2x+y+3z)-\color{red}{(3x+4y-z)}=4*9-\color{red}{8}` `6*(-2x+y+3z)-\color{green}{(-5x+6y-2z)}=6*9-\color{green}{1}` |
|
| `hArr` `-2x+y+3z=9` `\color{red}{-11x+13z=28}` `\color{green}{-7x+20z=53}` |
|
| `hArr` `-2x+y+3z=9` `\color{red}{-11x+13z=28}` `7*\color{red}{(-11x+13z)}-11*\color{green}{(-7x+20z)}=7*\color{red}{28}-11*\color{green}{53}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung Ersetzen der 3. Gleichung durch die Differenz des 7-fachen der 2. Gleichung und des 11-fachen der 3. Gleichung |
| `hArr` `-2x+y+3z=9` `\color{red}{-11x+13z=28}` `\color{green}{-129z=-387}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung Termumformen bei der 3. Gleichung |
| `hArr` `-2x+y+3z=9` `\color{red}{-11x+13z=28}` `\color{green}{z=3}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung Termumformen bei der 3. Gleichung |
| `hArr` `-2x+y+3z=9` `\color{red}{-11x+13*}\color{green}{3}\color{red}{=28}` `\color{green}{z=3}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Einsetzen von z in die 2. Gleichung Beibehalten der 3. Gleichung |
| `hArr` `-2x+y+3z=9` `\color{red}{-11x=-11}` `\color{green}{z=3}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Termumformen bei der 2. Gleichung Beibehalten der 3. Gleichung |
| `hArr` `-2x+y+3z=9` `\color{red}{x=1}` `\color{green}{z=3}` |
Beibehalten der 1. Gleichung Termumformen bei der 2. Gleichung Beibehalten der 3. Gleichung |
| `hArr` `-2*\color{red}{1}+y+3*\color{green}{3}=9` `\color{red}{x=1}` `\color{green}{z=3}` |
Einsetzen von x und z in die 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung Beibehalten der 3. Gleichung |
|
`hArr` |
Termumformen bei der 1. Gleichung Beibehalten der 2. Gleichung Beibehalten der 3. Gleichung |
| Gleichungssystem | Erläuterung |
|---|---|
|
I:`-2x+y+3z=9` |
|
| IV: `-11x+13z=28` V: `-7x+20z=53` |
4·I - II, damit y verschwindet 6·I - III, damit y verschwindet |
| VI: `-129z=-387` `z=3` |
7·IV - 11·V, damit x verschwindet Termumformen |
| IV: `-11x+39=28` `x=1` |
Einsetzen von z in Gleichung IV Termumformen |
| I: `-2+y+9=9` `y=2` |
Einsetzen von x und z in Gleichung I Termumformen |
| `x=1 ^^ y=2 ^^z=3` | Angabe der Lösung |
Da für Untersuchung von Sonderfällen Kenntnisse der Analytischen Geometrie (aus der Qualifikationsphase) erforderlich sind, werden Sonderfälle hier nicht thematisiert.