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Potenzfunktionen - Lösungen
Ordnen Sie den Funktionsgleichungen die passenden Bilder zu: |
Lösung
Skizzieren Sie jeweils in ein Koordinatensystem und beschreiben Sie den Verlauf.
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Lösungen
a. Für `x < 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x kleiner. Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer. Für `|x| > 1` verläuft der Graph von `x^6` oberhalb des Graphen von `x^2`, da der Exponent größer ist. Für `|x| < 1` verläuft der Graph von `x^6` unterhalb des Graphen von `x^2`, da der Exponent größer ist. Der Graph von `x^4` liegt zwischen den Graphen von `x^2` und `x^6`, da der Exponent 4 zwischen den Exponenten 2 und 6 liegt. Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (-1; 1), (0; 0) und (1; 1). |
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b. Für `x < 0` sind die Funktionswerte negativ und sie werden mit zunehmendem x größer. Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer. Für `x < -1` verläuft der Graph von `x^7` unterhalb des Graphen von `x^3`, da der Exponent größer ist. Für `-1 < x < 0` verläuft der Graph von `x^7` oberhalb des Graphen von `x^3`, da der Exponent größer ist. Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^7` unterhalb des Graphen von `x^3`, da der Exponent größer ist. Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^7` oberhalb des Graphen von `x^3`, da der Exponent größer ist. Der Graph von `x^5` liegt zwischen den Graphen von `x^3` und `x^7`, da der Exponent 5 zwischen den Exponenten 3 und 7 liegt. Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (-1; -1), (0; 0) und (1; 1). |
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c. Für `x < 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer. Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x kleiner. Für `|x| > 1` verläuft der Graph von `x^(-2)` oberhalb des Graphen von `x^(-6)`, da der Exponent größer ist. Für `|x| < 1` verläuft der Graph von `x^(-2)` unterhalb des Graphen von `x^(-6)`, da der Exponent größer ist. Der Graph von `x^(-4)` liegt zwischen den Graphen von `x^(-6)` und `x^(-2)`, da der Exponent -4 zwischen den Exponenten -6 und -2 liegt. Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (-1; 1), und (1; 1). |
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d. Für `x < 0` sind die Funktionswerte negativ und sie werden mit zunehmendem x kleiner. Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x kleiner. Für `x < -1` verläuft der Graph von `x^(-1)` unterhalb des Graphen von `x^(-5)`, da der Exponent größer ist. Für `-1 < x < 0` verläuft der Graph von `x^(-1)` oberhalb des Graphen von `x^(-5)`, da der Exponent größer ist. Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^(-1)` unterhalb des Graphen von `x^(-5)`, da der Exponent größer ist. Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^(-1)` oberhalb des Graphen von `x^(-5)`, da der Exponent größer ist. Der Graph von `x^(-3)` liegt zwischen den Graphen von `x^(-5)` und `x^(-1)`, da der Exponent -3 zwischen den Exponenten -5 und -1 liegt. Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (-1; -1) und (1; 1). |
Aufgabe 4 | ||||||||
Markieren Sie die richtigen Aussagen
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Bestimmen Sie die jeweils fehlende Koordinate (im Kopf): `P(0; ?)`, `Q(2; ?)`, `R(-1;?)`, `S(?; 8)`, `T(?; 1)`:
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Lösungen
a.
`P(0; 0)`, `Q(2; 8)`, `R(-1; 2)`, `S(2; 8)` oder `S(-2; 8)`, `T(sqrt(0","5); 1)` oder `T(-sqrt(0","5); 1)`
b.
`P(0; 0)`, `Q(2; 8)`, `R(-1; -1)`, `S(2; 8)`, `T(1; 1)`
c.
`f(0)` existiert nicht, `Q(2; 1)`, `R(-1; 4)`, `S(sqrt(0","5); 8)` oder `S(-sqrt(0","5); 8)`, `T(2; 1)` oder `T(-2; 1)`
d.
`f(0)` existiert nicht, `Q(2; 0","125)`, `R(-1; -1)`, `S(0","5; 8)`, `T(-1; -1)`
Die Graphen der Funktionen `f(x)=x^4`, `g(x)=x^3`, `h(x)=1/x` und `k(x)=1/x^2` wurden verschoben. Die nachfolgenden Bilder zeigen diese verschobenen Graphen. Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.
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Lösungen
a.
`f(x)=(x-2)^4-3`
b.
`g(x)=x^3-2`
c.
`h(x)=1/(x+2)`
d.
