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Seite: dbc_loesungen
Diese Seite wurde aktualisiert am 28.04.2022

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Quelle: https://nwm2.net-schulbuch.de/index.php
Druckversion vom 28.09.2022 12:44 Uhr
Startseite Vorkurs Terme - Gleichungen - Funktionen Lineare Gleichungen

 

Lineare Gleichungen - Lösungen

 

Lösungen:

a.

`4(x-2)=2(x+3) hArr 2x=14`, also `L={7}`

b.

`5x-4 = 2(x-2) hArr 3x=0`, also  `L={0}`

c.

`5x-4 = 5(x-2) hArr -4=-10`, also  `L={}`

d.

`3(5-x)+x=15-2x hArr 15=15`, also `L=R`

Aufgabe 2 

Klicken Sie die richtigen Aussagen an (x ist Lösungsvariable):

 

a.
`x*(x-4)=2x+3`
b.
`5*(x+8)-3(x-6)=7`
c.
`5/x+x=7x`
d.
`3*x<=2*x+4`
e.
`x/a+5=3(x+2)`
f.
`x*a^2=4`

Bringen Sie die Schritte in die richtige Reihenfolge:


Lösung

`-3(x+6)-2(6-x)=4(-x-2)-7x`

`-3x-18-12+2x=-4x-8-7x`

`-x-30=-11x-8`

`10x=22`

`x=2","2`

Welche Gleichungen sind nicht äquivalent zur jeweils vorhergehenden Gleichung. Geben Sie die Nummern im nachfolgenden Lückentext aufsteigend geordnet ein.

`-9(3-x)^2+14=-3x(10+3x)-23`    (1)

`hArr -81+54x-9x^2+14=-30x-9x^2-23`  (2)

`hArr -95+54x=-30x-23`    (3)

`hArr 24x=72`   (4)

`hArr x=3`       (5)

Lösung

Die Gleichungen mit den Nummern 3 und 4 sind nicht äquivalent zur jeweils vorhergehenden Gleichung.

Richtig wäre:

`-81+54x-9x^2+14=-30x-9x^2-23`  (2)

`hArr -67+54x=-30x-23` (3)

Richtig wäre:

`-95+54x=-30x-23`    (3)

`hArr 84x=72`   (4)

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

  1. `5x-18=3x+24`
  2. `9(3-x)+14=4(10-6x)-29`
  3. `3x-7(-5x+13)-4x+17-(x+9)*12=3x-4(7+x)-27,5`
  4. `0=-y-11(y-36)`

Lösungen

a.

`5x-18=3x+24`  Auf beiden Seiten: `\color{red}{+18-3x}`
`5x-18 \color{red}{+18-3x}=3x+24 \color{red}{+18-3x}` Auf beiden Seiten: Zusammenfassen
`2x=42` Auf beiden Seiten:  Division durch 2
`x=21`  

b.

`9(3-x)+14=4(10-6x)-29` Auf beiden Seiten:  Klammern auflösen
`27-9x+14=40-24x-29` Auf beiden Seiten:  Zusammenfassen
`41-9x=11-24x` Auf beiden Seiten: `\color{red}{-41+24x}`
`41-9x \color{red}{-41+24x}=11-24x \color{red}{-41+24x}`  Auf beiden Seiten: Zusammenfassen
`15x=-30` Auf beiden Seiten : Division durch 15
`x=-2`  

c.

`3x-7(-5x+13)-4x+17-(x+9)*12=3x-4(7+x)-27,5` Auf beiden Seiten:  Klammern auflösen
`3x+35x-91-4x+17-12x-108=3x-28-4x-27,5`  Auf beiden Seiten:  Zusammenfassen
`22x-182=-x-55,5` Auf beiden Seiten: `\color{red}{+182+x}`
`22x-182 \color{red}{+182+x}=-x-55,5 \color{red}{+182+x}` Auf beiden Seiten: Zusammenfassen
`23x=126,5` Auf beiden Seiten: Division durch 23
`x=5,5`  

d.

`0=-y-11(y-36)` Auf beiden Seiten:  Klammern auflösen
`0=y-11y+396` Auf beiden Seiten:  Zusammenfassen
`0=-12y+396` Auf beiden Seiten: `\color{red}{+12y}`
`0 \color{red}{+12y}= -12y+396 \color{red}{+12y}` Auf beiden Seiten: Zusammenfassen
`12y=396` Auf beiden Seiten: Division durch 12
`y=33`  

Ein Baum wächst pro Jahr 42 cm. Im Jahr 2008 pflanzte Herr Müller einen 2,4 m hohen Baum.

  1. Stellen Sie einen Term auf, welcher die Höhe des Baumes im Jahre x angibt (x > 2008).
  2. Wie hoch ist der Baum im Jahr 2022?
  3. Wann war der Baum 5,80 m hoch?
  4. Welche Idealisierungen nimmt man bei diesem Modell vor?

Quelle: pixabay.com

Lösungen

a.

`(x-2008)*0,42+2,4`

b.

`(2022-2008)*0,42+2,4=8,28`

c.

`(x-2008)*0,42+2,4=5,8`

`0,42*x-843,36+2,4=5,8`

`0,42*x=846,76`

`x~~2016,1`

Anfang des Jahres 2016 war der Baum (etwa) 5,8 m hoch

d.

Das Modell geht von einem gleichmäßigen (linearen) Wachstum aus, welches mindestens über 14 Jahre so anhält.

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

  1. `5x-a=3x+2`  (Lösungsvariable: x)
  2. `9(b-x)=4(b-6x)-b` (Lösungsvariable: x)
  3. `0=-y-a(y-36)` (Lösungsvariable: y)

Lösungen

a.

`5x-a=3x+2`  Auf beiden Seiten: `\color{red}{+a-3x}`
`5x-a \color{red}{+a-3x}=3x+2 \color{red}{+a-3x}` Auf beiden Seiten: Zusammenfassen
`2x=2+a` Auf beiden Seiten: Division durch 2
`x=(2+a)/2`  

b.

`9(b-x)=4(b-6x)-b` Auf beiden Seiten: Klammern auflösen
`9b-9x=4b-24x-b` Auf der rechten Seite: Zusammenfassen
`9b-9x=3b-24x` Auf beiden Seiten: `\color{red}{-9b+24x}`
`9b-9x \color{red}{-9b+24x}=3b-24x \color{red}{-9b+24x}` Auf beiden Seiten: Zusammenfassen
`15x=-6b`  Auf beiden Seiten: Division durch 15
`x=-2/5*b`  

c.

`0=-y-a(y-36)`  Auf der rechten Seite: Klammern auflösen
`0=-y-a*y+36a` Auf beiden Seiten: `\color{red}{-36a}`
`0 \color{red}{-36a}=-y-a*y+36a \color{red}{-36a}` Auf beiden Seiten: Zusammenfassen
`-36a=-y-a*y` Auf der rechten Seite: y ausklammern
`-36a=y(-1-a)` Auf beiden Seiten: Division durch `-1-a`
`(-36a)/(-1-a)=y` Auf der linken Seite: Mit -1 erweitern
`(36a)/(1+a)=y`
 

Es muss gelten `a!=-1`, da sonst in den beiden vorletzten Zeilen eine Division durch 0 stattfände.

Für `a=-1` lautet die 1. Gleichung: `0=-y+(y-36) hArr 0=36`, d.h. die Gleichung ist nicht lösbar.

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