Net-MathebuchChat
Mit diesem Chat können Benutzer des Net-Schulbuches, die derselben Lehrkraft zugeordnet sind, miteinander chatten. Dabei gelten folgende Regeln:
- Die Chats werden in einer Datenbank verschlüsselt gespeichert und können daher von niemandem gelesen werden, der nicht zur Gruppe gehört.
- Jeden Morgen um 5 Uhr werden alle Chats gelöscht, die älter als 48 Stunden sind.
- Es können Nachrichten an alle Gruppenmitglieder oder an einzelne Gruppenmitglieder versandt werden.
- Der Lehrer kann nur die Nachrichten lesen, die an ihn oder an alle gerichtet sind.
- Meldet sich ein Gruppenmitglied im Net-Schulbuch an, werden ihm nach Öffnen des Chats alle an ihn gerichtete Nachrichten der letzten 48 Stunden angezeigt.
- Die Netiquette ist einzuhalten.
- Die Lehrkraft kann die Chatfunktion sperren.
Net-MathebuchÜbergreifende Aufgaben Analysis/ Analytische Geometrie/ Stochastik - Vollständige Serie - Einführung
Situationen:
- Ein Würfel wird solange geworfen, bis alle Augenzahlen einmal aufgetreten sind (vollständige Serie).
- Eine Serie Fußballbilder besteht aus 20 Motiven. Jeder Cornflakes-Packung liegt ein Bild bei. Ein Käufer möchte eine vollständige Sammlung aller Motive anlegen.
Fragestellungen:
Wie viel Würfe sind durchschnittlich erforderlich bzw. wie viel Packungen müssen durchschnittlich gekauft werden?
Wie viel Packungen muss man noch erwerben, wenn man schon 15 Motive beisammen hat?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nach k Würfen bzw. k Käufen eine vollständige Serie erhalten hat?
Auftrag 1
a)
Schätzen Sie zunächst, wie viel Würfe durchschnittlich erforderlich sind, um eine vollständige Serie der Augenzahlen 1 bis 6 zu erhalten.
b)
Führen Sie mit der nachfolgenden Geogebra-App eine Simulation durch und beantworten Sie dann die Fragen unter c).
Erläuterung zur App:
Mit dem Schieberegler "anzahlSatz" wird die Anzahl der möglichen (gleichwahrscheinlichen) Ausfälle eingestellt (z.B. 6 für den Würfelwurf).
Mit dem Button "Neu" können Sie die Simulation starten. Ein Versuch besteht nun darin, solange zu werfen, bis eine vollständige Serie erreicht wird. Der Versuch wird 100-mal wiederholt.
Das untere Diagramm zeigt auf der waagerechten Achse die Anzahl der Versuche bis zum Erreichen einer vollständigen Serie. Die Werte auf der senkrechten Achse geben an, wie oft diese Anzahl innerhalb der 100 Versuchsreihen aufgetreten ist. Diese absoluten Häufigkeiten werden dann als Balkendiagramm dargestellt. Über dem Diagramm wird in blauer Farbe die zugehörige Wertetabelle angegeben.
In der oberen Graphik werden die Ergebnisse wie folgt angezeigt: Die erste/waagerechte Koordinate eines Punktes gibt die Nummer des Versuchs an, die zweite/senkrechte Koordinate gibt an, wie viel Würfe bis zum Erreichen der vollständigen Serie nötig waren. Die rote Linie gibt den Mittelwert dieser Würfe und die grüne Linie den theoretischen Mittelwert an. Der Button "Diff" blendet die Differenz zwischen dem theoretischen und dem empirischen Mittelwert ein bzw. aus.
c)
1. In der oberen Grafik könnte ein Punkt (bei anzahlSatz = 6) die Koordinaten (42 | 18) haben. Erläutern Sie, was das bedeutet.
2. Die rote Linie könnte bis dahin durch (42 | 14,9) gehen. Was bedeutet das? Wie groß wäre dann der Abstand zum theoretischen Mittelwert?
3. In der unteren Grafik könnte ein Balken im Punkt (15 | 10) enden. Notieren Sie, was das bedeutet.
4. Wie finden Sie die Daten der Wertetabelle in den beiden Grafiken wieder?
5. Nehmen Sie an, dass in den ersten 4 Versuchen 14, 9, 16 und 24 Würfe für eine vollständige Serie erforderlich waren. Wie berechnen sich hieraus Punkte der roten Linie?
