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Startseite Vorkurs Weitere Gleichungen und Funktionen Potenzfunktionen
Startseite Vorkurs Weitere Gleichungen und Funktionen Potenzfunktionen Diese Seite wurde aktualisiert am 28.04.2022

Potenzfunktionen - Lösungen

 

Ordnen Sie den Funktionsgleichungen die passenden Bilder zu:

Lösung

Skizzieren Sie jeweils in ein Koordinatensystem und beschreiben Sie den Verlauf.

  1. `f(x)=x^2`; `g(x)=x^4`  und `h(x)=x^6`
  2. `f(x)=x^3`; `g(x)=x^5`  und `h(x)=x^7`
  3. `f(x)=x^(-2)`; `g(x)=x^(-4)`  und `h(x)=x^(-6)`
  4. `f(x)=x^(-1)`; `g(x)=x^(-3)`  und `h(x)=x^(-5)`

Lösungen

a.

Für `x < 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x kleiner.

Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer.

Für `|x| > 1` verläuft der Graph von `x^6` oberhalb des Graphen von `x^2`, da der Exponent größer ist.

Für `|x| < 1` verläuft der Graph von `x^6` unterhalb des Graphen von `x^2`, da der Exponent größer ist.

Der Graph von `x^4` liegt zwischen den Graphen von `x^2` und `x^6`, da der Exponent 4 zwischen den Exponenten 2 und 6 liegt.

Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (-1; 1), (0; 0) und (1; 1).

 

b.

Für `x < 0` sind die Funktionswerte negativ und sie werden mit zunehmendem x größer.

Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer.

Für `x < -1` verläuft der Graph von `x^7` unterhalb des Graphen von `x^3`, da der Exponent größer ist.
Beispiel: `(-2)^7 < (-2)^3`, da `-128 < -8`

Für `-1 < x < 0` verläuft der Graph von `x^7` oberhalb des Graphen von `x^3`, da der Exponent größer ist.
Beispiel: `(-1/2)^7 > (-1/2)^3`, da `-1/128 > -1/8`

Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^7` unterhalb des Graphen von `x^3`, da der Exponent größer ist.
Beispiel: `(1/2)^7 < (1/2)^3`, da `1/128 < 1/8`

Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^7` oberhalb des Graphen von `x^3`, da der Exponent größer ist.
Beispiel: `2^7 > 2^3`, da `128 > 8`

Der Graph von `x^5` liegt zwischen den Graphen von `x^3` und `x^7`, da der Exponent 5 zwischen den Exponenten 3 und 7 liegt.

Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (-1; -1), (0; 0) und (1; 1).

c.

Für `x < 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer.

Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x kleiner.

Für `|x| > 1` verläuft der Graph von `x^(-2)` oberhalb des Graphen von `x^(-6)`, da der Exponent größer ist.

Für `|x| < 1` verläuft der Graph von `x^(-2)` unterhalb des Graphen von `x^(-6)`, da der Exponent größer ist.

Der Graph von `x^(-4)` liegt zwischen den Graphen von `x^(-6)` und `x^(-2)`, da der Exponent -4 zwischen den Exponenten -6 und -2 liegt.

Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (-1; 1), und (1; 1).

d.

Für `x < 0` sind die Funktionswerte negativ und sie werden mit zunehmendem x kleiner.

Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x kleiner.

Für `x < -1` verläuft der Graph von `x^(-1)` unterhalb des Graphen von `x^(-5)`, da der Exponent größer ist.
Beispiel: `(-2)^(-1) < (-2)^(-5)`, da `-1/2 < - 1/32`

Für `-1 < x < 0` verläuft der Graph von `x^(-1)` oberhalb des Graphen von `x^(-5)`, da der Exponent größer ist.
Beispiel: `(-1/2)^(-1) > (-1/2)^(-5)`, da `-2 > -32`

Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^(-1)` unterhalb des Graphen von `x^(-5)`, da der Exponent größer ist.
Beispiel: `(1/2)^(-1) < (1/2)^(-5)`, da `2 < 32`

Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^(-1)` oberhalb des Graphen von `x^(-5)`, da der Exponent größer ist.
Beispiel: `2^(-1) > 2^(-5)`, da `1/2 > 1/32`

Der Graph von `x^(-3)` liegt zwischen den Graphen von `x^(-5)` und `x^(-1)`, da der Exponent -3 zwischen den Exponenten -5 und -1 liegt.

Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (-1; -1) und (1; 1).

 

Aufgabe 4 

Markieren Sie die richtigen Aussagen

a.

(2; 2) ist Punkt des Graphen von `f(x)=`

b.

`f(x)=x^4`

`g(x)=x^6`

c.

