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Diese Seite wurde aktualisiert am 28.04.2022

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Druckversion vom 28.09.2022 10:42 Uhr
Startseite Vorkurs Terme - Gleichungen - Funktionen Lineare Gleichungen

 

Lineare Gleichungen - Lehrtext

Term

Ein Term kann folgende Elemente enthalten: Zahlen, Variablen, Rechenzeichen, Klammern

Beispiele:
`3*4`;      `x`;      `4-2x`;      `a/2+b(x-3)`

 

Gleichung

Eine Gleichung besteht aus 2 Termen, zwischen denen ein Gleichheitszeichen steht.

Beispiele:
`3*4=5`;      `x=7`;      `4-2x=x+3`;      `a/2+b(x-3)=0`

 

Lineare Gleichung

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in welcher eine Lösungsvariable (meist x) mit dem Exponenten 1 (und nicht größer) vorkommt. Beachten  Sie: `x^1=x`. Die Lösungsvariable darf nicht im Nenner und auch nicht im Exponenten auftreten.

Beispiele:
`4-2x=8x`;      `3x+a=4x` (Hier tritt neben der Lösungsvariable x noch ein Parameter/eine Formvariable a auf.)

Gegenbeispiele:
`x^2-9=0`;      `5/(x+2)=x`;      `2^x=8`

 

Lösen einer linearen Gleichung

Die Lösung einer linearen Gleichung ist diejenige Zahl, die man in die Gleichung einsetzen kann, so dass sich eine wahre Aussage ergibt.

Beispiel:
`x-2=8`.  10 ist Lösung der Gleichung.

Man schreibt auch: `x-2=8 hArr x=10`, `hArr`  wird gelesen: "ist

äquivalent mit".

Üblich ist auch die Schreibweise `L={10}` (Die Lösungsmenge L besteht aus der Zahl 10).

 

Sonderfälle

Gibt es keine Zahl, welche Lösung einer linearen Gleichung ist, so sagt man "die Gleichung ist nicht lösbar/die Lösungsmenge ist leer".
Sind alle (reellen) Zahlen Lösung einer linearen Gleichung, so sagt man "die Gleichung ist allgemeingültig/die Lösungsmenge umfasst alle (reellen) Zahlen".

Beispiele:
`2x-3=2x+4` Die Gleichung ist nicht lösbar/die Lösungsmenge ist leer (`L={})`.

`x+4=x+4` Die Gleichung ist allgemeingültig/die Lösungsmenge umfasst alle reellen Zahlen `(L=RR)`.

 

Lösungsverfahren für lineare Gleichungen

Ein erfolgreiches Rezept zum Lösen linearer Gleichungen:

Schritt 1:
Alle Klammern auflösen durch Ausmultiplizieren.
Schritt 2:
Auf jeder Gleichungsseite ordnen, das heißt: alle gleichartigen Terme zusammenfassen.
Schritt 3:

Alle Variablen "nach links", alle allein stehenden Zahlen "nach rechts", und zwar jeweils durch die Gegenoperation.
Schritt 4:
Auf beiden Seiten zusammenfassen.

Schritt 5:
Durch den Faktor vor der Variablen dividieren.

 

Beispiel (rechts steht der Schritt, der als nächstes ausgeführt wird):

`5(x-4)-7+6x=-2(6-x)`         Klammern auflösen (Schritt 1)

`5x-20-7+6x=-12+2x`        Zusammenfassen (Schritt 2)

`11x-27=-12+2x`                /+27-2x (Schritt 3)

`11x-27\color{red}{+27-2x}=-12+2x \color{red}{+27-2x}`        Zusammenfassen (Schritt 4)    

`9x=15`             /:9 (Schritt 5)

`x=15/9`

`x=5/3`

Das Äquivalenzzeichen `hArr`  vor jeder neuen Zeile ist hier weggelassen worden. Fragen Sie Ihren Lehrer, wie Sie es halten sollen.

 

Lösungsverfahren bei Sonderfällen

Führen obige Umformungen auf eine Zeile wie `0=0`, so ist die Gleichung allgemeingültig.
Führen die Umformungen auf eine Zeile wie `2=0`, so ist die Gleichung nicht lösbar.

Beispiel 1:

`2(x-3)=7x-5(x+1,2)`

`2x-6=7x-5x-6`

`2x-6=2x-6`        /-2x+6

`0=0`

An der vorletzten Zeile sieht man schon, dass jede Zahl die Gleichung erfüllt.

Beispiel 2:

`2(x-3)=7x-5(x+2)`

`2x-6=7x-5x-10`

`2x-6=2x-10`        /-2x+10

`4=0`

An der vorletzten Zeile sieht man schon, dass keine Zahl die Gleichung erfüllt.

 

Lineare Gleichung mit Formvariablen/Parametern (optional)

Kommt in einer linearen Gleichung außer der Lösungsvariablen noch mindestens eine weitere Variable vor, so spricht man von einer Gleichung mit Formvariablen/Parametern. Die Lösung ist dann keine Zahl, sondern sie hängt von diesen Formvariablen/Parametern ab.

Beispiel 1:

`2(x-a)=a+1`

`2x-2a=a+1`

`2x=3a+1`

`x=(3a+1)/2`

Beispiel 2:

`2(x-a)=a*x`

`2x-2a=a*x`

`2x-a*x=2a`  Im nächsten Schritt muss x ausgeklammert werden

`x*(2-a)=2a`  Division durch `2-a` (nur möglich, falls `a!=2`)

`x=(2a)/(2-a)`

Sonderfall `a=2`: Dann folgt aus der 2. Zeile `2x-4=2x` (eine nicht lösbare Gleichung).

 

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