6. Wie berechnet sich der Endpunkt der roten Linie aus den Daten der Wertetabelle?
Eine weitere ähnliche App (Bärchen-App) finden Sie hier.
c)
1.
Im 42. Versuch waren 18 Würfe erforderlich, um eine vollständige Serie zu erhalten.
2.
In den ersten 42 Versuchen waren durchschnittlich 14,9 Würfe für eine vollständige Serie erforderlich. Der Abstand zum theoretischen Mittelwert beträgt 0,2.
3.
Innerhalb der gesamten Versuchsserie gab es 10 Versuche, bei denen 15 Würfe zu einer vollständigen Serie führten.
4.
Beispiel `\color{blue}{((8),(15))}`
Untere Grafik: Der obere Wert 8 entspricht dem Wert auf der senkrechten Achse, der untere Wert 15 entspricht dem Wert auf der waagerechten Achse, d. h. 8-mal waren 15 Würfe erforderlich.
Obere Grafik: Zeichnet man durch den Wert 15 der senkrechten Achse eine Paralelle zur waagerechten Achse, so liegen auf dieser Parallelen 8 (blaue) Punkte .
5. Die ersten 4 Punkte der roten Linie haben die Koordinaten `(1; 14)`; `(2;(14+9)/2)`; `(3;(14+9+16)/3)` und `(4;(14+9+16+24)/4)`. Die Punkte werden gradlinig verbunden.
6. Die Summe aller Produkte, die aus dem jeweiligen Koordinatenpaar gebildet werden, wird durch 100 geteilt.
Auftrag 2
|
Sie haben einen idealen Würfel mit den folgenden Ergebnissen geworfen: 5, 2, 5, 6, 6, 2, 3. Es fehlen Ihnen noch die Augenzahlen 1 und 4 bis zu einer vollständigen Serie. a) b) c) d) e) |
|
a)
Es sei X die Anzahl der Würfe bis zum Auftreten einer 1 oder einer 4. Dann gilt `p=2/6` und `q=4/6`. Es folgt `P(X=k)=q^(k-1)*p` (In den ersten k-1-Würfen darf weder eine 4 noch eine 6 auftreten, im k-ten Wurf tritt eine der beiden fehlenden Zahlen auf). X ist somit geometrisch-verteilt mit `E(X)=1/p=1/(2/6)=6/2=3`. Es sind also noch durchschnittlich 3 Würfe erforderlich.
b)
Analog zu Teil a) folgt `p=1/6` und `q=5/6`. Somit sind durchschnittlich `1/p=1/(1/6)=6/1=6` Würfe erforderlich.
c)
| Hat man 4 Zahlen geworfen, so befindet sich man im Zustand Z4. Mit Wahrscheinlichkeit `2/6` erhält man beim nächsten Wurf eine der beiden, bisher noch nicht geworfenen Zahlen und gelangt so in den Zustand Z5. Mit Wahrscheinlichkeit `4/6` wirft man keine neue Zahl und verbleibt im Zustand Z4. Analoges gilt für die anderen Zustände, so dass man das nebenstehende Diagramm erhält. |
|
d)
| Z0→Z1 | Z1→Z2 | Z2→Z3 | Z3→Z4 | Z4→Z5 | Z5→Z6 |
|---|---|---|---|---|---|
| `6/6=1` | `6/5=1,2` | `6/4=1,5` | `6/3=2` | `6/2=3` | `6/1=6` |
e)
Sei X die Anzahl der Würfe bis zum Vorliegen einer vollständigen Serie - also die Anzahl der Würfe für Z0→Z6 - dann gilt:
E(X)=1+1,2+1,5+2+3+6=14,7.
Durchschnittlich sind 14,7 Würfe für eine vollständige Serie beim Würfelwurf erforderlich.
