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Terme vereinfachen - Lehrtext
Für die Erarbeitung dieses Kapitels stehen Ihnen Regeln mit Beispielen (in diesem Reiter), dazugehörigen Aufgaben (nächster Reiter) und den Lösungen (übernächster Reiter) zur Verfügung. Entscheiden Sie selbst, wie Sie vorgehen wollen:
- Zunächst alle Regeln durchdenken, dann alle Aufgaben bearbeiten und dann mit den Lösungen vergleichen,
- oder nur eine Regel durchdenken, dann die zugehörigen Aufgaben bearbeiten und die Lösungen vergleichen, danach die zweite Regel usw.,
- oder noch ganz andere Ideen umsetzen.
Grundsätzlich wird in einem Term von links nach rechts gerechnet. Aber es gibt Ausnahmen:
- Klammern werden zuerst berechnet.
- Potenzrechnung geht vor Punktrechnung.
- Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
| Beispiel | Erläuterungen | |
|---|---|---|
| a. | `\color{red}{ 3 - 5} + 4 + 9 = \color{green}{ -2} + 4 + 9 = 2 + 9 = 11` | Bearbeitung von links nach rechts |
| b. | `3 - \color{red}{(5 + 4)} + 9 = 3 - \color{green}{9} + 9 = -6 + 9 = 3` | Klammer zuerst berechnen |
| c. | `3 - \color{red}{5 : 4} + 9 = 3 - \color{green}{ 1,25} + 9 = 1,75 + 9 = 10,75` | Punktrechnung vor Strichrechnung |
| d. |
`\color{red}{3 * 5} : 4 + 9 = \color{green}{ 15} : 4 + 9` `\color{red}{ 15 : 4} + 9 = \color{green}{ 3,75} + 9 = 12,75` |
von links nach rechts, weil die Punktrechnungen vorne stehen |
| e. |
`9 + \color{red}{3 * 5} : 4 = 9 + \color{green}{ 15} : 4` `9 + \color{red}{15 : 4} = 9 + \color{green}{ 3,75} = 12,75` |
erst die Punktrechnungen hinten berechnen |
| f. |
`3 * \color{red}{5^4} + 9 = 3 * \color{green}{ 625} + 9` `\color{red}{3 * 625} + 9 = \color{green}{ 1875} + 9 = 1884` |
Potenzrechnung vor Punktrechnung |
Steht in den Klammern eine Summe oder Differenz, so wird jeder Term aus der ersten Klammer mit jedem Term aus der zweiten Klammer multipliziert. Man spricht auch von Ausmultiplizieren.
Beachten Sie dabei: Bei Zahlen mit Vorzeichen `+ * + ` und `- * - ` ergeben sich positive Ergebnisse, `+ * -` ergibt ebenso wie `- * +` ein negatives Ergebnis.| Beispiel | Erläuterungen | |
|---|---|---|
| a. |
`\color{green}{3} * (a + b) = \color{green}{3} * a + \color{green}{3} * b = 3a + 3b` |
Die 3 wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert |
| b. |
`(3 - a) * (-9a - 5) = ( \color{green}{ 3} + \color{red}{(-a)})*((-9a) + (-5))` |
Differenzen am besten in Summen umwandeln. Für eine bessere Übersicht werden die negativen Terme beim Ausmultiplizieren in Klammern gesetzt |
| = `-27a + (-15) + 9a^2 + 5a` = `- 22a - 15 + 9a^2` |
Nur gleichartige Terme - also hier -27 a und 5a - dürfen addiert oder subtrahiert werden. |
Hierbei handelt es sich um einen Sonderfall der 2. Regel, bei denen die beiden Faktorterme (fast) gleich sind. Für alle reellen Zahlen a und b gilt:
erste Binomische Formel: `(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`
zweite Binomische Formel: `(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2`
dritte Binomische Formel: `(a + b) (a - b) = a^2 - b^2`
| Beispiel | Erläuterungen | |
|---|---|---|
| a. | `(\color{green}{x} + \color{red}{2h})^2` = `\color{green}{x}^2 + 2*\color{green}{x}*\color{red}{2h} + (\color{red}{2h})^2` = `x^2 +4 xh + 4h^2` |
Für a wird `\color{green}{x}` und für b wird `\color{red}{2h}` in die erste Binomische Formel eingesetzt. |
| b. |
`(\color{green}{7} - \color{red}{3p})^2` |
Für a wird `\color{green}{7}` und für b wird `\color{red}{3p}` in die zweite Binomische Formel eingesetzt. |
| c. | `(\color{green}{sqrt(x + 3)} + \color{red}{x}) (\color{green}{sqrt(x + 3)} - \color{red}{x})` = `(\color{green}{sqrt(x + 3)})^2 - \color{red}{x}^2` = `x + 3 - x^2` |
Für a wird `\color{green}{sqrt(x + 3)}` und für b wird `\color{red}{x}` in die dritte Binomische Formel eingesetzt. |
Die Umkehrung des Ausmultiplizierens ist das Ausklammern: Steckt in allen Summanden derselbe Faktor, so zieht man den gemeinsamen Faktor vor und setzt den Rest (jeweils ohne den Faktor) in Klammern.
| Beispiel | Erläuterungen | |
|---|---|---|
| a. | `5ax - 20ab + 15ay` = ` \color{red}{5a}*x - \color{red}{5a}*4b + \color{red}{5a}*3y` = ` \color{green}{5a}*(x - 4b + 3y`) |
Der gemeinsame Faktor ist hier 5a. |
| b. |
`(x - 3y)^2 - (x^2 - 9y^2)` |
Der gemeinsame Faktor ist hier `(x - 3y)`. Nach dem Ausklammern können die Terme in der hinteren Klammer zusammengefasst werden. Alternativ können zunächst auch die Klammern aufgelöst werden: `x^2 -6xy + 9y^2 - x^2 + 9y^2` = `- 6xy + 18 y^2` = `-6y*(x - 3y)` |