Bedingte Wahrscheinlichkeiten & der Satz von Bayes - Aufgaben 1

Blutspenden werden auf Diabetes untersucht, eine Krankheit, die mit ca. 8 % in der Bevölkerung verbreitet ist.

Der Test erkennt an Diabetes Erkrankte mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 %, während 1 % der Testpersonen als Diabetiker eingestuft wird, obwohl sie es nicht sind.

1. Stellen Sie ein Baumdiagramm zu dem Sachverhalt auf.
   
   Baumansatz

     bayes_a1_5.ggb 
     
2. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Testergebnis „Diabetiker".
3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein positiv Getesteter tatsächlich nicht erkrankt ist.
   
   Ich bin mir unsicher, welche Wahrscheinlichkeit bei c. berechnet werden soll...
   Was ist bereits sicher eingetreten?
   Eine Person wurde bereits positiv getestet und dann möchte man wissen, ob diese Person tatsächlich nicht erkrankt ist. Also die Wahrscheinlichkeit, dass man tatsächlich "nicht krank" ist unter der Bedingung, dass der Test positiv (T+) ist. Sprich "P nicht krank unter der Bedingung T+", d.h. P(nicht krank|T+).
    
   
   Lösungen zu b. und c. prüfen
   
   

   b. P(T+) = %, d.h. es werden Personen als "an Diabetes erkrankt" angegeben, als es der Krankheitshäufigkeit (Prävalenz) von % entspricht.
   c. P(nicht krank|T+) = %; d.h. fast jeder Zehnte, der getestet wird, ist tatsächlich an Diabetes erkrankt.

   prüfen löschen lösen
   
   
   

Betrachten Sie den folgenden Drogentest zur Prüfung auf Ecstasy.

Geben Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten an und erläutern Sie diese in Worten:

1. Erläutern Sie die Bedeutung der folgenden Angaben:

   `P(E+) = 1 % `
   `P(T+|E+) = 96 %`
   `P(T-|E-) = 98 %`
   

   Bedeutung der Kürzel E+, E-, T+, T-
   
   E+ : Eine Person hat Ecstasy konsumiert.
   E- : Eine Person hat kein Ecstasy konsumiert.
   T+ : Der Drogentest fällt positiv aus.
   T- : Der Drogentest fällt negativ aus.

2. Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm mit den Daten aus a.
3. Füllen Sie die nachfolgende Vierfeldertafel aus und erläutern Sie, warum man erst das Baumdiagramm aufstellen muss. 
   

   Hier ist die Vorlage für eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten T+ T- Gesamt E+ E- Gesamt prüfen löschen lösen  Hier können Sie die Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen oder als Brüche eintragen T+ T- Gesamt E+ E- Gesamt prüfen löschen lösen

4. Geben Sie den Wert für die jeweilige Wahrscheinlichkeit an und erläutern Sie seine Bedeutung:

   `P(E+ `und ` T-)`
   `P(E- `und ` T-) `

5. Berechnen Sie `P(E+|T+)` und `P(E-|T+)` und erläutern Sie die Bedeutung der beiden Wahrscheinlichkeiten.  

Ein Supermarkt verwendet für die Bearbeitung zurückgegebener Pfandflaschen eine Maschine.

Diese akzeptiert einwandfreie Flaschen (Annahme) mit 95 % Sicherheit, deformierte Flaschen (Zurückweisung) werden mit 90 % Sicherheit erkannt.

1. Stellen Sie ein Baumdiagramm zum Sachverhalt auf, wenn erfahrungsgemäß 20 % der abgegebenen Flaschen nicht einwandfrei sind.
   Zum Prüfen

     bayes_aufg3.ggb 
    
2. Eine Flasche wird abgewiesen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Flasche trotzdem in Ordnung ist.
   

Ein anderer Supermarkt verwendet für die Bearbeitung zurückgegebener Pfandflaschen eine qualitativ andere Maschine.

Diese akzeptiert einwandfreie Flaschen (Annahme) mit 99 % Sicherheit, deformierte Flaschen (Zurückweisung) werden mit 97 % Sicherheit erkannt.

1. Stellen Sie ein Baumdiagramm zum Sachverhalt auf, wenn rund 90 % einwandfreie Flaschen abgegeben werden. Arbeiten Sie diesmal mit absoluten Häufigkeiten. Gehen Sie dazu von 100.000 abgegebenen Flaschen aus.
2. Eine Flasche wird akzeptiert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Flasche trotzdem deformiert ist.

Wird jemand auf Hepatitis C (HCV) untersucht, so werden immer zwei Tests gemacht. Beachten Sie dazu Aufgabe 6.

Der erste Test (Elisa) weist bei Nicht-Infizierten in Deutschland eine falsch-positive Rate von 1 % auf.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein HCV-positiver Mensch auch positiv getestet wird, liegt bei 98 %.

Die Erkrankungsrate (Prävalenz) in Deutschland liegt bei etwa 0,5 %.

1. Stellen Sie ein Baumdiagramm zum Sachverhalt auf. 
2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test.
3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine positiv getestete Person tatsächlich nicht erkrankt ist.

Erhält ein Proband beim ersten HCV-Test ein positives Ergebnis, so wird ein zweiter Test gemacht, der HCV-Erkrankte mit 99,9 % Sicherheit als erkrankt diagnostiziert und Nicht-Erkrankte mit 99,8 % Sicherheit als nicht erkrankt erkennt.

1. Begründen Sie P(HCV+)=0,33
   
   Baumdiagramm Test 1
   
   Das Baumdiagramm zu Test 1 mit auf 3 Nachkommastellen gerundeten Ergebnissen:
   
2. Geben Sie das Baumdiagramm für diesen 2. Test an.
3. Berechnen Sie jetzt die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis.
4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine tatsächlich vorliegende HCV-Infektion bei einem positiven zweiten Test.