Für die im nächsten Auftrag geforderte Verallgemeinerung ist folgende Darstellung hilfreich (siehe auch Tabelle bei d):
`E(X)=1+1,2+1,5+2+3+6=6*(1/6+1/5+1/4+1/3+1/2+1)=6*(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)`
Auftrag 3
Das Ergebnis aus Auftrag 2 kann auf andere Zufallsversuche mit gleichwahrscheinlichen Ausfällen übertragen werden. Geben Sie daher den Mittelwert der Anzahl der Versuchsdurchführungen E(X) bis zum Vorliegen einer vollständigen Serie an.
a)
Ein Ikosaeder-Würfel wird geworfen. Wie viel Würfe sind im Mittel erforderlich, bis alle Zahlen von 1 bis 20 geworfen wurden?
b)
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, die von 1 bis 10 durchnummeriert sind, wird eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Wie viel Ziehungen sind im Mittel erforderlich, bis alle Nummern gezogen wurden?
c)
Einer Kaugummipackung liegt das Bild eines Fußballspielers bei. Es gibt 22 verschiedene Bilder. Wie viel Packungen muss ein Sammler erwerben, bis er eine komplette Sammlung hat?
d)
Verallgemeinern Sie das Ergebnis für einen Zufallsversuch mit n verschiedenen gleichwahrscheinlichen Ausfällen.
a)
`20*(1+1/2+1/3+...+1/20)=71","95`, dh. Der Mittelwert beträgt ca. 72 Würfe.
b)
`10*(1+1/2+1/3+...+1/10)=28","29`, d.h. der Mittelwert beträgt ca. 29 Ziehungen.
c)
`22*(1+1/2+1/3+...+1/22)=81","20`, d.h. der Mittelwert beträgt ca. 82 Käufe.
d)
`E(X)=n*(1+1/2+1/3+...+1/n)`
Hier finden Sie ein weiteres Beispiel
Als Mittelwert der Anzahl der Versuchsdurchführungen haben Sie erhalten `E(X)=n*(1+1/2+1/3+...+1/n)`. Leider gibt es keine Formel zur Vereinfachung des Klammerausdrucks (Summe aller Stammbrüche). Sofern Sie im Unterricht bereits die Integralrechnung behandelt haben, könnte Ihnen die Summe bekannt vorkommen.
Auftrag 4
Betrachten Sie dazu in den beiden Bildern die Unter- und Obersumme zur Funktion `f(x)=1/x` und schätzen Sie deren Wert durch das Integral ab. Verallgemeinern Sie das Ergebnis für die Summe der Stammbrüche `1+1/2+1/3+...+1/n`
|
Untersumme |
Obersumme |
Untersumme:
`1/2+1/3+1/4+1/5+1/6<int_1^6 1/x dx=[ln(x)]_1^6=ln(6)`
Daraus folgt: `1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6<ln(6)+1`
Obersumme:
`1+1/2+1/3+1/4+1/5>int_1^6 1/x dx=[ln(x)]_1^6=ln(6)`
Daraus folgt: `1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6>ln(6)+1/6`
Verallgemeinerung: `ln(n)+1/n<1+1/2+1/3+...+1/n<ln(n)+1`
Aus vorstehender Abschätzung folgt die Abschätzung für den Mittelwert E(X), indem man die Ungleichung mit n multipliziert:
`n*ln(n)+1<E(X)<n*ln(n)+n`
Die Abschätzungsgrenzen liegen zwischen 1 und n oberhalb von n·ln(n). Im Mittel irgendwo in der "Mitte" dazwischen, vermutlich etwa oberhalb von `n/2`. Also: `E(X)~~n*ln(n)+n/2=n*(ln(n)+1/2)`.
Eine noch genauere Abschätzung, die hier nicht bewiesen werden kann, ist: `E(X)~~n*(ln(n)+gamma)` mit der Eulerschen Konstanten `gamma=0,577...`.
Bisher haben Sie untersucht, wie viel Würfe/Käufe im Mittel erforderlich sind, bis eine vollständige Serie erreicht ist. Von Interesse sind aber auch die folgenden Fragen:
Wie viel Würfe/Käufe sind im Mittel erforderlich, um eine Teilserie von m verschiedenen Würfen/Bildern zu komplettieren?
Wie viel Würfe/Käufe sind im Mittel erforderlich, um eine Teilserie von m verschiedenen Würfen/Bildern zu erhalten.
Diese beiden Probleme finden Sie im Lehrtext bzw. als Aufgaben im Aufgabenteil.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine vollständige Serie nach k Versuchen auftritt? Um die folgenden Ausführungen zu verstehen, müssen Sie mit stochastischen Matrizen vertraut sein. Sollten Sie sich mit Matrizen nicht auskennen, so finden Sie im 3.Teil Formeln zur Berechnung der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Diese Formeln bieten allerdings nicht die umfassenden Möglichkeiten der Matrizen.