`f(x)=1/x^3`

`g(x)=1/x^5`

d.

`f(x)=1/x^3`

`g(x)=x^3`

 

Bestimmen Sie die jeweils fehlende Koordinate (im Kopf): `P(0; ?)`,  `Q(2; ?)`,  `R(-1;?)`,  `S(?; 8)`,  `T(?; 1)`:

  1. `f(x)=2*x^2`
  2. `f(x)=x^3`
  3. `f(x)=4/(x^2)`
  4. `f(x)=x^(-3)`

Lösungen

a.

`P(0; 0)`,  `Q(2; 8)`,  `R(-1;  2)`,  `S(2; 8)` oder `S(-2; 8)`,  `T(sqrt(0","5); 1)`  oder `T(-sqrt(0","5); 1)`

b.

`P(0; 0)`,  `Q(2; 8)`,  `R(-1; -1)`,  `S(2; 8)`, `T(1; 1)`

c.

`f(0)` existiert nicht, `Q(2; 1)`,  `R(-1; 4)`,  `S(sqrt(0","5); 8)`  oder `S(-sqrt(0","5); 8)`,  `T(2; 1)` oder `T(-2; 1)`

d.

`f(0)` existiert nicht,  `Q(2; 0","125)`,  `R(-1; -1)`,  `S(0","5; 8)`,  `T(-1; -1)`

 

Die Graphen der Funktionen `f(x)=x^4`, `g(x)=x^3`, `h(x)=1/x` und `k(x)=1/x^2` wurden verschoben. Die nachfolgenden Bilder zeigen diese verschobenen Graphen. Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Lösungen

a.

`f(x)=(x-2)^4-3`

b.

`g(x)=x^3-2`

c.

`h(x)=1/(x+2)`

d.

`k(x)=1/(x-1)^2-3`

e.

`g(x)=(x+1)^3-1`

f.

`k(x)=1/(x-1)^2`

 

Bestimmen Sie die Schnittpunkte:

  1. `f(x)=x^4` und `g(x)=2x^3`
  2. `f(x)=x^4` und `g(x)=1/x^2`
  3. `f(x)=x^(-2)` und `g(x)=1/x^3`

Lösungen

a.

`x^4=2x^3 hArr x^4-2x^3=0 hArr x^3(x-2)=0`

ES folgt `x=0` oder `x=2`.  (Ein Produkt hat den Wert 0, wenn mindestens ein Faktor den Wert 0 hat.)

Schnittpunkte sind folglich (0; 0)  und (2; 16).

b.

`x^4=1/x^2 hArr x^6=1` (Multiplikation mit `x^2`)

Es folgt `x=1` oder `x=-1`.

Schnittpunkte sind folglich (1; 1) und (-1; 1).

c.

`x^(-2)=1/x^3 hArr x^(-2)*x^3=1` (Multiplikation mit `x^3`)

Es folgt `x=1`.

Schnittpunkt ist folglich (1; 1).

 

Bestimmen Sie die Gleichung der Potenzfunktion `f(x)=a*x^r`, deren Graphen durch die folgenden Punkte verläuft.

  1. P(1; 0,5) und Q(2; 2)
  2. P(1; -2)  und Q(-2; 16)
  3. Icon 2 Sterne 30x30P(0,5; 8) und Q(2; 0,5)

Lösungen

a.

P: `f(1)=1/2 hArr 1/2=a*1^r hArr a=1/2`, da `1^r=1`

Also: `f(x)=1/2*x^r`

Q: `f(2)=2 hArr 2=1/2*2^r hArr 4=2^r hArr r=2`

Ergebnis: `f(x)=1/2*x^2`

b.

P: `f(1)=-2 hArr -2=a*1^r hArr a=-2`, da `1^r=1`

Also: `f(x)=-2*x^r`

Q: `f(-2)=16 hArr 16=-2*(-2)^r hArr -8=(-2)^r hArr r=3`

Ergebnis: `f(x)=-2*x^3`

c.

P: `f(1/2)=8 hArr 8=a*(1/2)^r hArr a=8/(1/2)^r` (*)

Q: `f(2)=1/2 hArr 1/2=a*2^r hArr 1/2=8/(1/2)^r*2^r` (a aus (*) eingesetzt)

`hArr 1/2=8*(2/(1/2))^r hArr 1/2=8*4^r`

`hArr 1/16=4^r hArr r=-2`

Eingesetzt in (*): `a=8/(1/2)^(-2)=8/4=2`

Ergebnis: `f(x)=2*x^(-2)`

Ergänzung: `1/16=4^r` lässt sich auch wie folgt lösen:

`1/16=4^r  hArr ln(1/16)=r*ln(4)` (Anwendung eines Logarithmengesetzes)

`hArr r=ln(1/16)/ln(4)=-2`  (Taschenrechner)

Ordnen Sie den Funktionsgleichungen die passenden Bilder zu:

Lösung

Skizzieren Sie jeweils in ein Koordinatensystem und beschreiben Sie den Verlauf.

