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Startseite Qualifikationsphase Facharbeiten
Ein Beispiel für eine Facharbeit
Hier finden Sie zwei Beispiele, wie die Ergebnisse einer Facharbeit aussehen könnten.
Titel: Wo liegt der Schwerpunkt der Gemeinde Nottuln?
In diese
r Facharbeit soll der Schwerpunkt der Gemeinde Nottuln möglichst genau bestimmt werden. Dazu werden zuerst drei verschiedene Annäherungsmethoden erläutert und dann durchgeführt.
Verfahren 1: die handwerklich physikalische Methode
Der Schwerpunkt einer Fläche ist der Schnittpunkt zweier Lotgeraden oder Schwerelinien, wobei sich alle weiteren Schwerelinien ebenfalls im Schwerpunkt schneiden.
Eine Schwerelinie halbiert die Fläche in gleich große Teile, das heißt auf beiden muss die Summe der Drehmomente gleich sein. Das sind die Produkte aus den einzelnen Flächen und deren Schwerpunktabstand zur Schwerelinie. Daher muss der Schwerpunkt auf dieser Schwerelinie liegen. Wenn man noch eine zweite Schwerelinie kennt, auf die das gleiche zutrifft, ist der Schnittpunkt der beiden Linien der Schwerpunkt.
In einem Dreieck beispielsweise sind die Seitenhalbierenden die Schwerelinien. Wenn die Fläche allerdings keine bekannte geometrische Figur ist, kann man die Schwerelinien erhalten, indem man die ausgeschnittene Fläche an einem Punkt aufhängt und mit Hilfe eins Lots die Lotgerade einzeichnet. Wiederholt man diesen Vorgang, erhält man schnell den Schwerpunkt.
Verfahren 2: Berechnung durch Einteilung der Fläche in Rechtecke
Um die Berechnung der Fläche der Karte der Gemeinde Nottuln zu vereinfachen, teilt man sie in Rechtecke auf, die zusammen die Größe der Fläche ergeben sollen.
Dazu versucht man überstehende Teile durch einstehende auszugleichen. Man könnte hierzu auch eine Regressionsgerade verwenden. Dazu wäre allerdings ein Koordinatensystem notwenig, in dem man die Punkte einzeichnen müsste.
In dieser Facharbeit wurde darauf verzichtet und stattdessen wurde mit dem Augenmaß so genau wie möglich die Flächen abgeschätzt. Wenn nun also die Fläche der Rechtecke ungefähr der Fläche der Karte entspricht, bestimmt man ihre Schwerpunkte mit Hilfe der Diagonalen. Dann zeichnet man eine senkrechte Linie durch die Karte und misst die Abstände der Schwerpunkte der Rechtecke zu ihr. Diese Linie soll nun die Karte in gleich große Teile halbieren, das heißt auf jeder Seite soll die Summe der Drehmomente gleich groß sein. Es wird also davon ausgegangen, dass diese Linie eine Schwerelinie ist.
Allerdings ist diese Linie noch nicht, wie angenommen war, eine Schwerelinie, da sie frei gewählt wurde. Sie muss noch um x nach links oder um –x nach rechts verschoben werden, so dass die Summe der Drehmomente auf beiden Seiten gleich groß ist.
Entsprechend gewinnt man eine zweite Schwerelinie. Der Schnittpunkt der beiden ist der gesuchte Schwerpunkt.
Verfahren 3: Berechnung durch Einteilung der Fläche in Rechtecke, Dreiecke und krummlinig berandete Flächen
Wenn man die Karte nicht nur in Rechtecke, sondern auch in andere Figuren wie Dreiecke unterteilt, und auch gekrümmte Formen wie Funktionengraphen als Randlinie zulässt, könnte man zu genaueren Ergebnissen gelangen.
Dazu muss man den Schwerpunkt der anderen Figuren berechnen. Für Dreiecke ist das der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Für gekrümmte Flächen muss man zwei Probleme lösen: Die begrenzende Linie muss durch eine geeignete Regressionsfunktion angenähert werden - hier mit Matheass. Außerdem muss für den Schwerpunkt eine Formel hergeleitet werden. In der Arbeit wird gezeigt, dass dieser die folgenden Koordinaten hat:
Wenn die begrenzende Linie über dem Intervall [a;b] betrachtet wird, so gilt:
`x_S = (int_a^b x*f(x)dx)/(int_a^b f(x)dx)` und `y_S = (1/2*int_a^b f(x)^2dx)/(int_a^b f(x)dx)`
Anschließend geht es weiter wie bei Verfahren 2.