1. Schritt
Das obige Übergangsdiagramm wird in eine stochastische Matrix übertragen:
`M=((,Z_0,Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6),(Z_0,0,\color{red}{0},0,0,0,0,0),(Z_1,1,\color{red}{1/6},0,0,0,0,0),(Z_2,\color{red}{0},\color{red}{5/6},\color{red}{1/3},\color{red}{0},\color{red}{0},\color{red}{0},\color{red}{0}),(Z_3,0,\color{red}{0},2/3,1/2,0,0,0),(Z_4,0,\color{red}{0},0,1/2,2/3,0,0),(Z_5,0,\color{red}{0},0,0,1/3,5/6,0),(Z_6,0,\color{red}{0},0,0,0,1/6,1))`
Erläuterungen:
1. Beispielsweise gibt die Zahl `5/6` in der 3. Zeile und 2. Spalte die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von Z1 nach Z2 an.
2. Hat man den Zustand Z6 erreicht, so verbleibt man dort mit Wahrscheinlichkeit 1.
2. Schritt
Es wird nun die k-te Potenz der Matrix M gebildet z.B. k=2:
`M^2=((,Z_0,Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6),(Z_0,0,0,0,0,0,0,0),(Z_1,0.1667,0.0278,0,0,0,0,0),(Z_2,0.8333,\color{red}{0.4167},0.1111,0,0,0,0),(Z_3,0,0.5556,0.5556,0.25,0,0,0),(Z_4,0,0,0.336,0.5836,0.4445,0,0),(Z_5,0,0,0,0.1667,0.5000,0.6944,0),(Z_6,0,0,0,0,0.0556,\color{blue}{0.3056},1))`
Durch Multiplikation der Matrix `M` mit sich selbst erhält man die Potenz `M^2`. Das rote Element in der Matrix `M^2` ergibt sich als Skalarprodukt des roten Zeilenvektors und des roten Spaltenvektors der Matrix M:
`\color{red}{((0),(5/6),(1/3),(0),(0),(0),(0))**((0),(1/6),(5/6),(0),(0),(0),(0))}=5/6*1/6+1/3*5/6=15/36=0,4167`.
0,4167 ist die Wahrscheinlichkeit w, in genau k=2 Schritten vom Zustand Z1 in den Zustand Z2 zu gelangen. Dies kann auch wie folgt erklärt werden:
Erklärung zu `1/6*5/6`: Mit Wahrscheinlichkeit `1/6` bleibt man im Zustand Z1, um dann mit Wahrscheinlichkeit `5/6` in den Zustand Z2 zu wechseln.
Erklärung zu `5/6*2/6`: Man wechselt mit Wahrscheinlichkeit `5/6` sofort nach Z2 und verbleibt dort mit Wahrscheinlichkeit `2/6`.
Eine Besonderheit sind die Wahrscheinlichkeiten im letzten Zeilenvektor. Beispielsweise ist `\color{blue}{0","3056}` die Wahrscheinlichkeit in höchstens k=2 Schritten vom Zustand Z5 ind den Zustand Z6 zu gelangen. In einem Schritt gelangt man mit der Wahrscheinlichkeit `1/6` sofort nach Z6. In zwei Schritten gelangt man nach Z6, indem man zunächt in Z5 verbleibt und dann nach Z6 wechselt. Dies geschieht mit der Wahrscheinlcikeit `5/6*1/6`. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, in höchstens zwei Schritten von Z5 nach Z6 zu gelangen `1/6+5/6*1/6=0","3056`.
Auftrag 5
Geben Sie eine formale Schreibweise für die Wahrscheinlichkeiten des Vektors `vec (v_0)=((0),(0.1667),(0.8333),(0),(0),(0),(0))` und des Vektors `vec(v_5)=((0),(0),(0),(0),(0),(0.6944),(0.3056))` der obigen Matrix `M^2` an und überprüfen Sie die Rechnung anhand des obigen Übergangdiagramms.
Verwenden Sie folgende Bezeichnung:
`X_(i;j)` sei die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Schritte/Würfe angibt, um vom Zustand Zi in den Zustand Zj zu gelangen und ggf. auch dort zu bleiben (s.o.).
