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Lineare Gleichungen - Lehrtext
Ein Term kann folgende Elemente enthalten: Zahlen, Variablen, Rechenzeichen, Klammern
Beispiele:
`3*4`; `x`; `4-2x`; `a/2+b(x-3)`
Eine Gleichung besteht aus 2 Termen, zwischen denen ein Gleichheitszeichen steht.
Beispiele:
`3*4=5`; `x=7`; `4-2x=x+3`; `a/2+b(x-3)=0`
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in welcher eine Lösungsvariable (meist x) mit dem Exponenten 1 (und nicht größer) vorkommt. Beachten Sie: `x^1=x`. Die Lösungsvariable darf nicht im Nenner und auch nicht im Exponenten auftreten.
Beispiele:
`4-2x=8x`; `3x+a=4x` (Hier tritt neben der Lösungsvariable x noch ein Parameter/eine Formvariable a auf.)
Gegenbeispiele:
`x^2-9=0`; `5/(x+2)=x`; `2^x=8`
Die Lösung einer linearen Gleichung ist diejenige Zahl, die man in die Gleichung einsetzen kann, so dass sich eine wahre Aussage ergibt.
Beispiel:
`x-2=8`. 10 ist Lösung der Gleichung.
Man schreibt auch: `x-2=8 hArr x=10`, `hArr` wird gelesen: "ist äquivalent
mit".Üblich ist auch die Schreibweise `L={10}` (Die Lösungsmenge L besteht aus der Zahl 10).
Gibt es keine Zahl, welche Lösung einer linearen Gleichung ist, so sagt man "die Gleichung ist nicht lösbar/die Lösungsmenge ist leer".
Sind alle (reellen) Zahlen Lösung einer linearen Gleichung, so sagt man "die Gleichung ist allgemeingültig/die Lösungsmenge umfasst alle (reellen) Zahlen".
Beispiele:
`2x-3=2x+4` Die Gleichung ist nicht lösbar/die Lösungsmenge ist leer (`L={})`.
`x+4=x+4` Die Gleichung ist allgemeingültig/die Lösungsmenge umfasst alle reellen Zahlen `(L=RR)`.
Ein erfolgreiches Rezept zum Lösen linearer Gleichungen:
Schritt 1:
Alle Klammern auflösen durch Ausmultiplizieren.
Schritt 2:
Auf jeder Gleichungsseite ordnen, das heißt: alle gleichartigen Terme zusammenfassen.
Schritt 3:
Alle Variablen "nach links", alle allein stehenden Zahlen "nach rechts", und zwar jeweils durch die Gegenoperation.
Schritt 4:
Auf beiden Seiten zusammenfassen.
Schritt 5:
Durch den Faktor vor der Variablen dividieren.
Beispiel (rechts steht der Schritt, der als nächstes ausgeführt wird):
`5(x-4)-7+6x=-2(6-x)` Klammern auflösen (Schritt 1)
`5x-20-7+6x=-12+2x` Zusammenfassen (Schritt 2)
`11x-27=-12+2x` /+27-2x (Schritt 3)
`11x-27\color{red}{+27-2x}=-12+2x \color{red}{+27-2x}` Zusammenfassen (Schritt 4)
`9x=15` /:9 (Schritt 5)
`x=15/9`
`x=5/3`
Das Äquivalenzzeichen `hArr` vor jeder neuen Zeile ist hier weggelassen worden. Fragen Sie Ihren Lehrer, wie Sie es halten sollen.
Führen obige Umformungen auf eine Zeile wie `0=0`, so ist die Gleichung allgemeingültig.
Führen die Umformungen auf eine Zeile wie `2=0`, so ist die Gleichung nicht lösbar.
Beispiel 1:
`2(x-3)=7x-5(x+1,2)`
`2x-6=7x-5x-6`
`2x-6=2x-6` /-2x+6
`0=0`
An der vorletzten Zeile sieht man schon, dass jede Zahl die Gleichung erfüllt.
Beispiel 2:
`2(x-3)=7x-5(x+2)`
`2x-6=7x-5x-10`
`2x-6=2x-10` /-2x+10
`4=0`
An der vorletzten Zeile sieht man schon, dass keine Zahl die Gleichung erfüllt.
Kommt in einer linearen Gleichung außer der Lösungsvariablen noch mindestens eine weitere Variable vor, so spricht man von einer Gleichung mit Formvariablen/Parametern. Die Lösung ist dann keine Zahl, sondern sie hängt von diesen Formvariablen/Parametern ab.
Beispiel 1:
`2(x-a)=a+1`
`2x-2a=a+1`
`2x=3a+1`
`x=(3a+1)/2`
Beispiel 2:
`2(x-a)=a*x`
`2x-2a=a*x`
`2x-a*x=2a` Im nächsten Schritt muss x ausgeklammert werden
`x*(2-a)=2a` Division durch `2-a` (nur möglich, falls `a!=2`)
`x=(2a)/(2-a)`
Sonderfall `a=2`: Dann folgt aus der 2. Zeile `2x-4=2x` (eine nicht lösbare Gleichung).