Auswertung
Mit den verschiedenen Annäherungsversuchen sind unterschiedliche Ergebnisse entstanden.
Mit der Pendelmethode ergibt sich: Der Schwerpunkt liegt auf der Kolpingstraße, gegenüber der dritten Stichstraße, genau auf der Grenze der beiden Grundstücke Hausnummer 18 und 20.
Auch der dritte Versuch – Verfahren 3 - hat dieses Ergebnis erreicht. Beim Verfahren 2 liegt das Ergebnis jenseits des Nonnenbaches.
Fehlerbetrachtung
Die einzelnen in dieser Facharbeit ausgeführten Methoden sind nur Annäherungen an den Schwerpunkt der Gemeinde Nottuln.
Im ersten Versuch, wurde die Karte so genau wie möglich ausgeschnitten, hierbei sind wohl keine Fehler entstanden, die sich auf den Schwerpunkt auswirken könnten. Beim Auspendeln der Karte wurde ebenfalls versucht, so exakt wie möglich die Schwerelinie einzuzeichnen. Hierbei können nur geringe Ungenauigkeiten entstanden sein.
Im zweiten und dritten Versuch beschreibt die Aufteilung der Karte in Rechtecke und andere Figuren nur ungefähr die Größe der Fläche, da die überstehenden und einstehenden Teile nur abgeschätzt wurden. Hätte man die Rechtecke noch kleiner aufgeteilt, wäre man unter Umständen zu noch genaueren Ergebnissen gekommen. Auch die Verwendung von Regressionsgeraden hätte die Genauigkeit unterstützen können, dies jedoch hätte den Rahmen dieser Arbeit überschritten.
Des Weiteren haben die überstehenden Teile nicht unbedingt die gleiche Lage zu der senkrechten oder waagerechten Linie, wie die Einstehenden, die sie ersetzen sollen. Dies ist besonders gut im zweiten Versuch beim Rechteck 12 zu sehen. Der einstehende Teil ersetzt zwar ungefähr die Fläche des überstehenden Teils, jedoch ist er näher an der senkrechten und weiter von der waagerechten Linie entfernt und hat somit eine etwas andere Wirkung. Dieser Unterschied ist in der Gesamtbetrachtung allerdings relativ gering, daher liegt der Schwerpunkt bei diesem Versuch nicht sehr weit entfernt von dem Schwerpunkt der in Versuch 1 und 3 ermittelt wurde.Bewertung der einzelnen Methoden
Die Genauigkeit der einzelnen Versuche wurde diskutiert. Die erste Methode hat wohl die wenigsten Ungenauigkeiten. Wenn man zudem die Aufwendigkeit der verschiedenen Versuche betrachtet, stellt man fest, dass die erste Methode am schnellsten und auch am einfachsten durchzuführen ist.
Daher kann man sie als die geeignetste und genaueste Methode ansehen.
Aber auch die dritte Methode hat ein sehr gutes Ergebnis erlangt, da dieser Schwerpunkt genau auf dem der ersten Methode liegt. Die genauere Aufteilung hat also auch die Genauigkeit der Lage des Schwerpunkts beeinflusst.
Die dritte Methode ist also auch genau, allerdings sehr rechenaufwändig, da man erst noch den Schwerpunkt durch das Integrals berechnen muss.
Titel: Wer hat die größeren Chancen?
Untersuchung des Spiels „Inflation der Gewinnzahlen“ durch Simulation und wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen
Das Spiel:
Im Zweier-Spiel würfelt der Erste und gewinnt, falls eine 6 fällt. Der Zweite gewinnt, falls eine 6 oder die erste gewürfelte Zahl fällt. Der erste Spieler würfelt wieder und gewinnt, wenn eine 6 oder eine der beiden bereits gewürfelten Zahlen fällt; usw. Nach einem Sieg endet das Spiel jeweils; es dauert also maximal 6 Würfe lang. Ist es günstiger, als erster oder als zweiter zu würfeln?
Facharbeit im Grundkurs
Der Schüler nutzte dazu Excel.
Hier ist der Screenshot einer Simulation:
In das erste Facharbeitsgespräch brachtest du die Idee mit, dich mit Glücksspielen zu beschäftigen. Wir haben das Projekt dann darauf zugespitzt, dass du dich allgemein mit Poker (als nicht nur zufallsbedingtes Spiel) und einem einfachen Würfelspiel (Inflation der Gewinnzahlen) beschäftigst. Dazu sollte für das zweite mit Hilfe stochastischer Überlegungen und einer Simulation geklärt werden, ob der anfangende Spieler eine größere Gewinnchance hat.