Für `vec(v_0)` ergibt sich:
| `P(X_(0;0)=2)` | `P(X_(0;1)=2)` | `P(X_(0;2)=2)` | `P(X_(0;3)=2)` | `P(X_(0;4)=2)` | `P(X_(0;5)=2)` | `P(X_(0;6)=2)` |
| 0 | 0,1667 | 0,8333 | 0 | 0 | 0 | 0 |
`P(X_(0;0)=2)=0`, da man im Zustand Z0 nicht verbleiben kann.
`P(X_(0;1)=2)=0","1667` Übergangsfolge: Z0 → Z1 → Z1 mit der Wahrscheinlichkeit `1*1/6=0","1667`
`P(X_(0;2)=2)=0","8333` Übergangsfolge: Z0 → Z1 → Z2 mit der Wahrscheinlichkeit `1*5/6=0","8333`
`P(X_(0;3)=2)=0`, da man nicht in zwei Schritten vom Zustand Z0 in den Zustand Z3 gelangen kann.
`P(X_(0;4)=2)=0`, da man nicht in zwei Schritten vom Zustand Z0 in den Zustand Z4 gelangen kann.
`P(X_(0;5)=2)=0`, da man nicht in zwei Schritten vom Zustand Z0 in den Zustand Z5 gelangen kann.
`P(X_(0;6)=2)=0`, da man nicht in zwei Schritten vom Zustand Z0 in den Zustand Z3 gelangen kann.
Genauer müsste man eigentlich schreiben `P(X_(0;6)<=2)=0`, da es sich um eine kumulative Wahrscheinlichkeit im letzten Zeilenvektor handelt.
Für `vec(v_5)`ergibt sich
| `P(X_(5;0)=2)` | `P(X_(5;1)=2)` | `P(X_(5;2)=2)` | `P(X_(5;3)=2)` | `P(X_(5;4)=2)` | `P(X_(5;5)=2)` | `P(X_(5;6)<=2)` |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0,6944 | 0,3056 |
`P(X_(5;i)=2)=0` mit i=0 bis 4 (Man kann nicht in einen vorhergehenden Zustand gelangen.)
`P(X_(5;5)=2)=(5/6)^2=0","6944`
`P(X_(5;6)<=2)=P(X_(5,6)=1)+P(X_(5,6)=2)=1/6+5/6*1/6=0","3056`
Im 1. Wurf gelangt man von Z5 nach Z6 mit Wahrscheinlichkeit `1/6`, also `P(X_(5;6)=1)=1/6`.
Oder:
Im 1. Wurf verbleibt man mit Wahrscheinlichkeit `5/6` im Zustand Z5 und gelangt im 2. Wurf mit Wahrscheinlichkeit `1/6` nach Z6, also `P(X_(5;6)=2)=5/6*1/6`.
Insbesondere interessieren die beiden folgenden Fragestellungen:
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens k Schritten eine vollständige Serie zu erreichen?
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit steht im letzten Element des Vektors `vec (v_0)` der Matrix `M^k` (Wahrscheinlichkeit des Übergangs von Z0 nach Zn).
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens k Schritten eine vollständige Serie zu erreichen, wenn man bereits m verschiedene Treffer erzielt hat?
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit steht im letzten Element des Vektors `vec (v_m)` der Matrix `M^k` (Wahrscheinlichkeit des Übergangs von Zm nach Zn). Siehe hierzu Auftrag 7.
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in höchstens k Schritten eine Teilserie mit m verschiedenen Treffern zu erzielen?
Die Antwort hierauf ist etwas komplizierter und wird weiter unten im Teils 2-2 untersucht.
Auftrag 6
Gegeben ist jeweils der Vektor `vec (v_0)` der Matrix `M^k`. Erläutern Sie die im letzten Element stehende Wahrscheinlichkeit. Es sei X die Anzahl der Schritte/Würfe bis zum Erreichen einer vollständigen Serie (n=6).
| k=5 | k=6 | k=7 | k=11 | k=50 |
|---|---|---|---|---|
| `vec(v_0)=((0),(0.0008),(0.0579),(0.3858),(0.4630),(0.0926),(0))` | `vec(v_0)=((0),(0.0001),(0.0199),(0.2315),(0.5016),(0.2315),(0.0154))` |
`vec (v_0)=((0),(0),(0.0067),(0.1290),(0.4501),(0.360),(0.0540))` |
`vec(v_0)=((0),(0),(0),(0.0094),(0.1447),(0.4896),(0.3562))` |
`vec(v_0)=((0),(0),(0),(0),(0),(0.0007),(0.9993))` |
1. `P(X<=5)=0`
Mit 5 oder weniger Würfen kann man keine vollständige Serie bei einem Würfelwurf erreichen.