  1. `f(x)=x^(1/3)`, `g(x)=x^(3/5)` und `h(x)=x^(7/8)`
  2. `f(x)=x^(5/3)`; `g(x)=x^(5/2)` und `h(x)=x^(10/3)`
  3. `f(x)=x^(-3/5)`; `g(x)=x^(-5/3)` und `h(x)=x^(-7/2`

Lösungen

a.

Die Funktionen sind für `x < 0` nicht definiert.

Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer.

Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^(7/8)` unterhalb des Graphen von `x^(1/3)`, da der Exponent größer ist.

Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^(7/8)` oberhalb des Graphen von `x^(1/3)`, da der Exponent größer ist.

Der Graph von `x^(3/5)` liegt zwischen den Graphen von `x^(1/3)` und `x^(7/8)`, da der Exponent `3/5` zwischen den Exponenten `1/3` und `7/8` liegt.

Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (0; 0) und (1; 1).

b.

Die Funktionen sind für `x < 0` nicht definiert.

Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer.

Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^(10/3)` unterhalb des Graphen von `x^(5/3)`, da der Exponent größer ist.

Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^(10/3)` oberhalb des Graphen von `x^(5/3)`, da der Exponent größer ist.

Der Graph von `x^(5/2)` liegt zwischen den Graphen von `x^(5/3)` und `x^(10/3)`, da der Exponent `5/2` zwischen den Exponenten `5/3` und `10/3` liegt.

Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (0; 0) und (1; 1).

c.

Die Funktionen sind für `x <= 0` nicht definiert.

Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x kleiner.

Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^(-3/5)` unterhalb des Graphen von `x^(-7/2)`, da der Exponent größer ist.

Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^(-3/5)` oberhalb des Graphen von `x^(-7/2)`, da der Exponent größer ist.

Der Graph von `x^(-5/3)` liegt zwischen den Graphen von `x^(-7/2)` und `x^(-3/5)`, da der Exponent `-5/3` zwischen den Exponenten `-7/2` und `-3/5` liegt.

Die drei Graphen schneiden sich im Punkt (1; 1).

Aufgabe 12

Markieren Sie die richtigen Aussagen

a.

(16; 8) ist Punkt des Graphen von `f(x)=`

b.

`f(x)=x^(1/4)`

`g(x)=x^(3/4)`

 c.

`f(x)=x^(-5/4)`

`g(x)=x^(-4/5)`

 

d.

`f(x)=root(3)(x)`

`g(x)=x^(-1/3)`

[

Bestimmen Sie die jeweils fehlende Koordinate (im Kopf): `P(0; ?)`,   `Q(1; ?)`,   `R(4;?)`,  `S(?; 8)`,   `T(?; 1/8)`:

  1. `f(x)=x^(1/2)`
  2. `f(x)=x^(3/2)`

Lösungen

a.

`P(0; 0)`,  `Q(1; 1)`,  `R(4; 2)`,  `S(64; 8)`,  `T(1/64; 1/8)`

b.

`P(0; 0)`,  `Q(1; 1)`,  `R(4; 8)`,  `S(4; 8)`,  `T(1/4; 1/8)`

Die Graphen der Funktionen `f(x)=x^(1/2)`, `g(x)=x^(5/3)`, `h(x)=x^(-1/2)` wurden verschoben. Die nachfolgenden Bilder zeigen diese verschobenen Graphen. Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Lösungen

a.

`f(x)=x^(1/2)-2`

b.

`f(x)=(x+3)^(1/2)-2`

c.

`g(x)=x^(5/3)+1`

d.

`h(x)=(x+2)^(-1/2)`

e.

`g(x)=(x-1)^(5/3)`

f.

`h(x)=(x+2)^(-1/2)-1`

Bestimmen Sie die Schnittpunkte:

Potenzieren Sie die Gleichung mit einem geigneten Exponenten oder führen Sie eine geignete Division durch.

  1. `f(x)=x^(1/2)` und `g(x)=root(3)(x)`
  2. `f(x)=x^2` und `g(x)=3*x^(1/3)`
  3. `f(x)=x^(-2/3)` und `g(x)=1/4*x^(1/3)`

Lösungen

a.

`x^(1/2)=root(3)(x)`  (Potenzieren mit 6)

`rArr x^3=x^2 hArr x^3-x^2=0 hArr x^2(x-1)=0`

`hArr x=0 vv x=1`

Schnittpunkte: (0; 0) und (1; 1)

b.