An die formalen Vorgaben für die Facharbeit hast du dich gehalten, die Arbeit ist optisch gut gestaltet. Der Titel ist aber so viel zu allgemein, hier hättest du z.B. stärker auf das Spiel fokussieren müssen.
Der allgemeine Teil hätte ruhig etwas kürzer ausfallen können, dann hättest du mehr Platz auf die Beschreibungen zur Konstruktion der Simulation verwenden können. Diese konnte ich so nur aus der mitgelieferten Exceldatei entnehmen.
Für die wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen hast du ein passendes Baumdiagramm gezeichnet (siehe Anhang). Leider hast du dich wohl nicht mehr an die Pfadregeln erinnert, mit denen du die interessierende Wahrscheinlichkeit P(Spieler 1 gewinnt) gut hättest berechnen können. Ergebnis ist übrigen 169/324 » 0,5216
Der zweite Grund, der zur Abwertung der Note führt, ist der, dass du das Gesetz der großen Zahl nicht kennst, das Grundlage dafür ist, dass die Simulation bei einer großen Anzahl von Versuchen eine gute Näherung der Wahrscheinlichkeit erbringt. Hier zeigen sich deutlich falsche Vorstellungen, wenn du erwägst die Simulation nur höchstens 500mal laufen zu lassen, weil man mehr Spiele real auch nicht schaffe.
Die Simulation ist dagegen sehr gut gelungen. Die Präsentation der Ergebnisse ist hervorragend und die Programmierung fehlerfrei. Die Erläuterungen, was man in den einzelnen Zellen nun angezeigt bekommt, ist ebenso in Ordnung wie die Interpretation z.B. der unterschiedlichen Häufigkeiten, wenn man alle Würfe oder nur die des ersten Spielers betrachtet.
Facharbeit im Leistungskurs
Dieser Schüler nutzte Scratch (z.B. https://scratch.mit.edu/ ) und konzentrierte sich auf eine Variante des Spiels mit zwei Würfeln.
Zunächst hast du das Spiel „Inflation der Gewinnzahlen“ beschrieben und die Chancen angegeben, dass das Spiel im 1.,2. ,3. ... Wurf entschieden wird. Da der Spieler 1 aber nur beim 1., 3. Und 5. Wurf gewinnen kann, ist die zweite Tabelle viel wichtiger, die angibt, wie groß die Gewinnchance nach der entsprechenden Anzahl von Würfen für den jeweiligen Spieler ist. Daraus ergibt sich, dass die Chance für den Spieler 1 mit 169/324 » 52,16% höher ist als für Spieler 2.
Diese Tabelle ist bis auf einen Übertragungsfehler richtig, allerdings gibt es keinerlei Hinweis darauf, wie du die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ermittelt hast.
Darauf betrachtest du – gemäß unserer Absprache - die Weiterentwicklung des Spiels hin zu einer Variante mit 2 Würfeln und der Betrachtung der Augensumme. Du führst richtig aus, dass eine wahrscheinlichkeitstheoretische Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeiten hier mit sehr großem Aufwand verbunden wäre, weil kein Laplace-Experiment vorliegt.
Deshalb programmierst du mit Mathematik - Scratch eine Simulation des Spiels. Dabei generierst du in einem ersten Script eine Zufallszahl von 1 bis 36 und ordnest ihr unter Berücksichtigung der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten die Augensumme zu. Im zweiten Script wird dann geprüft, wer das entsprechende Spiel gewinnt. Beide Scripts erfüllen ihren Zweck – soweit ich die Syntax der Befehle verstehe. Leider versäumst du auch hier, mir irgendetwas zum Programm „Mathematik-Scratch“ mitzuteilen. Mindestens eine URL wäre dazu unabdingbar gewesen.
Danach legst du eine Zielzahl („Anfangsaugensumme“ heißt sie bei dir) fest und lässt das Spiel so oft simulieren, bis einer der Spieler 1000 Siege erzielt hat. Da dir schon klar ist, dass dabei der Zufall noch eine große Rolle spielt, gibst du die Ergebnisse von zwei weiteren Spielserien an. (...)
Jetzt wird schon deutlicher, dass die Gewinnchancen von der Zielzahl 2 bis zur 7 steigen und danach wieder fallen. Dicker Ausreißer ist eigentlich nur die Zielzahl 12. Entweder liegt ein Programmierfehler vor (was ich nicht glaube) oder der Zufall hat dir hier einfach „einen Streich gespielt“. Dies kann man durch längere Serien mehr oder weniger vermeiden.
Da du keine Systematik in deinen Spielserien erkennen kannst, fällt die mathematische Auswertung leider sehr schmal aus.