2. `P(X<=6)=P(X=1)+...+P(X=6)=P(X=6)=0","0154`, da `P(X=i)=0` für i von1 bis 5.
Kontrollrechnung: `P(X=6)=(1/6)^6*6"!"=0","0154`.
Begründung: Die Wurffolge 1,2,3,4,5,6 hat die Wahrscheinlichkeit `(1/6)^6`. Die Zahlen in dieser Folge kann man noch auf 6! Arten vertauschen.
3. `P(X<=7)=0","0540`
Die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 7 Würfen alle 6 Augenzahlen geworfen zu haben, beträgt 5,4%.
Zusatzüberlegung:
Daraus ergibt sich `P(X=7)=P(X<=7)-P(X<=6)=0","0540-0","0154=0","0386`.
Die Wahrscheinlichkeit, in genau 7 Würfen alle 6 Augenzahlen geworfen zu haben, beträgt ca. 3,9%.
4. `P(X<=11)=0","3562`
Die Wahrscheinlichkeit, in höchstens 11 Würfen alle 6 Augenzahlen geworfen zu haben, beträgt 35,6%, d.h. bei jeder dritten Wurfserie schafft man in höchstens 11 Würfen eine vollständige Serie.
5. `P(X<=50)=0","9993`
Die Wahrscheinlichkeit, bis zum 50.ten Wurf eine vollständige Serie zu erhalten, beträgt fast 1.
Ergebnis:
Ist nun X die Anzahl der Würfe bis zum Ereichen einer vollständigen Serie, so gibt das letzte Element des Spaltenvektors `vec (v_0)` der Potenzmatrix `M^k` die Wahrscheinlichkeit `P(X<=k)` an, in spätestens k Schritten vom Zustand Z0 den Zustand Zn zu erreichen.
Die Wahrscheinlichkeit, in genau k-Schritten vom Zustand Z0 den Zustand Zn zu erreichen, berechnet sich wie folgt:
`P(X=k)=P(X<=k)-P(X<=k-1)`
| Das Histogramm für eine vollständige Serie beim Werfen eines idealen Würfels, sieht wie folgt aus: |
|
Auftrag 7
Gegeben ist ein Zufallsversuch mit 6 gleichwahrscheinlichen Ausfällen (z.B. Werfen eines Würfels, Sammeln einer Bilderserie mit 6 verschiedenen Motiven, wobei jeder Packung ein zufällig ausgewähltes Bild beiliegt).
a)
Formulieren Sie Fragen, die durch die rot gekennzeichneten Elemente in der folgenden Matrix `M^11` beantwortet werden.
b)
Begründen Sie, weshalb die Wahrscheinlichkeiten in der letzten Matrixzeile von links nach rechts zunehmen.
`M^11=(( ,Z_0,Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6),(Z_0,0,0,0,0,0,0,0),(Z_1,0,0,0,0,0,0,0),(Z_2,\color{red}{0},0,0,0,0,0,0),(Z_3,0.0094,0.0048,0.0019,0.0005,0,0,0),(Z_4,\color{red}{0.1447},0.1012,0.0636,0.0332,0.0116,0,0),(Z_5,0.4896,0.4562,0.4054,0.3358,0.2460,0.1345,0),(Z_6,0.3562,0.4379,\color{red}{0.5291},0.6305,0.7424,\color{red}{0.8655},1))`
a)
1. Übergangswahrscheinlichkeit von Z0 nach Z2: `P(X_(0;2)=11)=0`
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfelwurf im 11.Wurf nur eine Serie von 2 verschiedenen Augenzahlen zu haben.
Anmerkung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt exakt: 1,7·10-8.
2. Übergangswahrscheinlichkeit von Z0 nach Z4: `P(X_(0;4)=11)=0","1447`
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Sammeln von Bildern beim 11. Kauf 4 verschiedene Motive beisammen zu haben?
Achtung:
Es werden 11 Käufe getätigt. Die Wahrscheinlichkeit gibt nicht an, dass das 4. Motiv beim 11. Kauf erworben wird. Es könnte z.B. auch schon beim 9. Kauf erworben worden sein. In den restlichen beiden Käufen erhielt man dann kein neues Motiv - man verbleibt im Zustand Z4.