`k(x)=1/(x-1)^2-3`
e.
`g(x)=(x+1)^3-1`
f.
`k(x)=1/(x-1)^2`
Bestimmen Sie die Schnittpunkte:
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Lösungen
a.
`x^4=2x^3 hArr x^4-2x^3=0 hArr x^3(x-2)=0`
ES folgt `x=0` oder `x=2`. (Ein Produkt hat den Wert 0, wenn mindestens ein Faktor den Wert 0 hat.)
Schnittpunkte sind folglich (0; 0) und (2; 16).
b.
`x^4=1/x^2 hArr x^6=1` (Multiplikation mit `x^2`)
Es folgt `x=1` oder `x=-1`.
Schnittpunkte sind folglich (1; 1) und (-1; 1).
c.
`x^(-2)=1/x^3 hArr x^(-2)*x^3=1` (Multiplikation mit `x^3`)
Es folgt `x=1`.
Schnittpunkt ist folglich (1; 1).
Bestimmen Sie die Gleichung der Potenzfunktion `f(x)=a*x^r`, deren Graphen durch die folgenden Punkte verläuft.
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Lösungen
a.
P: `f(1)=1/2 hArr 1/2=a*1^r hArr a=1/2`, da `1^r=1`
Also: `f(x)=1/2*x^r`
Q: `f(2)=2 hArr 2=1/2*2^r hArr 4=2^r hArr r=2`
Ergebnis: `f(x)=1/2*x^2`
b.
P: `f(1)=-2 hArr -2=a*1^r hArr a=-2`, da `1^r=1`
Also: `f(x)=-2*x^r`
Q: `f(-2)=16 hArr 16=-2*(-2)^r hArr -8=(-2)^r hArr r=3`
Ergebnis: `f(x)=-2*x^3`
c.
P: `f(1/2)=8 hArr 8=a*(1/2)^r hArr a=8/(1/2)^r` (*)
Q: `f(2)=1/2 hArr 1/2=a*2^r hArr 1/2=8/(1/2)^r*2^r` (a aus (*) eingesetzt)
`hArr 1/2=8*(2/(1/2))^r hArr 1/2=8*4^r`
`hArr 1/16=4^r hArr r=-2`
Eingesetzt in (*): `a=8/(1/2)^(-2)=8/4=2`
Ergebnis: `f(x)=2*x^(-2)`
Ergänzung: `1/16=4^r` lässt sich auch wie folgt lösen:
`1/16=4^r hArr ln(1/16)=r*ln(4)` (Anwendung eines Logarithmengesetzes)
`hArr r=ln(1/16)/ln(4)=-2` (Taschenrechner)
Ordnen Sie den Funktionsgleichungen die passenden Bilder zu: |
Lösung
Skizzieren Sie jeweils in ein Koordinatensystem und beschreiben Sie den Verlauf.
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Lösungen
a. Die Funktionen sind für `x < 0` nicht definiert. Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer. Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^(7/8)` unterhalb des Graphen von `x^(1/3)`, da der Exponent größer ist. Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^(7/8)` oberhalb des Graphen von `x^(1/3)`, da der Exponent größer ist. Der Graph von `x^(3/5)` liegt zwischen den Graphen von `x^(1/3)` und `x^(7/8)`, da der Exponent `3/5` zwischen den Exponenten `1/3` und `7/8` liegt. Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (0; 0) und (1; 1). |
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b. Die Funktionen sind für `x < 0` nicht definiert. Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x größer. Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^(10/3)` unterhalb des Graphen von `x^(5/3)`, da der Exponent größer ist. Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^(10/3)` oberhalb des Graphen von `x^(5/3)`, da der Exponent größer ist. Der Graph von `x^(5/2)` liegt zwischen den Graphen von `x^(5/3)` und `x^(10/3)`, da der Exponent `5/2` zwischen den Exponenten `5/3` und `10/3` liegt. Die drei Graphen schneiden sich in den Punkten (0; 0) und (1; 1). |
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c. Die Funktionen sind für `x <= 0` nicht definiert. Für `x > 0` sind die Funktionswerte positiv und sie werden mit zunehmendem x kleiner. Für `0 < x < 1` verläuft der Graph von `x^(-3/5)` unterhalb des Graphen von `x^(-7/2)`, da der Exponent größer ist. Für `x > 1` verläuft der Graph von `x^(-3/5)` oberhalb des Graphen von `x^(-7/2)`, da der Exponent größer ist. Der Graph von `x^(-5/3)` liegt zwischen den Graphen von `x^(-7/2)` und `x^(-3/5)`, da der Exponent `-5/3` zwischen den Exponenten `-7/2` und `-3/5` liegt. Die drei Graphen schneiden sich im Punkt (1; 1). |
Aufgabe 12 | ||||||||
Markieren Sie die richtigen Aussagen
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Bestimmen Sie die jeweils fehlende Koordinate (im Kopf): `P(0; ?)`, `Q(1; ?)`, `R(4;?)`, `S(?; 8)`, `T(?; 1/8)`:
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Lösungen
a.