`x^2=3*x^(1/3)`  (Potenzieren mit 3)

`rArr x^6=27*x hArr x^6-27x=0 hArr x(x^5-27)=0`

`hArr x=0 vv x^5=27 hArr x=0 vv x=root(5)(27)~~1","93`

Schnittpunkte: (0; 0) und (1,93; 3,74)

c.

`x^(-2/3)=1/4*x^(1/3)`  (Division durch `x^(-2/3)` - möglich, da von 0 verschieden)

`hArr 1=1/4*x^(1/3)/x^(-2/3)`

`hArr 1=1/4*x hArr x=4`

Schnittpunkt: (4; 0,4)

Alternative:

`x^(-2/3)=1/4*x^(1/3)`  (Potenzieren mit 3)

`hArr x^(-2)=1/64*x` (Multiplikation mit `x^2`)

`hArr 1=1/64*x^3`

`hArr 64=x^3 hArr x=4`

Schnittpunkt (4; 0,4)

Bestimmen Sie die Gleichung der Potenzfunktion `f(x)=a*x^r`, deren Graphen durch die fogenden Punkte verläuft.

  1. P(1; 2) und Q(4; 4)
  2. P(1; 3) und Q(8; 1,5)
  3. Icon 2 Sterne 30x30`P(1/4;" "1/16)` und `Q(4; 4)`

Lösungen

a.

P: `f(1)=2 hArr 2=a*1^r hArr a=2`, da `1^r=1`

Also: `f(x)=2*x^r`

Q: `f(4)=4 hArr 4=2*4^r hArr 2=4^r hArr r=1/2`

Ergebnis: `f(x)=2*x^(1/2)`

b.

P: `f(1)=3 hArr 3=a*1^r hArr a=3`, da `1^r=1`

Also: `f(x)=3*x^r`

Q: `f(8)=1","5 hArr 1","5=3*8^r hArr 0","5=8^r hArr r=-1/3`

`(8^(-1/3)=1/root(3)(8)=1/2)`

Ergebnis: `f(x)=3*x^(-1/3)`

c.

P: `f(1/4)=1/16  hArr 1/16=a*(1/4)^r hArr 1/16=a*1/4^r hArr a= 4^r/16` (*)

Q: `f(4)=4 hArr 4=a*4^r`

Mit a aus (*) folgt:

`4=4^r/16*4^r hArr 64=4^(2r)`

`hArr 4^3=4^(2r) hArr 3=2r hArr r=3/2`

r in (*) eingesetzt ergibt:

`a=4^(3/2)/16 hArr a=8/16 hArr a=1/2`

Ergebnis: `f(x)=1/2*x^(3/2)`

Spiegelt man einen Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden `y=x`, so erhält man die Funktionsgleichung des gespiegelten Graphen wie folgt:

1. Vertausche in der Funktionsgleichung x und y.

2. Löse die neue Funktionsgleichung nach y auf

Beispiel: `f(x)=x^2` bzw. `y=x^2`

`x=y^2` (1. Vertauschen)

`y=sqrt(x)=x^(1/2)` oder `y=-sqrt(x)=-x^(1/2)` (2. Auflösen nach y)

Der rote Funktionsgraph ist der gespiegelte Graph des rechten Parabelastes.

Der grüne Funktionsgraph ist der gespiegelte Graph des linken Parabelastes.

Ergänzen Sie die folgende Tabelle:

Funktionsterm Term der gespiegelten Funktion
`f(x)=x^4`  
`f(x)=x^3`  
`f(x)=1/x^2`  
`f(x)=x^(-5)`  
`f(x)=x^(1/4)`  
`f(x)=x^(-1/5)`  
`f(x)=x^(3/5)`  
`f(x)=x^(-3/5)`  
 

Lösung

Funktionsterm Term der gespiegelten Funktion
`x^4`  `root(4)(x)=x^(1/4)`  bzw.  `-root(4)(x)=-x^(1/4)`
`x^3`  `{(-root(3)(-x),für \ x<0),(root(3)(x),für \ x>=0):}`
`1/x^2`  `1/sqrt(x)=x^(-1/2)`  bzw. `-1/sqrt(x)=-x^(-1/2)`
`x^(-5)`  `1/root(5)(x)=x^(-1/5)`  bzw.  `-1/root(5)(x)=-x^(-1/5)`
`x^(1/4)`  `x^4` und `x >= 0`
`x^(-1/5)`  `1/x^5 = x^(-5)`  und `x > 0`
`x^(3/5)`  `root(3)(x^5)=x^(5/3)`
`x^(-3/5)`  `1/root(3)(x^5)=x^(-5/3)`

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