Eine mögliche Übergangsfolge ist z.B.: Z0 → Z1 → Z2 → Z2 → Z2 → Z3 → Z3 → Z3 → Z3 → Z4 → Z4 → Z4
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass man genau beim 11. Kauf das 4. Motiv erhält, ist Gegenstand der Untersuchung im nächsten Abschnitt.
3. Übergangswahrscheinlichkeit von Z2 nach Z6: 0,5291
Es wurden bereits zwei verschiedene Augenzahlen geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, spätestens nach weiteren 11 Würfen eine vollständige Serie zu erhalten?
4. Übergangswahrscheinlichkeit von Z5 nach Z6: 0,8655
Es wurden bereits fünf verschiedene Bilder gesammelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, spätestens nach weiteren 11 Käufen eine vollständige Serie zu erhalten?
Kontrollrechnung: Gegenwahrscheinlichkeit `(5/6)^11=0","1346` - keiner der 11 Käufe enthält das fehlende Motiv.
1-0,1346=0,8654
b)
Ausgangssituation ist die Anzahl der bereits gesammelten Bilder. Diese Anzahl nimmt von links nach rechts zu, d.h. die Anzahl der noch zu sammelnden Bilder sinkt. Damit steigt die Wahrscheinlichkeit, die Serie innerhalb einer vorgegebenen Schrittzahl zu komplettieren.
Gegegeben ist die bekannte Übergangsmatrix M für die vollständige Serie beim Würfelwurf.
Dann gilt:
`M^4=((,Z_0,Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6),(Z_0,0,0,0,0,0,0,0),(Z_1,0.0046,0.0008,0,0,0,0,0),(Z_2,0.1620,0.0579,0.0123,0,0,0,0),(Z_3,\color{red}{0.5556},0.3858,0.2006,0.0625,0,0,0),(Z_4,\color{blue}{0.2778},0.4630,0.5093,0.4051,0.1976,0,0),(Z_5,0,0.0926,0.2592,0.4490,0.5694,0.4822,0),(Z_6,0,0,0.0185,0.0833,0.2330,0.5178,1))`
Auftrag 8
a)
Stellen Sie alle Möglichkeiten zusammen, wie man vom Zustand Z0 in 4 Schritten in den Zustand Z3 gelangen bzw. dort verbleiben kann.
b)
Berechnen Sie `P(X_(0;3)=4)`.
c)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, in genau 4 Schritten eine vollständige Teilserie von 3 verschiedenen Elementen zu erhalten.
d)
Welche der beiden Wahrscheinlichkeiten aus b) und c) steht im ersten Element des zum Zustand Z3 gehörenden Zeilenvektors?
e)
Was gibt `P(X_(0;4)=4)` an?
a)
Nehmen Sie das obige Übergangsdiagramm zum Würfelwurf zu Hilfe.
1. Übergangsfolge: Z0 → Z1 → Z1 → Z2 → Z3 mit der Wahrscheinlichkeit `1*1/6*5/6*4/6=20/216`
2. Übergangsfolge: Z0 → Z1 → Z2 → Z2 → Z3 mit der Wahrscheinlichkeit `1*5/6*2/6*4/6=40/216`
3. Übergangsfolge: Z0 → Z1 → Z2 → Z3 → Z3 mit der Wahrscheinlichkeit `1*5/6*4/6*3/6=60/216`
b)
`P(X_(0;3)=4)=20/216+40/216+60/216=120/216=0","5556`
c)
Erst mit dem 4. Schritt darf man den Zustand Z3 erreichen, d.h. nur die ersten beiden Übergangsfolgen liefern die zu bestimmende Wahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeit, in genau 4 Schritten eine vollständige Teilserie von 3 verschiedenen Elementen zu erhalten, beträgt `20/216+40/216=0,2777`.
Im Teil 3 finden Sie eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Teilserien - siehe auch Auftrag 10.
d)
Im ersten Element des Zeilenvektors zum Zustand Z3 steht die Wahrscheinlichkeit, in genau 4 Schritten vom Startzustand Z0 in den Zustand Z3 zu gelangen oder dort zu bleiben - wenn man z.B. bereits im 3. Schritt nach Z3 gelangt ist. Daher steht nur die Wahrscheinlichkeit aus b) dort.
e)
`P(X_(0;4)=4)`
Übergangsfolge: Z0 → Z1 → Z2 → Z3 → Z4 mit der Wahrscheinlichkeit `1*5/6*4/6*3/6=0","2778`.