`P(0; 0)`, `Q(1; 1)`, `R(4; 2)`, `S(64; 8)`, `T(1/64; 1/8)`
b.
`P(0; 0)`, `Q(1; 1)`, `R(4; 8)`, `S(4; 8)`, `T(1/4; 1/8)`
Die Graphen der Funktionen `f(x)=x^(1/2)`, `g(x)=x^(5/3)`, `h(x)=x^(-1/2)` wurden verschoben. Die nachfolgenden Bilder zeigen diese verschobenen Graphen. Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.
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Lösungen
a.
`f(x)=x^(1/2)-2`
b.
`f(x)=(x+3)^(1/2)-2`
c.
`g(x)=x^(5/3)+1`
d.
`h(x)=(x+2)^(-1/2)`
e.
`g(x)=(x-1)^(5/3)`
f.
`h(x)=(x+2)^(-1/2)-1`
Bestimmen Sie die Schnittpunkte:
Potenzieren Sie die Gleichung mit einem geigneten Exponenten oder führen Sie eine geignete Division durch.
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Lösungen
a.
`x^(1/2)=root(3)(x)` (Potenzieren mit 6)
`rArr x^3=x^2 hArr x^3-x^2=0 hArr x^2(x-1)=0`
`hArr x=0 vv x=1`
Schnittpunkte: (0; 0) und (1; 1)
b.
`x^2=3*x^(1/3)` (Potenzieren mit 3)
`rArr x^6=27*x hArr x^6-27x=0 hArr x(x^5-27)=0`
`hArr x=0 vv x^5=27 hArr x=0 vv x=root(5)(27)~~1","93`
Schnittpunkte: (0; 0) und (1,93; 3,74)
c.
`x^(-2/3)=1/4*x^(1/3)` (Division durch `x^(-2/3)` - möglich, da von 0 verschieden)
`hArr 1=1/4*x^(1/3)/x^(-2/3)`
`hArr 1=1/4*x hArr x=4`
Schnittpunkt: (4; 0,4)
Alternative:
`x^(-2/3)=1/4*x^(1/3)` (Potenzieren mit 3)
`hArr x^(-2)=1/64*x` (Multiplikation mit `x^2`)
`hArr 1=1/64*x^3`
`hArr 64=x^3 hArr x=4`
Schnittpunkt (4; 0,4)
Bestimmen Sie die Gleichung der Potenzfunktion `f(x)=a*x^r`, deren Graphen durch die fogenden Punkte verläuft.
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Lösungen
a.
P: `f(1)=2 hArr 2=a*1^r hArr a=2`, da `1^r=1`
Also: `f(x)=2*x^r`
Q: `f(4)=4 hArr 4=2*4^r hArr 2=4^r hArr r=1/2`
Ergebnis: `f(x)=2*x^(1/2)`
b.
P: `f(1)=3 hArr 3=a*1^r hArr a=3`, da `1^r=1`
Also: `f(x)=3*x^r`
Q: `f(8)=1","5 hArr 1","5=3*8^r hArr 0","5=8^r hArr r=-1/3`
`(8^(-1/3)=1/root(3)(8)=1/2)`
Ergebnis: `f(x)=3*x^(-1/3)`
c.
P: `f(1/4)=1/16 hArr 1/16=a*(1/4)^r hArr 1/16=a*1/4^r hArr a= 4^r/16` (*)
Q: `f(4)=4 hArr 4=a*4^r`
Mit a aus (*) folgt:
`4=4^r/16*4^r hArr 64=4^(2r)`
`hArr 4^3=4^(2r) hArr 3=2r hArr r=3/2`
r in (*) eingesetzt ergibt:
`a=4^(3/2)/16 hArr a=8/16 hArr a=1/2`
Ergebnis: `f(x)=1/2*x^(3/2)`
Spiegelt man einen Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden `y=x`, so erhält man die Funktionsgleichung des gespiegelten Graphen wie folgt:
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Lösung
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