In diesem Fall ist es die Wahrscheinlichkeit, in 4 Schritten eine Teilserie von 4 verschiedenen Elementen zu erhalten.
Auf einen Beweis der nachfolgenden Formeln muss hier verzichtet werden.
Ein Zufallsversuch hat n verschiedene gleichwahrscheinliche Ausfälle.
Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der Durchführungen bis zum Erreichen einer vollständigen Serie. Dann gilt:
`P(X<=k)=sum_(i=1)^n (-1)^(n-i)*((n),(i))*(i/n)^k`
`P(X=k)=sum_(i=1)^n (-1)^(n-i)*((n),(i))*(i/n)^(k-1)*(i/n-1)`
Auftrag 9
Berechnen Sie für n=6
a)
`P(X<=11)`
b)
`P(X=11)`
a)
`P(X<=11)=(-1)^5*((6),(1))*(1/6)^11+(-1)^4*((6),(2))*(2/6)^11+(-1)^3*((6),(3))*(3/6)^11`
`+(-1)^2*((6),(4))*(4/6)^11+(-1)^1*((6),(5))*(5/6)^11+(-1)^0*((6),(6))*(6/6)^11`
`=-1","65*10^(-8)+8","46*10^(-5)-9","77*10^(-3)+0","1734-0","8075+1=0","3563`
b)
`P(X=11)=(-1)^5*((6),(1))*(1/6)^10*(1/6-1)+(-1)^4*((6),(2))*(2/6)^10*(2/6-1)`
`+(-1)^3*((6),(3))*(3/6)^10*(3/6-1)+(-1)^2*((6),(4))*(4/6)^10*(4/6-1)`
`+(-1)^1*((6),(5))*(5/6)^10*(5/6-1)+0`
`=8","26*10^(-8)-1","69*10^(-4)+9","77*10^(-3)-0","0867+0","1615=0","0844`
Die Zufallsgröße Ym sei die Anzahl der Durchführungen bis m verschiedene Ausfälle (erstmalig) erreicht werden. Dann gilt:
`P(Y_m=k)=((n),(m))*sum_(i=1)^(m-1) (-1)^(m-i)*((m),(i))*(i/n)^(k-1)*(i-m)/n` und `k>=m`
`P(Y_m<=k)=((n),(m))*sum_(i=1)^(m-1) (-1)^(m-i)*((m),(i))*(i-m)/(i-n)*((i/n)^k-(i/n)^(m-1))` und `k>=m`
Auftrag 10
a)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Würfelwurf mit 4 Würfen (erstmalig) eine Teilserie von 3 verschiedenen Augenzahlen zu erhalten.
b)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Würfelwurf mit höchstens 4 Würfen (erstmalig) eine Teilserie von 3 verschiedenen Augenzahlen zu erhalten. Stellen Sie alle möglichen Zustandsfolgen auf, berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeit und bestätigen Sie so das mit der Formel erhaltene Ergebnis.
a)
`P(Y_3=4)=((6),(3))*sum_(i=1)^2 (-1)^(3-i)*((3),(i))*(i/6)^(4-1)*(i-3)/6`
`=20*((-1)^2*3*(1/6)^3*(-2/6)+(-1)^1*3*(2/6)^3*(-1/6))`
`=20*(-1/216+4/216)=0","2778`
b)
`P(Y_3<=4)=((6),(3))*((-1)^2*((3),(1))*2/5*((1/6)^4-(1/6)^2)+(-1)^1*((3),(2))*1/4*((2/6)^4-(2/6)^2))`
`~~20*(-0","03241+0","07407)=0","8332`
1. Folge (k=3): Z0 → Z1 → Z2 → Z3 mit der Wahrscheinlichkeit `1*5/6*4/6=20/36`
2. Folge (k=4): Z0 → Z1 → Z1 → Z2 → Z3 mit der Wahrscheinlichkeit `1*1/6*5/6*4/6=20/216`
3. Folge (k=4): Z0 → Z1 → Z2 → Z2 → Z3 mit der Wahrscheinlichkeit `1*5/6*2/6*4/6=40/216`
`20/36+20/216+40/216=180/216=0","8333`
©2026 NET-SCHULBUCH.DE